分类计数原理与分布计数原理

分类计数原理与分步计数原理例题一、分类计数原理例题1：有4个不同的苹果和3个不同的橘子，请问由这些水果组成一串长度为7的水果串有多少种情况？解析：根据分类计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤来考虑。

首先，我们要确定苹果的数量，假设苹果的数量为0、1、2、3或4，那么橘子的数量就是7减去苹果的数量。

1.当苹果数量为0时，橘子数量为7，这种情况只有1种。

2.当苹果数量为1时，橘子数量为6，这种情况有3种。

3.当苹果数量为2时，橘子数量为5，这种情况有3*2=6种。

4.当苹果数量为3时，橘子数量为4，这种情况有3*2*1=6种。

5.当苹果数量为4时，橘子数量为3，这种情况有3*2*1*1=6种。

所以，组成一串长度为7的水果串的种类总数为1+3+6+6+6=22种。

二、分步计数原理分步计数原理是将大问题分解为若干个小问题，然后将小问题的计数结果相乘得到最终的结果。

例题2：假设John有3个不同的帽子和4个不同的围巾，他每天只能戴一个帽子和一条围巾，请问他有多少种不同的搭配方式？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为两个小问题。

首先，我们可以计算帽子和围巾的搭配方式数量：-帽子的选择有3种，围巾的选择有4种，因此搭配方式数量为3*4=12种。

所以，John有12种不同的搭配方式。

例题3：旅行团计划去三个不同的城市，在每个城市停留的天数分别为4天、5天和6天，且天数的顺序不限，请问旅行团一共有多少种行程方案？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为三个小问题。

首先，我们可以计算每个城市的行程天数的选择数量：-第一个城市的停留天数有4天、5天和6天三种选择，第二个城市的停留天数有3种选择，第三个城市的停留天数有2种选择。

所以，旅行团一共有3*3*2=18种行程方案。

综上所述，分类计数原理和分步计数原理是解决组合问题常用的两种计数方法。

通过分解大问题为小问题，我们可以更方便地解决组合计数问题。

这两种方法可以相互结合使用，也可以单独使用，取决于具体的问题。

分类计数原理、分步计数原理授课难点：1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。

2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。

一、概念与规律1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。

在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。

2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。

3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。

分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。

二、例题讲解例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。

（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。

解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。

（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。

根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。

即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。

分类计数原理和分步计数原理的区别
《分类计数原理和分步计数原理的区别》
嘿呀，今天咱来唠唠分类计数原理和分步计数原理的差别哈。

就说我上次去超市买水果吧，那可真是让我深刻体会到了这两者的不同呢。

我一进超市水果区，哇，各种各样的水果摆在那。

我先看到了苹果，有红苹果、青苹果，这就是分类计数原理呀，我可以一类一类地数，红苹果有几个，青苹果有几个。

然后呢，我又看到了香蕉，嘿，香蕉也有不同的品种呢。

接着重点来了哈，我决定买些水果回家做水果沙拉。

我想选苹果、香蕉和橙子。

我先挑苹果，挑完红的挑青的，这一步完成了；然后再去挑香蕉，挑完一种香蕉又挑另一种，这又是一步；最后去挑橙子，这是第三步。

这整个过程可不就是分步计数原理嘛，一步一步地来，每一步都有不同的选择和可能性。

你看，在超市买水果这么一件平常的事儿，就把这两个原理体现得淋漓尽致呀。

分类计数原理就是把东西分成不同的类来数，分步计数原理呢就是一步一步地做事，每一步都有多种选择。

这下是不是很好理解啦！以后再遇到类似的情况，咱就能清楚地分辨出来啦。

哎呀，生活中处处都有学问呢！。

分类加法计数原理和分布乘法计数原理一、回顾教材·知识梳理分类加法计数原理：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，.....在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.（对应微体验1、2）分布乘法计数原理:完成一件事需要n 个步骤，做第1步有N 1种不同的方法，做第2步有N 2种不同的方法，…做第n 步有N O 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.(对应微体验3、4)分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系都是完成一件事的不同方法种数的问题 区别 1、 分类2、 每类办法都是独立完成，并且只需一种方法就可完成这件事。

3、 互斥且独立1、 分步2、 “步步相依”即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事 注意分类要“不重不漏” 分步要“步骤完整” 二、基础检测·查漏补缺微体验1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 微体验2：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到,",#两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：问1：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？问2：在微体验2中,如果数学也是A 大学的强项专业,则A 大学共有6个专业可以选择,B 大学共有4个专业可以选择,那么用分类加法计数原理,得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题?微体验3：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以"1，"2…"9，#1，#2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？微体验4：某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法?三、考点分类·全面突破考点一：分类加法计数原理的应用例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为（ ）变式1：设a ，b ，c∈{1,2,3,4}，若以a ，b ，c 为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有 个。

分类计数原理和分步计数原理的理解与简单应用（833200）新疆奎屯市第一高级中学特级教师 王新敞分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”原理浅释：①分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.②分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++ , 12n N m m m =⨯⨯⨯这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．例1 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？ 解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.点评：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步. 例2 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解. 例2中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? （答案：C 45·24=80个）.例3 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求. （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种.所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种.解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=120. 答案：120点评：①解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法. ②较复杂的应用题，需确定或设计出完成事件的程序，依需要分类或分步（“类”与“类”之间独立且并列，“步”与“步”相依且连续）而每个程序都是简单的排列组合问题.例4 (1)有红、黄、白色旗子各n 面（n ＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？(2) 有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？(1) 解 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗，共有3种信号；②升二面旗，要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3＝9种信号；③升三面旗，有3×3×3＝27种信号．所以共有3+9+27＝39种信号．(2) 解：计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此是互斥的，用加法原理．因此，不同币值有＝15(种)点评 (1) 排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与654321D D C C D C BD 654C B D乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件．因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法．(2)加、乘原理是排列、组合问题的理论依据，在分析问题和指导解题中起着关键作用，运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），要使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步的程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．例5 d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种点评：按照分“类”的思路，本题应用了分类计数原理，为把握不同排列的规律，“树图”是一种具有直观现象的有效做法.分类计数和分步计数两个原理是排列组合计数的理论依据，类与类之间独立且并列，步与步相依且连续；计算关键：审题、判断分类还是分步？（分类相加，分步相乘）、判断排列还是组合？（有序排列、无序组合）.。