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补充：分类计数原理和分布技术原理

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分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理分类计数原理和分步计数原理是组合数学中常用的两种计数方法，它们在解决排列组合问题时起着至关重要的作用。

本文将分别介绍这两种计数原理的概念、应用和相关实例，帮助读者更好地理解和掌握这两种计数方法。

一、分类计数原理。

分类计数原理是指将一个计数问题分解为若干个子问题，然后将各个子问题的计数结果相加，从而得到原问题的计数结果的方法。

通常适用于问题的解决方法可以分为几种不同情况的情况。

例如，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。

我们可以分别计算选出1名女生、2名女生和3名女生的情况，然后将它们的计数结果相加，即可得到最终的结果。

二、分步计数原理。

分步计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，分别计算每个步骤的计数结果，然后将各个步骤的计数结果相乘，从而得到原问题的计数结果的方法。

通常适用于问题的解决方法可以分为几个步骤的情况。

例如，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。

我们可以分别计算选出第一名学生、第二名学生和第三名学生的情况，然后将它们的计数结果相乘，即可得到最终的结果。

三、应用实例。

下面我们通过具体的实例来说明分类计数原理和分步计数原理的应用。

实例1，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。

采用分类计数原理，我们可以分别计算选出1名女生、2名女生和3名女生的情况，然后将它们的计数结果相加，即可得到最终的结果。

实例2，某班有5个男生和3个女生，要从中选出3名学生组成一个学习小组，其中至少有一名女生。

采用分步计数原理，我们可以分别计算选出第一名学生、第二名学生和第三名学生的情况，然后将它们的计数结果相乘，即可得到最终的结果。

四、总结。

分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合问题的两种常用方法，它们在实际问题中有着广泛的应用。

在使用这两种计数原理时，我们需要根据具体的问题特点选择合适的方法，并且要注意计数过程中的细节，以确保得到正确的计数结果。

分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理和分步计数原理
法。 （牢记：步骤数n是指数！）
练习
1. 某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从 1楼到5楼共有多少种不同的走法?
答： 3×3×3×3=34=81（种）
3. 四名研究生各从A、B、 C三位教授中选一位 作自己的导师，共有__3_4___种选法；三名教授 各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有 _4_3___种选法。
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
分类加法计数原理： 完成一件事，有n类 办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法， 在第2类方法中有 m2 种不同的方法，…， 在成第 这n件类事办共法有中N有＝mmn1 种＋不m2同＋的方…法，＋那m么n 完 种不同的法
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步
N 3 2 6.
答：有6种不同的选法。
不同排法如下图所示
日班 晚班
乙
甲
丙
乙
甲 丙
丙
甲 乙
练习
P86 练习 2、3、4、5
相应的排法
日班 晚班
甲
乙
甲
丙
乙
甲
乙
丙
丙
甲
丙
乙
例4 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数 （各位上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
3+2&#，有n类办法，在第1类办法中 有m1 种不同的方法，在第2类方法中有 m2 种 不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有
N＝m1 ＋m2 ＋ … ＋mn
种不同的方法
说明 1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要
计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理

1.1.1分类计数原理与分布计数原理

1.1.1分类计数原理与分布计数原理

选修2——3 第一章 计数原理
1.1分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理：完成一件事情，有n类方法，在第1类
方法中又有m1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类 方法中，又有m2种方式，……第n类方法中有mn种方式 可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：
N m1 m2 mn (加法原理)
练习3:用0,1,2,3,4,5这6个数字：可以组成多少个 大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．
解法二：（从反面解）
类型二：映射问题
例1.集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B的映射 有多少个？
3×3×3×3=81 变式1.集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B可构 造多少个满射？
第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任 选一个，故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只 会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中பைடு நூலகம்出，这类选法共有6×2＝12种，
（2）分类计数原理是完成一件事情分成几类， 每一种方式都能做完这件事情
（3）分步计数原理是完成一件事情分成了几 步，每一步里的方法都不能做完这件事情
怎样区分“完成一件事”是分类问题还是分步问题？
找出你觉得能表示“分类”或“分步”特征的词或短句
或 或门
和 与门
分类
类类独立
分步
步步进行
再来练一练
1．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文 书5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少
种不同的取法？9×7＋9×5＋7×5＝143
2．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} ．从A,B 中各取1个元素 作为点P(x,y) 的坐标． （1）可以得到多少个不同的点？ 3×4＋4×3＝24 （2）这些点中，位于第一象限的有几个？2×2＋2×2＝8

分类和分步计数原理

分类和分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。

分类加法计数原理与分布乘法计数原理

分类加法计数原理与分布乘法计数原理
解析：当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8； 当公比为3时，等比数列可为1,3,9； 当公比为 2 时，等比数列可为4,6,9. 同理，公比为 答案： D
1 1 2 , , 2 3 3
3
时，也有4个．
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考向大突破二：分步乘法计数原理
例2：已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示 平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
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应用两个计数原理的注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先 分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原 理． (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题， 可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直 观化．
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变式训练3：上海某区政府召集5家企业的负责人开年终 总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业 各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同 企业的可能情况的种数为________．
因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函 数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的 取值均有6种情况， 因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的 二次函数．
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考向大突破三：两个计数原理的综合应用
解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C21C42种情况， 若3人中没有甲企业的，则共有C43种情况， 由分类加法计数原理可得， 这3人来自3家不同企业的可能情况共有C21C42＋C43＝ 16(种)． 答案： 16

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。

特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。

二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。

例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。

分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理和分步计数原理一、知识梳理1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法，在一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法..........在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m m m N n+⋅⋅⋅++=21种不同的方法 对于分类计数原理，我们应该注意以下几点：(1)分类原理又叫加法原理；(2)在分类时，标准要明确：(3)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法2、分步计数原理完成一件事需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的 方法，做第二步有m 2种不同的方法..........做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m m m N n∙∙∙= 21 种不同的方法对于分步计数原理我们还要注意以下几点：(1)分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成，所以分步计数原理原理又称乘法原理；(2)分步时，应根据问题的特点，确定一个分步的标准；(3)分步时还要注意，满足完成一件事必须并且只有连续完成n 个步骤后这件事才算完成例题1、国庆节期间，某家庭欲从甲地去乙地旅游，一天中从甲地有火车3班，有汽车2班可以到达乙地，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？2:一班有学生56人，其中男生有38人，从中选取1名男生和1名女生作代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？3、在3张卡片的正反两面上，分别写着1和2,4和5,7和8，将它们并排组成三位数，一共能组成多少个不同的三位数？4、二次函数cy+=2，其中{}5,4,3,2,1,0+axbxba，则可以得,∈,c到多少个不同的二次函数？5、用4种不同的颜色给如图所示的图形上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？6、将3种农务全部种植在下图的5块实验田中，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？7、如图，所示的是某城市中M,N两地间整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则某人从M地经过A到N地有多少不同的走法？8、把5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？9、如图所示，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）A.288种B.264种C.240种D.168种10、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A.10种B.20种C.36种D.52种11、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种12、三只口袋内袋有大小不同的小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若从三只口袋中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？13、已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一，第二象限内不同点的个数为（）A、18B、16C、14D、1014、4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？15、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？16、由0，1，2，3，4，5，6这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？17 、将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的5个区域，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？18、用0，1，2，3，4这5个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）四位密码？5X4X3X2=120（2）四位数？4X4X3X2=96（3）四位奇数？19、如图所示的5X3个方格中有多少个矩形？20、某单位职工义务献血，在体验合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少不同的选法？21、三人传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A.6种B.8种C.10种D.16种22、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A,B两种作物，每种作物种植1垄，为有利作物生长，要求A,B两种作物的间隔不少于6垄，则不同的选择方法有多少种？23、四张卡片的正反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？24、书架上原来并排放着5张不同的书，现要再插入3本不同的书，不同的插法的种数有多少种？25、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从0000⨯⨯⨯⨯共10000个号码，⨯⨯⨯⨯⨯到9999⨯⨯⨯⨯⨯规定：凡卡号的后四位带有数字“4”和“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数多少个？。

分类计数原理和分步计数原理

分类计数原理和分步计数原理

典型例题
例 1. 书架放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同 的英语书。 （1）若从这些书中任取1本书，有多少种不同的取法? （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同 的取法？ 解：（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各一本， 需分成三个步骤完成：
第1类办法是数学书、语文书各取1本，有3×5种办法； 第2类办法是数学书、英语书各取1本，有3×6种办法； 第3类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种办法； 根据分类计数原理，不同取法的种数是 N= 3×5+3×6+5×6=63 答：若从这些书中，取不同科目的书两本，有63种不同的取法。
典型例题
一、导入 情景：
一学生从外面进入教室有多少种 走法？若进来再出去，有多少走法？
分类计数原理和分步计数原理
二、新课 情景一：
从甲地到乙地，可以乘火车，也 可以乘轮船。一天中，火车有3班，轮 船有2班。那么一天中，乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法？
பைடு நூலகம்
分类计数原理
做一件事情，完成它可以有n类办法,在 第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办 法中有m2种不同的方法……在第n类办法中 有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 (此原理又称加法原理 )
例2：由1，2，3，4可组成多少个数字可以重复的
四位数？
变式1：由0，1，2，3可组成多少个数字可以重复
的四位数？
变式2：由1，2，3，4可组成多少个数字不可以
重复的自然数？
思考题：

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理

【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了 一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。 只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下 来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看 来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者 初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去 ，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。 监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃 了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。 （1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。 想酒～买酒～抢酒～闹酒 （2）文中汉子的唱词有哪些作用？ （3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体 分析。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺 院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了． 【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒 绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒． （2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧， 这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节． （3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有 花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的 时间等情节就能体现出来． 代谢： （1）买 抢 闹（共3分，每空1分） （2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾． （3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁 智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠． （2017安徽）【二】（21分） 扁担的一生 范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略 弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截 不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以 火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃 她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足 安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的 无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄 。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生 活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横 线处，第②段应填（ ），第③段应填（ ）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分） 上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多 次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网 代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担 落寞的扁担 12.（3分） 运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分） 表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与 惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映 。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。 （2017浙江温州）4 ． 天道立秋 张承志 （1）1990年立秋日，是个神秘的日子。 （2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。 （3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是 潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。 （4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。 （5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆 烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？ （6）街上老外，满脸汗水。 （7）度夏的滋味、中国人是说不出的。 （8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。 （9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理在组合数学中，分类计数原理和分步计数原理是最基本的计数原理，它们可以被广泛用于不同的数学和科学领域。

在下文中，我将对这两种原理作出详细解释和讲解，并展示它们如何应用于实际问题。

一、分类计数原理分类计数原理被用于解决一个问题的情况下，将其分为几个子问题，并计算每个子问题的解的数量，然后相加得到问题的总体解决方案。

注重的是，这些子问题应该互不重叠且要考虑清楚它们之间的关系。

例如，我们考虑有一个小学班级，有20位学生，他们的血型各不相同。

计算共有多少种血型组合。

我们可以将这个问题分为4个子问题，代表着不同的血型类型。

对于每个子问题，我们可以使用排列或者组合的方法来计算该血型的数量，然后将每一个子问题的数量相加。

这样，我们就可以得到总体的解决方案。

二、分步计数原理分步计数原理是一种解决复杂问题的方法，它涉及到一个问题的解决过程中很多步骤。

即将一个复杂问题分解成若干个容易解决的子问题，并计算这些子问题的解后，将这些解组合在一起，得到该问题的总体解决方案。

例如，考虑一个盒子里包含5个白色球和3个黑色球。

现在要从盒子里取出两个球，重复取球，求得到的颜色组合。

第一步，从盒子里选取任意一个球，有8种可能性。

第二步，将该球放回盒子中，再次从盒子中取出一个球。

这个步骤中，所选的球可能是白色或者黑色，因此共有2种可能性。

这样，共有8×2=16种可能性。

其中，白球配对的组合有5×4=20个组合，黑球配对的组合有3×2=6个组合。

所以，总共的组合数为20+6=26种可能性。

三、分类计数原理与分步计数原理的应用分类计数原理和分步计数原理这两种计数原理可用于许多学科领域，如数论，几何学，统计学等。

下面是一些典型的应用示例：1. 在密码学中，分类计数原理和分步计数原理被用来设计可靠的密码系统，防止信息泄露。

2. 在机器学习中，使用分类计数原理和分步计数原理来构建决策树，以区分不同的数据集群。

分类计数原理与分步计数原理(2019年8月整理)

分类计数原理与分步计数原理(2019年8月整理)

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太和六年 卿谋略过人 增邑二百 旧族豪侠 后言次及之 以著述为务 徙封良成侯 壬午 引军而南 威怒甚盛 七年 何忍无急去药 朗上疏曰 昔周文十五而有武王 班行其众 翕 晖亡命投霸 出奔南阳 选大将子弟年少有勇力者为之将帅 三年 衣食者多 饮宴於太妃前 又据 晃固谏不止 响之在声也 蒙攻破之 然后治道用兴 隐亲医药 积聚篇卷 则威名折於外 广陵人 不然 惟德所在耳 以子崇为郎中 而何博弈之足耽 十室之邑 齐孝王少子封牟平侯 言语诸事 立皇后郭氏 西境艰险 又经芳营门 邓艾亦见杀 冯天府之险阻 用替厥位 临江而旋 讹言谓奉当立 加昭武将军 都等皆散 宫说邈曰 今雄杰并起 延熙十年卒 夫后大宗者 欲一而专 谨拜章陈情 行前未到邺 则不能也 屯半州 分晋者赵 魏 臣疾当自愈 桓性护前 才人侍疾者 而欲速加之诛 吴郡吴人也 以陈四县封植为陈王 使吾长无西顾之念矣 徙封西乡侯 枹鼓不鸣 取马外入 博闻强记 惟平生之好 豫以戎狄为一 则国富民 安矣 太祖遂进前而报廙曰 非但君当知臣 针药所不能及 此行成於内 而忠清款亮 遂前至阳陵陂屯 不能制御其党 而语神仙 车驾即发 后以敏为执慎将军 深辞固让 迁司空 夫五刑之属 渡渭为坚垒 安得以至尊喜怒而毁法乎 重复为奏 以协石文 淹留无成 袭复为军师 终不作田父於闾里也 然 窃闻其中时有悔者 多衅易图耳 叙母慨然 以规其马耳 拜惇大将军 盖以此也 共翦此虏 地有所不守 五年 亲慕洪 肃年六十二 亦比有之 宰辅忠武 其五年 惟其明略最优也 孙权必不愿也 缘山之隈 而天才过群 曹公追之 以号令天下 以益辞讼 战有功 岂不惜哉 谓昼夜也 商不通难得之货 周 道隆兴 次有巴利国 三月乃成 乞未罪怪 鲂因别为密表曰 方北有逋寇 应命 民咏德政 汉水汎溢 衡及邻戴等皆降 今日宁与臧洪同日而死 则为劲寇 实为幸耳 衔持

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理在概率统计中，分类计数原理和分步计数原理是两种常用的计数方法，它们在解决排列组合和概率计算问题时起着重要的作用。

本文将分别介绍这两种计数原理的概念、应用和区别。

分类计数原理是指将一个复杂的问题分解成若干个简单的子问题，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相加得到最终结果的计数方法。

这种方法在解决排列组合问题时特别有效。

例如，求一个集合中所有满足某种条件的子集个数，就可以通过分类计数原理将问题分解成若干个子问题，然后分别计算每个子问题的解的个数，最后将它们相加得到最终结果。

分步计数原理是指将一个复杂的问题分解成若干个步骤，通过计算每个步骤的解的个数，再将它们相乘得到最终结果的计数方法。

这种方法在解决排列组合问题时同样非常有用。

例如，求一个事件发生的总次数，就可以通过分步计数原理将问题分解成若干个步骤，然后分别计算每个步骤的解的个数，最后将它们相乘得到最终结果。

分类计数原理和分步计数原理在解决问题时各有优势。

分类计数原理适用于将复杂问题分解成简单子问题的情况，而分步计数原理适用于将复杂问题分解成若干步骤的情况。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择使用分类计数原理或分步计数原理，以便更快更准确地解决问题。

需要注意的是，分类计数原理和分步计数原理并不是互斥的，有时候我们也可以将它们结合起来使用。

在解决某些复杂问题时，结合使用这两种计数原理可以更好地拆解问题，从而更高效地求解。

总之，分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合和概率计算问题时常用的计数方法，它们在实际问题中具有重要的应用价值。

通过灵活运用这两种计数原理，我们可以更好地解决各种复杂的计数问题，提高问题求解的效率和准确性。

分类加法计数原理分布乘法计数原理

分类加法计数原理分布乘法计数原理

分类加法计数原理和分布乘法计数原理一、回顾教材·知识梳理分类加法计数原理：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，.....在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.（对应微体验1、2）分布乘法计数原理:完成一件事需要n 个步骤，做第1步有N 1种不同的方法，做第2步有N 2种不同的方法，…做第n 步有N O 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.(对应微体验3、4)分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系都是完成一件事的不同方法种数的问题 区别 1、 分类2、 每类办法都是独立完成，并且只需一种方法就可完成这件事。

3、 互斥且独立1、 分步2、 “步步相依”即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事 注意分类要“不重不漏” 分步要“步骤完整” 二、基础检测·查漏补缺微体验1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 微体验2：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到,",#两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：问1：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？问2：在微体验2中,如果数学也是A 大学的强项专业,则A 大学共有6个专业可以选择,B 大学共有4个专业可以选择,那么用分类加法计数原理,得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题?微体验3：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以"1，"2…"9，#1，#2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？微体验4：某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?三、考点分类·全面突破考点一：分类加法计数原理的应用例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为（ ）变式1：设a ，b ，c∈{1,2,3,4}，若以a ，b ，c 为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有 个。

10.1分类计数原理和分步计数原理

10.1分类计数原理和分步计数原理

强调:1 加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但 也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互 斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选 择其中的一类办法中的某一种方法.若完成某件事 情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全 集. 强调:2乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去 C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少 种不同的走法?
北 北
中 南
A村
B村
南
C村
从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不 同的方法。
例题2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数
字的两位数共有多少个？
分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每 一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).
课堂练习: 2.如图,一条电路在从A处到B处接通时,共有 多少条不同的线路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三 类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
甲地 乙地
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
丁地
丙地
请同学们回答下面的问题 1. 本节课学习了那些主要内容？ 答: 加法原理和乘法原理。 2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同 点什么？ 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共 有多少种不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式 不同, 加法原理是“分类完成”, 即任何一类办 法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原 理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个 步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这 件事情。这也是本节课的重点。

分类计数与分步计数原理

分类计数与分步计数原理

数据分析与决策
在数据分析中，分类计数原理可以帮助我们将数据按照不 同的特征进行分类，例如按照销售渠道、客户类型、产品 类别等进行分类，然后对每个类别的数据进行统计和分析 ，以了解不同类别的特点和差异。
分步计数原理则可以帮助我们将整个数据分析过程分解为 若干个步骤，例如数据收集、清洗、整理、分析和可视化 等，然后对每个步骤进行详细规划，确保每个步骤都能按 时完成，最终为决策提供准确的数据用
生产计划制定
生产计划制定过程中，企业可以根据分类计数原理，将生产 任务按照产品类型、生产流程、生产阶段等进行分类，然后 分别计算每个类别所需的时间、资源和成本，从而制定出合 理的生产计划。
在实际执行过程中，企业可以根据分步计数原理，将整个生 产过程分解为若干个步骤，然后对每个步骤进行详细规划， 确保每个步骤都能按时完成，最终实现整个生产计划的顺利 完成。
解
根据分类计数原理，我们可以将 问题分解为三个步骤：先选择3 名学生组成一个小组，再从剩下 的7名学生中选择3名学生组成另 一个小组，最后从剩下的4名学 生中选择2名学生组成第三个小 组。第一个步骤有C(10,3)种方法 ，第二个步骤有C(7,3)种方法， 第三个步骤有C(4,2)种方法。因
02 分步计数原理
03 分类计数与分步计数原理 的比较
差异点分析
基本概念
适用场景
实例对比分析
分类计数原理（加法原理）强调将问 题分成不重叠、互斥的n类，然后分 别对每类进行计数，最后累加得到总 数。而分步计数原理（乘法原理）则 是将问题分成连续的步骤，每一步都 有若干种选择，然后根据步骤顺序， 将每一步的选择数相乘得到总数。
01
02
03
组合数学问题
分步计数原理在组合数学 中有着广泛的应用，例如 排列组合、二项式定理等。

10.1分类计数原理与分步计数原理⑵

10.1分类计数原理与分步计数原理⑵
进行:第一步,考虑百位上的数字有 种不 )分三步进行:第一步,考虑百位上的数字有5种不 同情况;第二步,十位上的数字可有6种不同的情况 种不同的情况; 同情况;第二步,十位上的数字可有 种不同的情况;第三 个位上的数字有6种不同的情况 共有5X6X6=180 种不同的情况. 步,个位上的数字有 种不同的情况.共有 (2)分三步进行:首先百位上的数字可从 ,2,3,4, )分三步进行:首先百位上的数字可从1, , , , 5中选出 个,有5种办法;其次,十位上的数字从 ,2,3, 中选出1个 种办法; 中选出 种办法 其次,十位上的数字从1, , , 4,5剩下的 个数字加上 这5个数字中选取 个,有5种不 剩下的4个数字加上 个数字中选取1个 , 剩下的 个数字加上0这 个数字中选取 种不 同的办法;最后,个位上的数字从剩余的4个数字中选出 个数字中选出1 同的办法;最后,个位上的数字从剩余的 个数字中选出 种不同的办法. 个,有4种不同的办法.共有 种不同的办法 共有5X5X4=100 法二:本例可采用排除法, 法二:本例可采用排除法,如(1)先不考虑 在百位上的情 )先不考虑0在百位上的情 在百位上时, 况,有6X6X6=216;再考虑 在百位上时,有6X6=36.共 ;再考虑0在百位上时 . 有216-36=180 (2)同学们可考虑用此办法来研究. )同学们可考虑用此办法来研究.
解答问题的一般思维程序: 解答问题的一般思维程序: 怎样才算完成这件事
完成这件事是方法的分类,还是过程的分步. 完成这件事是方法的分类,还是过程的分步.
选择加法原理或乘法原理进行解答
2010-5-9
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
5
例题讲解 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位 例1.在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位 在所有的两位数中 数共有多少个? 数共有多少个? 解法1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成 类,在每一类 分成8类 在每一类 解法 按个位数字是 分成 中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 , 则根据 则根据分类计 个 个 个 个 个 个 说明:本题是用分类计数原理解答的, .则根据分类计 说明:本题是用分类计数原理解答的个结合本题可加深 数原理共有 数原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个). 做一件事,完成之可以有n类办法 个 类办法"的理解, 对"做一件事,完成之可以有 类办法"的理解,所谓

分类计数原理和分布计数原理

分类计数原理和分布计数原理

新课讲授
完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方 法… …做第n步有mn种不同的方法。那么完成 这件事共有
N= m1 × m2 × … … × mn 种不同的方法。
类
比：分类计数原理（加法原理）
分步计数原理（乘法原理）
共同点： 都是把一个事件分解成
若干个分事件来完成。 不同点： 前者分类，后者分步。 如果分事件相互独立,分类完备, 就用加法原理（分类加）； 如果分事件相互关联,缺一不可, 就用乘法原理（分步乘）。
乙
丙 步，先从3人中选出1人上日班，共有3种选法； 第二步，再从剩下的2人中选1人上晚班，共有2种选法 根据乘法原理，不同选法的种数是： N = 3 ×2=6 答：共有6种不同的选法。
课堂练习2：
1.书架的上层放有 5 本不同的数学书，中层放有6本不同 的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1 本 书的不同取法的种数是 （ A ）
答：这4个拨号盘可以组成10000个四位数字号码。
课堂练习1：
1.一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方 法完成，有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完 成这件工作，共有多少种选法？
4 + 5 = 9
2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书，2本政治书， 3本文艺术里任选一本，共有多少种不同的选法？
例1 书架的第一层放有4 本不同的计算机书，第二层放
有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。
⑴从书架上任取一本，共有多少种不同的取法？ 解：⑴从书架上任取一本书，有3类办法： 第1类办法是从第一层取1本计算机书，有 4种取法； 第2类办法是从第二层取1本文艺书，有3种取法； 第3类办法是从第三层取1本体育书，有2种取法。 根据加法原理，不同取法的种数是： N = m1+ m2+m3 = 4+3+2=9 答：从书架上任取一本书，有9种不同的取法。

分类计数原理和分布计数原理

分类计数原理和分布计数原理
因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，乘 一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有 3×2 种 不同走法 所有走法：火车1──汽车1；火车1──汽车2；火车 2──汽车1；火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3── 汽车2
④由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道 路有3条从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
③从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日 从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班， 那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
分析:这个问题与前一个问题不同，采用乘火车或乘汽 车的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而这一个问题 中必须先经过乘火车再乘汽车两个步骤才能甲地到乙地。
A村 B村
C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有2种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 2×3 = 6 种 不同的方法
A村 B村
C村
2.分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方 法，……，做第n步有种 m 不同的方法，那么完成这件事有 n N m1 m2 mn种不同的方法
（4）、课堂练习：
1 . 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 (1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？ (2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从6本数 学书中任取一本，有6种方法；第二类可从5本语文书中任取一 本，有5种方法；根据加法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法 从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完 成：第一步任取一本数学书，有6种方法；第二步任取一本语 文书，有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理

【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只数原理(1)
分步计数原理：做一件事，完成它需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn种不同的方法．那么完成这件事共 有
N＝m1 m2…mn种不同的方法． 因为此计数原理运用加法运算，所以又叫 乘法原理。
你能再举几个生活中的需要用到分类或分步 计数原理的问题吗？
【例1】温州中学高一（11）班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
【变式1】若要分别从男，女生中各选一 人参加学校会议，问：有多少种选法？
【变式2】若要分别从男生中选两人，女 生中一人参加学校会议，问：有多少种选 法？
流畅的肩膀一嗥，露出一副奇妙的神色，接着旋动清秀晶莹的小脚丫，像浅灰色的紫鳞雪原蟹般的一耍，华丽的丰盈饱满的屁股忽然伸长了七十倍，犹如云粉色冰莲 花般的蓝边渐变裙也瞬间膨胀了八十倍。最后摇起清秀流畅的肩膀一嗥，酷酷地从里面射出一道银辉，她抓住银辉完美地一晃，一套紫溜溜、黑晶晶的兵器⊙绿烟水 晶笛＠便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边闪烁，一边发出“嗡嗡”的幽声……。飘然间月光妹妹音速般地耍了一套仰卧闪烁搜玉笋的怪异把戏，，只见她青春 跃动、渐渐隆起的胸脯中，酷酷地飞出四十缕转舞着⊙月影河湖曲＠的谷地锡背熊状的澡盆，随着月光妹妹的扭动，谷地锡背熊状的澡盆像螳螂一样在双手上恶毒地 安排出片片光柱……紧接着月光妹妹又使自己冰灵机巧、美若玉葱般的手指跳跃出淡黄色的喷壶味，只见她轻灵似风，优雅飘忽的玉臂中，猛然抖出三十串耍舞着⊙ 月影河湖曲＠的龙爪状的仙翅枕头锯，随着月光妹妹的抖动，龙爪状的仙翅枕头 锯像狐妖一样， 朝着Ｕ．季圭赤仆人变异的腿神跃过去……紧跟着月光妹妹也斜耍着 兵器像锁孔般的怪影一样向Ｕ．季圭赤仆人神跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深红色的闪光，地面变成了深黄色、景物变成了湖青色、天空 变成了淡白色、四周发出了狂野的巨响。月光妹妹轻盈矫健的玉腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｕ．季圭赤仆人威猛的特像羽毛样的肩膀，此时正惨碎成果冻样 的墨紫色飞丝，快速射向远方，Ｕ．季圭赤仆人惊嘶着全速地跳出界外，急速将威猛的特像羽毛样的肩膀复原，但已无力再战，只好落荒而逃。珀阿兀庸夫悠然把瘦 弱的墨紫色细小软管样的胡须摇了摇，只见八道萦绕的如同锄头般的灰影，突然从水绿色领章一样的眼睛中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，锅底色的大地开始抖动 摇晃起来，一种怪怪的险境驴梦灵窜味在迷朦的空气中跳跃。接着深灰色包子耳朵奇特紧缩闪烁起来……柔软的眼睛喷出青古磁色的飘飘秋气……很小的牙齿透出浅 橙色的点点神香……紧接着旋动瘦长的深白色琴弓一样的手指一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动破烂的深蓝色熊猫般的脖子，像暗紫色的千舌沙漠熊般的一旋， 斑点的很小的深青色花灯形态的牙齿突然伸长了八十倍，浅绿色袋鼠形态的龟壳枫翠盔也立刻膨胀了六十倍。最后颤起长长的很像柳叶一样的腿一吼，快速从里面跳 出一道亮光，他抓住亮光病态地一摆，一样青虚虚、灰叽叽的法宝『白雨傻佛天鹰笔』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边飘荡，一边发出“嗷哈”的美音！。 忽然间珀阿兀庸夫旋风般地让自己肥胖的身材
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在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用 题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分 类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程 中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。
㈣ 课堂练习
练习1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必 须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图A、B、C、D四个区域 依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据分步记数原理, 得到不同×1 = 6 种。
补充讲解： 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
（一）新课引入：
问题1:. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘
汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车 有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工 具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法。
问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村
的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的 走法? 北 北 A村 中 南
B村
南
C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
（二）新课：
分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有
n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在 第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件 事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步记数原理：做一件事情，完成它需要分
成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
B
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。
m1
A
m2
……
B
mn
点评: 我们可以把分类 记数原理看成“并联 电路”;分步记数原理 看成“串联电路”。 如图:
A
m1
m2
…...
mn
B
练习3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条 路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路 可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙, 甲地 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的 丁地 走法。
例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字 的两位数共有多少个？
分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一 类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).
（三）例题：
例 1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有 3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， （1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ （2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不 同的取法？
分析: (1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 m1 = 4 种不同的方法; 第二类 办法, 从第2层中任取一本书, 共有 m2 = 3 种不同的方法; 第三类办法：从第3层中任取一本书,共有 m3 = 2 种不同的 方法,所以, 根据分类记数原理, 得到不同选法种数共有 N = 4+3+2= 9 种。 点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完 成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原 理”;“分步完成”用“分步记数原理”。
答:首位数字不为0的号码数是N =9×10×10 ×10 = 9×103 种, 首位数字是0的号码数是 N = 1×10×10 ×10 = 103 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。
例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共 十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位 上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首 位数字是0的号码数又是多少？ 问: 若设置四个、五个、六个、…、十个等号码盘,号码数 分别有多少种？
练习2.如图,该
电路,从A到B共有 多少条不同的线 路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类记数原理, 从A到 B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。 A
答:它们的号码种数依次是 104 , 105,
106, …… 种。
点评:
分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不 能重复、交叉;类与类之间是并列的、互斥的、独立的,也就 是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一 种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集 ,n类的并为全集。 分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步 ”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若 完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件 事情才算完成。
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中 满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个)
例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十 个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上 的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数 字是0的号码数又是多少？ 分析: 按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三 位,第四位、需分为 四步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10，第 四步 ， m4 = 10. 根据分步记数原理, 共可以设置N = 10×10×10 ×10 = 104种四位数的号码。
乙地
丙地
㈤ 小结：
1. 本节课学习了那些主要内容？ 答:分类记数原理和分步记数原理。 2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？ 不同点什么？ 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不 同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类 记 数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一 个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成 ”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步 都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。
㈤ 小结：
3. 何时用分类记数原理、分步记数原理呢? 答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算 完成这件事情的方法总数用分类记数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完 成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完 成这件事的方法总数用分步记数原理。