高三第一次模拟考试数学

永州市2024年高考第一次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1．全卷满分150分，时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{*N A x y =∈=，集合{}20B x x x =-≥，则A B = （）A.{}12x x ≤≤ B.{}01x x ≤≤ C.{}0,1,2 D.{}1,2【答案】D 【解析】【分析】求出集合,A B ，即可求得答案.【详解】由{{}*N 1,2A x y =∈==，{}20{|0B x x x x x =-≥=≤或1}x ≥，故{}1,2A B = ，故选：D2.复数z 满足5i 1i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】由5i 1i z ⋅=+得1ii 1i,iz z +⋅=+∴=，则111i iz =+=-，即z 在复平面内对应的点为(1,1)-，位于第四象限，故选：D3.已知向量()()()1,2,3,1,,1a b c x =-=-=，且()2a b c +⊥ ，则x =（）A.2 B.1 C.0D.1-【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得x 的值.【详解】()()()21,26,25,0a b +=-+-=，由于()2a b c +⊥，所以()250,0a b c x x +⋅=== .故选：C4.“函数()af x x =在()0,∞+上单调递减”是“函数()()41g x x a x =-+是偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过求解函数()f x 和()g x 符合条件的a 的取值，即可得出结论.【详解】由题意，在()af x x =中，当函数在()0,∞+上单调递减时，a<0，在()()41g x x a x =-+中，函数是偶函数，∴()()()()()()()()4411g x x a x g x x a x g x g x ⎧-=--+-⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得：1a =-，∴“函数()af x x =在()0,∞+上单调递减”是“函数()()41g x x a x =-+是偶函数”的必要不充分条件，故选：B.5.在平面直角坐标系中，过直线230x y --=上一点P 作圆22:21C x x y ++=的两条切线，切点分别为A B 、，则sin APB ∠的最大值为（）A.265B.5C.65D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意圆22:21C x x y ++=的标准方程为()2:12C x y ++=，如图sin sin 22sin cos APB ααα∠==，又sin AC CPα==，所以cos α==又由圆心到直线的距离可求出CP 的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：由题意圆C 的标准方程为()2:12C x y ++=，sin sin 22sin cos APB ααα∠==，又因为sin AC CPα==cos α==所以sin 2sin cos PB A αα∠==又圆心()1,0C -到直线230x y --=的距离为d ==，所以CP d ≥=，所以不妨设211,05t t CP⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()s n i f t APB ===∠=，又因为()f t 在10,5⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以当且仅当15t =即CP =CP 垂直已知直线230x y --=时，sin APB ∠有最大值()max155sin f APB ⎛⎫== ⎪∠⎝⎭.故选：A.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，且2PF 与y 轴平行，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若1125PF F Q =，则C 的离心率为（）A.7B.11C.7D.2111【答案】B 【解析】【分析】由P 点坐标求得Q 点坐标，然后代入椭圆C 的方程，化简求得椭圆C 的离心率.【详解】由22221x y a b +=令x c =，得24222221,c b b y b y a a a ⎛⎫=-==± ⎪⎝⎭，由于2PF 与y 轴平行，且P 在第一象限，所以2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭.由于()111112,,5502,PF F Q F Q PF F c ==-，所以()2211292,02,,555b b OQ OF FQ c c c a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即292,55b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将Q 点坐标代入椭圆C 的方程得2222229551b c a a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，()22222222222814814774125252525c a c c b c a a a a a +-++===，222222221377425,7721,7711c c a a c a a +====，所以离心率11c e a ===.故选：B7.若数列{}n a 的前n 项和为()2*,21N ,0n n n n n S S a a n a =+∈>，则下列结论正确的是（）A.202220231a a >B.2023a >C.2023S <D.123100111119S S S S ++++< 【答案】D 【解析】【分析】根据,n n a S之间的关系可求出=n S，进而求得=n a ，由此结合熟的大小比较可判断A ，B ，C ，利用放缩法，当2n ≥时，可推出1nS <，累加即可判断D.【详解】令1n =，则121121S a a =+，即221121a a =+，由0n a >，的11a =；当2n ≥时，2112()()1n n n n n S S S S S ---=-+，即1221n n S S --=，又22111S a ==，故{}n S 为首项是1，公差为1的等差数列，则211n S n n =+-=，故=n S ，所以当2n ≥时，1-=-=n n n a S S 11a =也适合该式，故=n a ，对于A，20222023a a =1=，A 错误；对于B，2023a <=，B 错误；对于C，2023S >=C 错误；对于D ，当2n ≥时，1n S =<=，故)123100111112122S S S S ++++<+-+++ 12(110)19=+-+=，D 正确，故选：D8.已知函数()()3cos (0)f x x ωϕω=+>，若ππ3,042f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在区间ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值共有（）A.4个 B.5个C.6个D.7个【答案】B 【解析】【分析】根据ππ3,042f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得234+3n ω=，根据在区间ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上没有零点可得06ω<≤，即可求出ω的取值有几个.【详解】由题意，在()()3cos (0)f x x ωϕω=+>中，ππ3,042f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π3cos 34π3cos 02ωϕωϕ⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩,所以1122π2π4,,Z πππ+22k k k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()213ππ2π+42k k ω-=，所以()212432+3k k ω-=，即234+3n ω=，Z n ∈，因为ππ,,306x ω⎛⎫∈-- ⎪⎝>⎭，所以ππ,36x ωϕωϕωϕ⎛⎫∈--++ ⎝+⎪⎭，令x t ωϕ+=，ππ,36t ωϕωϕ++⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，由题意知3cos y t =在ππ,36t ωϕωϕ++⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上无零点，故ππππ,,3622ππk k ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫--⊆- ⎪ ⎪⎝++⎝++⎭⎭，Z k ∈，所以πππ32πππ62k k ωϕωϕ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪-+≤+⎪⎩，即πππ32πππ62k k ωϕωϕ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪-≥--⎪⎩，两式相加得ππ6ω-≥-，所以06ω<≤，又234+3n ω=，所以，当0n =时，23ω=；当1n =时，2ω=；当2n =时，103ω=；当3n =时，143ω=；当4n =时，6ω=，所以ω的取值有5个.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量,x y 的相关系数为r ，则r 越小，x 与y 之间的相关性越弱B.设随机变量()2,1N ξ ，若(3)p p ξ>=，则1(12)2p p ξ<<=-C.在回归分析中，2R 为0.89的模型比2R 为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为(),10,0.8X X B ~，则()8E X =【答案】BD 【解析】【分析】A 项，通过相关系数的定义即可得出结论；B 项，通过求出(23)P ξ<<即可求出(10)P ξ-<<的值；C 项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D 项，通过计算即可求出()E x .【详解】由题意，A 项，两个变量,x y 的相关系数为r ，r 越小,x 与y 之间的相关性越弱,故A 错误,对于B,随机变量ξ服从正态分布(2,1)N ,由正态分布概念知若(3)P p ξ>=,则1(10)(23)(2)(3)2P P P P p ξξξξ-<<=<<=>->=-,故B 正确,对于C ,在回归分析中,2R 越接近于1,模型的拟合效果越好,∴2R 为0.98的模型比2R 为0.89的模型拟合的更好故C 错误,对于D ,某人在10次答题中,答对题数为,~(10,0.8)X X B ,则数学期望()100.88E X =⨯=,故D 正确.故选：BD.10.对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z 的形式，两边取常用对数，则有lg lg N n a =+，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）真数x2345678910lg x （近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954 1.000真数x111213141516171819lg x （近似值） 1.041 1.079 1.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A.105在区间()6710,10内B.503是15位数C.若50710m a -=⨯，则43m =-D.若()30*mm N ∈是一个35位正整数，则14m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据lg lg N n a =+，分别求出各个选项中N 的常用对数的值，对照所给常用对数值判断.【详解】解：因为10lg 510lg 5 6.99=≈，67lg106lg106 6.99,lg107lg107 6.99==<==>，所以()1067510,10∈，故A 正确；因为505023.85lg 350lg 323.85,310=≈≈，所以503是24位数，故B 错误；因为50lg 750lg 742.25-=-≈-，所以5042.25710--≈，又50710m a -=⨯，则43m =-，故C 正确；30lg 30lg m m =，因为()30*mm N ∈是一个35位正整数，所以3430lg 35m ≤<，即177lg 156m ≤<，即1.1267lg 1.1667m ≤<，则14m =，故D 正确.故选：ACD11.菱形ABCD 的边长为a ，且60BAD ∠= ，将ABD △沿BD 向上翻折得到PBD △，使二面角P BD C --的余弦值为13，连接PC ，球O 与三棱锥P BCD -的6条棱都相切，下列结论正确的是（）A.PO ⊥平面BCDB.球O 的表面积为22πaC.球O 被三棱锥P BCD -表面截得的截面周长为π3a D.过点O 与直线,PB CD 所成角均为π4的直线可作4条【答案】AC 【解析】【分析】利用余弦定理求得PC a =，说明三棱锥P BCD -为正四面体，进而补成正方体，则说明O 点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A ；求得球O 的半径可判断B ；求出球O 被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球O 被三棱锥P BCD -表面截得的截面周长，判断C ；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D.【详解】如图在菱形ABCD 中，连接AC ，则AC BD ⊥，设,AC BD 交于E ，则,PE BD CE BD ⊥⊥，PE ⊂平面PBD ,CE ⊂平面CBD ，即PEC ∠为二面角P BD C --的平面角，即1cos 3PEC ∠=，又60BAD ∠= ，即ABD △为正三角形，即PBD △，CBD △为正三角形，故2PE CE a ==，故2222cos PC PE CE PE CE PEC =+-⋅∠2223312243a a a =-⨯⨯=，即PC a =，故三棱锥P BCD -为棱长为a 的正四面体；如图，将该四面体补成正方体PHDG NCMB -，四面体的各棱为正方体的面对角线，则正方体棱长为2a ，因为球O 与三棱锥P BCD -的6条棱都相切，则O 点即为正方体的中心，连接PM ，则O 为正方体体对角线PM 的中点，因为PN ^平面,MBNC BC ⊂平面MBNC ，故PN BC ⊥，又BC MN ⊥,而,,PN MN N PN MN =⊂ 平面PMN ，故BC ⊥平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，故BC PM ⊥；同理可证BD PM ⊥,,,⋂=⊂BC BD B BC BD 平面BCD ，故PM ⊥平面BCD ，即PO ⊥平面BCD ，A 正确；因为球O 与三棱锥P BCD -的6条棱都相切，故球O 即为正方体PHDG NCMB -的内切球，球的直径为正方体棱长2a ，则球的半径为24a ，故球O 的表面积为2214)ππ42a a ⨯=，B 错误；球O 被平面截得的截面圆即为正三角形BCD 的内切圆，由于BC a =，故正三角形BCD 的内切圆半径为1326a a ⨯=，故内切圆周长即球O 被平面截得的截面圆周长为2ππ63a a ⨯=，故球O 被三棱锥P BCD -表面截得的截面周长为3434ππ33a a ⨯=，C 正确；连接HM ，因为,PH BM PH BM =∥，即四边形PHMB 为平行四边形，故PB HM ∥，而HM CD ⊥，故PB CD ⊥，不妨取空间一点S ，作,PB CD 的平行线,P B C D ''''，如图，则和,P B C D ''''所成角均为π4的直线即为它们形成的角的角平分线12,l l ，假设平面α过1l 且垂直于,P B C D ''''所确定的平面，当1l 绕点S 且在α内转动时，则此时直线l 与,P B C D ''''所成角相等，但会变大，大于π4，即在,P B C D ''''所确定的平面外过点S 不存在直线l 与,P B C D ''''所成角为π4，故过点O 与直线,PB CD 所成角均为π4的直线可作2条，D 错误，故选：AC12.已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()()()()123,11f x g x f x g x ++-=---=，且()12g -=，()1g x -为偶函数，下列结论正确的是（）A.4为()f x 的一个周期B.()31g =C.20231()4045k f k ==∑ D.20231()2023k g k ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于()1g x -为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()g x 图象关于=1x -对称，所以()()()()()()21111g x g x g x g x -=-+-=---=-，所以()()()()1213f x g x f x g x ++-=++-=①，而()()11f x g x ---=②，两式相加得()()114f x f x -++=，则()()24f x f x ++=③，所以()()()()()()4224244f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以4是()f x 的一个周期，A 选项正确.由③令1x =得()()134f f +=，由①令2x =得()()()()21223,21f g f f +-=+==，由②令1x =得()()()()01021,03f g f f --=-==，则()()403f f ==，所以()()()()()()()12348,1235f f f f f f f +++=++=，所以()()()202312020()81234040540454k f k f f f ==⨯+++=+=∑，C 选项正确.由①令=1x -得()()()()01313,10f g g g +=+==，由()()()()123,11f x g x f x g x ++-=---=，得()()()()33,11f x g x f x g x +-=---=，两式相减得()()312g x g x -+--=，即()()312g x g x -+-=，且()g x 关于()2,1-对称，()21g -=，所以()()22g x g x ++=④，所以()()()()()()4222222g x g x g x g x g x +=++=-+=--=，所以()g x 是周期为4的周期函数，所以()()312g g =-=，所以B 选项错误.由④令2x =得()()242g g +=，所以()()()()12344g g g g +++=，由于()()()22421g g g =-+=-=，所以()()()1233g g g ++=所以202312020()4320234k g k ==⨯+=∑，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如()()()()()(),,kf x A f x f x a f x f x a f a +=+=-+=等等，这些都是与周期性有关；如()()()(),f a x f a x f a x f a x +=-+=--等等，这些都是与对称性有关.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．【答案】12【解析】【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323A A 12=种.故答案为：1214.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,,DA a DC b DD c P ===为1DD 的中点，过PB 的平面α分别与棱11,AA CC 交于点,E F ，且AE CF =，则BP EF +=________（用,,a b c表示）．【答案】122a c-+【解析】【分析】由题意设Q R E F 、、、分别为11,,,QA RC AA CC 的中点，容易证明四边形PEBF 是平行四边形，即平面PEBF 为符合题意的平面α，进而分解向量即可求解.【详解】如图所示：由题意不妨设Q R E F 、、、分别为11,,,QA RC AA CC 的中点，容易证明四边形PEBF 是平行四边形，即平面PEBF 为符合题意的平面α，因此()()()()BP EF BD ED DF D F DP DC D A P DE D ++=+=+++---+ ，又因为112DP DD = ，DE DA AE -=-- ，DF DC CF =+，且114AE DD = ，114CF DD = ，所以1111111112222442B D D DC DD A DD DC DA D F c P E D a A --+--+++⎛⎫⎛⎫+=+=-- ⎪ ⎪⎝+⎭⎝⎭=.故答案为：122a c -+.15.若函数()()e 2ln 2txtxf x x x +=-+，当()0,x ∈+∞时，()0f x >，则实数t 的取值范围________．【答案】1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由()0f x >进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得t 的取值范围.【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()()e 2ln 02txtxf x x x +=->+恒成立，即()()e 22ln txtx x x +>+恒成立，即()()e 2ln e 2ln txtxx x +⋅>+①恒成立，设()()2ln g x x x =+，()21ln g x x x'=++，令()()()2221ln ,x h x g x x h x x x -''==++=，所以()h x 在区间()0,2上()()0,h x h x '<单调递减；在区间()2,+∞上()()0,h x h x '>单调递增，所以()()22ln 20h x h ≥=+>，也即()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，所以由①得e tx x >，即ln ln ,xtx x t x>>，设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x-'==，所以()m x 在区间()0,e 上()()0,m x m x '>单调递增；在区间()e,+∞上()()0,m x m x '<单调递减，所以()()ln e 1e e em x m ≤==，所以1e t >，即t 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.已知点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，F 为抛物线C 的焦点，圆N 与直线2px =相交于A B 、两点，与线段NF 相交于点R ，且AB =．若R 是线段NF 上靠近F 的四等分点，则抛物线C 的方程为________．【答案】24y x =【解析】【分析】设||4(0)NF t t =>，表示出|,|AB RF t ===，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于,a p 的方程，即可求得p ，即得答案.【详解】由2:2(02)C y px p a =<<可知(,0)2pF ，设||4(0)NF t t =>，则|,|AB RF t ===，则||3NR t =，故222||(()||22p AB a NR -+=，即222()92p a t -+=①；又点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，故||42pNF a t =+=②，且122pa =，即6pa =③，②联立得22122030a ap p -+=，得23a p =或6a p =，由于02p a <<，故23a p =，结合6pa =③，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x=【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数,a p 间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 是公比1q >的等比数列，前三项和为39，且123,6,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*3213211N log log n n n b n a a -+=∈⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）3nn a =（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；（2）利用（1）的结论化简()*3213211N log log n n n b n a a -+=∈⋅，利用裂项求和法即可求得答案.【小问1详解】由题意可得123213392(6)a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即得22239,92(6)a a a +=∴=+，则1330a a +=，即1219(1)30a q a q =⎧⎨+=⎩，可得231030q q -+=，由于1q >，故得3q =，则13a =，故1333n nn a -=⨯=；【小问2详解】由（1）结论可得2132133231213)111log log log log 3(21)(21n n n n n b a a n n +--+===⋅⋅-+111()22121n n =--+，故{}n b 的前n 项和111111(1)23352121n T n n =-+-++--+ 11(122121n n n =-=++.18.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos c A a C a b -=+．（1）求角C ；（2）若5,c ABC =的内切圆半径4r =，求ABC 的面积．【答案】（1）2π3（2）16【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cos C 的值，即可得答案；（2）利用余弦定理得2225a b ab +=-，配方得2()25a b ab +=+，再结合ABC 的内切圆半径，利用等面积法推出25a b ab +=-，即可求得214ab =，从而求得答案.【小问1详解】在ABC 中，由cos cos c A a C a b -=+得sin cos sin cos sin sin C A A C A B -=+，即sin cos sin cos sin sin()C A A C A A C -=++,故2sin cos sin A C A -=，由于(0,π),sin 0A A ∈∴≠，故1cos 2C =-，而(0,π)C ∈，故2π3C =.【小问2详解】由2π3C =可得222c a b ab =++，而5c =，故2225a b ab +=-，则2()25a b ab +=+，由ABC 的内切圆半径34r =，可得11()sin 22a b c r ab C ++⋅=，即5()42a b ++=，即25a b ab +=-，故2(25)25ab ab -=+，解得214ab =，故ABC 的面积1121sin 224216S ab C ==⨯⨯=.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且24,AD AB M N ==、分别为PD BC 、的中点，H 在线段PC 上，且3PC PH =．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）当AM PC ⊥时，求平面AMN 与平面HMN 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）取AD 中点Q ，连接,MQ NQ ，要证//MN 平面PAB ，只需平面//MQN 平面PAB ，结合已知条件即可得证.（2）当AM PC ⊥时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据24==A D A B 以及中点关系、3PC PH =即可写出各个点的坐标，进而求出法向量即可求解.【小问1详解】如图所示：取AD 中点Q ，连接,MQ NQ ，,M N 分别为PD BC 、的中点，且底面ABCD 为矩形，所以1//,2MQ PA MQ PA =，且//NQ AB ，又因为MQ Ì平面MQN ，MQ ⊄平面PAB ，NQ ⊂平面MQN ，NQ ⊄平面PAB ，所以//MQ 平面PAB ，且//QN 平面PAB ，又因为MQ NQ Q = ，MQ Ì平面MQN ，NQ ⊂平面MQN ，所以平面//MQN 平面PAB ，因为MN ⊂平面MQN ，所以由面面平行的性质可知//MN 平面PAB 【小问2详解】如图所示：注意到侧面PAD 为正三角形以及M 为PD 的中点，所以由等边三角形三线合一得AM PD ⊥，又因为AM PC ⊥，且PD ⊂面PDC ，PC ⊂面PDC ，PD PC P ⋂=，所以AM ⊥面PDC ，又因为CD ⊂面PDC ，所以CD AM ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥，因为AD AM A = ，AM ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，所以CD ⊥面PAD ，因为PQ ⊂面PAD ，所以CD PQ ⊥，又//CD NQ ，所以NQ PQ ⊥，又由三线合一PQ AD ⊥，又AD NQ ⊥，所以建立上图所示的空间直角坐标系；因为24==A D A B ，所以()()(()()0,2,0,2,0,0,0,0,3,2,2,0,0,2,0A N P C D -，又因为M 为PD 的中点，3PC PH =，所以(22433,,,333M H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以(0,3,3MA =- ，(2,1,3MN =- ，213,,333MH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，不妨设平面AMN 与平面HMN 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，所以有1100n MA n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 以及2200n MH n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即分别有11111330230y x y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩以及2222222130333230x y z x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，分别令121,1y x =-=，并解得(()121,1,3,1,2,0n n =-=，不妨设平面AMN 与平面HMN 的夹角为θ，所以12121cos 5n n n n θ⋅==⋅ ；综上所述：平面AMN 与平面HMN 的夹角的余弦值为15.20.某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品、、A B C ，其中、、A B C 能通过行业标准检测的概率分别为469,,5710，且、、A B C 是否通过行业标准检测相互独立．（1）设新品、、A B C 通过行业标准检测的品种数为X ，求X 的分布列；（2）已知新品A 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品A 中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过n ．如果抽取次数的期望值不超过5，求n 的最大值．参考数据：456780.9750.904,0.9750.881,0.9750.859,0.9750.838,0.9750.817≈≈===【答案】（1）分布列见解析（2）5【解析】【分析】（1）由题意X 的所有可能取值为：0，1，2，3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解.（2）不妨设抽取第()11k k n ≤≤-次时取到优质产品，此时对应的概率为()()10.0250.975k P k -=⨯，而第n 次抽到优质产品的概率为()()10.975n P n -=，所以抽取次数的期望值为()()()()()1111110.0250.9750.975n n k n k k E n k P k nP n k n ----==⎡⎤⎡⎤=⋅+=⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()()()210.025120.97510.9750.975n n n n --⎡⎤=⨯+⨯++-⨯+⎣⎦，对其求和并结合()5E n ≤以及参考数据即可求解.【小问1详解】由题意X 的所有可能取值为：0，1，2，3.()111157103500P X =⨯⨯==,()411161119195710571057100135P X =⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=,()461419169114575710571057103501752P X =⨯⨯+⨯⨯+===⨯⨯,()46921610857103505317P X =⨯⨯===;所以X 的分布列如下表：X 0123()P X 13501935057175108175【小问2详解】不妨设抽取第()11,2k k n n ≤≤-≥次时取到优质产品，此时对应的概率为()()10.0250.975k P k -=⨯，而第n 次抽到优质产品的概率为()()10.975n P n -=，因此由题意抽取次数的期望值为()()()()()1111110.0250.9750.975n n k n k k E n k P k nP n k n ----==⎡⎤⎡⎤=⋅+=⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()()()210.025120.97510.9750.975n n n n --⎡⎤=⨯+⨯++-⨯+⎣⎦，()()()()()()210.9750.02510.97520.97510.9750.975n n n E n n n n --⎡⎤⋅=⨯⨯++-⨯+-⨯+⎣⎦，两式相减得()()()()()2110.0250.02510.9750.97510.9750.0250.975n n n E n n n ---⎡⎤⋅=⨯+++--⨯+⨯⎣⎦ ，所以()()()10.9754010.97510.975nn E n -⎡⎤==-⎣⎦-，又由题意可得()5E n ≤，所以()4010.9755n ⎡⎤-≤⎣⎦，即()0.9750.875n ≥，注意到当5n =时，有50.9750.8810.875≈>，且当6n =时，有60.9750.8590.875=<；综上所述：n 的最大值为5.21.已知点A 为圆22:60C x y +--=上任意一点，点B 的坐标为()，线段AB 的垂直平分线与直线AC 交于点D ．（1）求点D 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴分别交于12,A A 两点（1A 在2A 的左侧），过()3,0R 的直线l 与轨迹E 交于,M N 两点，直线1A M 与直线2A N 的交于P ，证明：P 在定直线上．【答案】（1）22146x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意推出||||||4DC DB -=，结合双曲线定义即可求得答案；（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线1A M 和2A N 的方程，推得122121522ty y y x x ty y y ++=-+，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.【小问1详解】由22:60C x y +--=得22:(61C x y +=，其半径为4，因为线段AB 的垂直平分线与直线AC 交于点D，故||||DB DA =，则||||||||||||||4DC DB DC DA AC -=-==,而||84BC =>，故点D 的轨迹E 为以,B C 为焦点的双曲线，则22224,2,26a a c c b c a ====∴=-=，故点D 的轨迹E 的方程为22146x y -=.【小问2详解】证明：由题意知12(2,0),(2,0)A A -，若直线l 斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l 的斜率不能为0，故设其方程为3x ty =+，联立223146x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22(32)18150t y ty -++=，21441200t ∆=+>，故12212218321532t y y t y y t -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，设()()1122,,,M x y N x y ，则直线1A M 的方程为1111(2)(2)25y y y x x x ty =+=+++，直线2A N 的方程为2222(2)(2)21y y y x x x ty =-=--+，故122121522ty y y x x ty y y ++=-+，则2221221113232=531518755()523215152232t t y y x t t y t t t t t x y -+---+-=--+--=--+，即252x x +=--，解得43x =，故直线1A M 与直线2A N 的交点P 在定直线上.【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线1A M 与直线2A N 的交点P 在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.22.已知函数()()()ln 1,e 2ln 3ln23xf x xg x ax a =+=-++．（1）当()()1,00,x ∈-⋃+∞时，求证：()112f x x x >-+；（2）若()1,x ∈-+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）(0,【解析】【分析】（1）对()0,x ∈+∞与()1,0x ∈-进行分类讨论，通过导函数求单调性得出最值即可证明；（2）原式化简可得()e 2ln 3ln23ln 1x a a x x -+≥--，只需求得()()e ln 1x F x ax x =-+的最小值，最小值利用虚根0x 表示，再利用0x 置换a 从而得出0x 的不等式，构造函数()()()23ln 123ln 231xH x x x x =++++++求出()0H x ≥的解集，最后结合函数()00ln 2ln 1a x x =-+-的单调性即可求出a 的范围.【小问1详解】由题知，当()0,x ∈+∞时，原不等式可化为：()2ln 12x x x +>-+，令()()212ln x x h x x =++-，则()211011x h x x x x '=+-=>++，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，从而有()()00h x h >=，故原不等式成立.当()1,0x ∈-时，原不等式等价于()0h x <，又()211011x h x x x x '=+-=>++，所以()h x 在()1,0-上单调递增，从而有()()00h x h <=，故原不等式成立.综上所述：当()()1,00,x ∈-⋃+∞时，恒有()112f x x x >-+.【小问2详解】由()e 2ln 3ln23xg x ax a =-++表达式可知0a >，()()g x f x ≥对()1,x ∈-+∞恒成立等价于()e 2ln 3ln23ln 1x a a x x -+≥--对()1,x ∈-+∞恒成立令()()e ln 1x F x ax x =-+，则有()()()1e e 1x x F x a x x '=+-+，令()()()()1e e 1x x G x F x a x x '==+-+，则有()()()212e 01x G x a x x '=++>+所以()F x '在()1,x ∈-+∞上单调递增又1x →-时，()F x '→-∞，x →+∞时()F x '→+∞从而存在唯一()01,x ∈-+∞，使得()00F x '=，即()()00001e e 01x x a x x +-=+，可得()()00001e e 1x x a x x =++，()00ln 2ln 1a x x =-+-，当()01,x x ∈-时，()00F x '<，()F x 在()01,x x ∈-单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()00F x '>，()F x 在()0,x x ∈+∞单调递增，故()()()0000e ln 1xF x F x ax x ≥=-+故原不等式恒成立只需()()()00000020e ln 122ln 13ln 231e x x x x x x x ⋅-+≥-+---⎡⎤⎣⎦+即()()000203ln 123ln 2301x x x x +++++≥+，构造函数()()()23ln 123ln 231x H x x x x =++++++可得()()()()2331335422111xx x H x x x x -++'=++=++++()1x >-，当1x >-时，令()2354u x x x =++，因为2548230∆=-=-<从而可得()0H x '>在()1,x ∈-+∞时恒成立又102H ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()0H x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.又因为()00ln 2ln 1a x x =-+-，令()()2ln 1m x x x =-+-，易得()m x 在定义域内单调递减，所以111ln 2ln 1ln 4222a ⎛⎫≤--++=+ ⎪⎝⎭所以1ln 42e a +≤=，故a 的取值范围为：(0,【点睛】思路点睛：（1）不等式两边同时去分母时务必要记得对分母的正负分类讨论；（2）恒成立问题可以优先转化为最值问题，而最值问题往往通过导函数作为工具；（3）隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，需要仔细观察式子多次尝试；第二步：虚设零点并确定取值范围，通过零点方程进行代换，可能需要进行多次.。

2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学（答案在最后）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3,4A =，且A B A = ，则集合B 可以是()A.{}1,2,3 B.{}21x x> C.{}2log 0x x > D.{}|21xx >2.已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A.1a =，3b =-B.1a =-，3b =C.1a =-，3b =- D.1a =，3b =3.已知,R a b ∈．则“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线22:13-=y C x 的下焦点和上焦点分别为12F F ，，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若2F AB 面积是1F AB 面积的4倍，则m =（）A.3B.3- C.103D.103－5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有12的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）A.124B.118C.112D.166.若函数()f x 使得数列()n a f n =，*n ∈N 为递减数列，则称函数()f x 为“数列保减函数”，已知函数()ln f x x ax =-为“数列保减函数”，则a 的取值范围（）A.[)ln 3,+∞ B.()ln 2,+∞ C.[)1,+∞ D.()0,∞+7.若4tan 23α=，则22cos 23sin 21cos 2ααα+-=-（）A.12-或2 B.2-或12C.2D.12-8.已知函数()()2log 4162xf x x =+--，若()()121f a f a -≥+成立，则实数a 的取值范围为（）A.(],2-∞- B.(][),20,-∞-+∞ C.42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]4,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10.已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的充分条件是（）A.3πϕ=-B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.()f x 是奇函数D.()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知不相等的实数a ，b 满足0ab >，则下列四个数a ，b ，2a b+经过适当排序后（）A.可能是等差数列B.不可能是等差数列C.可能是等比数列D.不可能是等比数列12.设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（）A.当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B.存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C.当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D.当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线2(0)y ax a =≠上的一点()1,4P -到其准线的距离为______．14.已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于______．15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为______．16.已知12 e e ，u r u r 是空间单位向量，12e e 105=︒，u r u u r ，若空间向量a 满足11a e ⋅=r u r ，2a e ⋅=r u r 且对于任意R x y ∈，，都有120102()()1a xe ye a x e y e -+≥-+=r u r u r r u r u r（其中00R x y ∈，），则a = ______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2b b ac +=.（1）求证：2C B =；（2）若ABC 为锐角三角形，求2sin cos sin C B B +-的最大值．18.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，且12345,,,,a a a a a 成等比数列，当5n ≥时，0n a >．（1）求证：当5n ≥时，{}n a 成等差数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．19.某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85（1）能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)（2）从该班的学生中任选一人，A 表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B 表示事件“选到的学生语文成绩良好”，(|)(|)P A B P A B 与(|)(|)P A B P A B 的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R ．(i )证明：(|)(|)(|)(|)P B A P B A R P B A P B A =⋅；(ii )利用该表中数据，给出()P B A ，()P B A 的估计值，并利用(i )的结果给出R 的估计值．附：()()22()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥侧面PAB ，F 为BD 中点，E 是PA 上的点，2PA PD ==，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若二面角E DF A --的余弦值为31111，求E 到平面PBC 的距离21.已知圆221:1C x y +=和椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆2C 的四个顶点为1212A A B B ，，，，如图．（1）圆221:1C x y +=与平行四边形1221A B A B 内切，求224a b +的最小值；（2）已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a ，b 满足什么条件时，对2C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点与1C 外切，与2C 内接的平行四边形？并证明你的结论．22.已知函数()ln f x b x =，()2g x x ax =+（其中a ，b 为实数，且0b >）（1）当1a =-时，()()f x g x ≤恒成立，求b ；（2）当2b =时，函数()()()G x f x g x =-有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据：5ln 0.2234≈）2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3,4A =，且A B A = ，则集合B 可以是()A.{}1,2,3 B.{}21x x> C.{}2log 0x x > D.{}|21xx >【答案】D 【解析】【分析】根据A B A = 可得出A B ⊆，显然A 错误，并且可求出,,B C D 的集合，然后即可得出正确的选项．【详解】A B A =Q I ，A B ∴⊆，且{}1,2,3,4A =，故选项A 错误；{}21{1xx x x >=<-∣∣或1}x >，故选项B 错误；{}{}2|log 0|1x x x x >=>，故选项C 错误；{}21{0}xxx x >=>∣∣，故选项D 正确．故选：D ．2.已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A.1a =，3b =-B.1a =-，3b =C.1a =-，3b =-D.1a =，3b =【答案】A 【解析】【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解.【详解】因为3i (i)i 1i a b b -=-=+，所以1,3a b ==-.故选：A3.已知,R a b ∈．则“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当0a >且0b >时，0,0a b b a >>，所以2a b b a +≥=，当且仅当a b b a=，即a b =时取等号，所以由0a >且0b >可以得出2a b ba +≥，显然，当2a b ==-，有2a b b a +≥成立，但得不出0a >且0b >，所以“0a >且0b >”是“2a b ba+≥”的充分而不必要条件，故选：A.4.已知双曲线22:13-=y C x 的下焦点和上焦点分别为12F F ，，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若2F AB 面积是1F AB 面积的4倍，则m =（）A.3 B.3- C.103D.103－【答案】D 【解析】【分析】根据三角形面积比转化为焦点到直线AB 的距离之比即可得解.【详解】由22:13-=y C x 可知，12(0,2),(0,2)F F -，联立2213y x y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元得：222230x mx m -+-=，则2248(3)0m m ∆=-->，即22m >，由2F AB 面积是1F AB 面积的4倍可知，2F 到直线AB 的距离是1F 到直线AB 距离的4倍，即=，化简可得21568600m m ++=，即()()310560m m ++=，解得103m =-或65m =-（舍去），故选：D5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有12的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（）A.124B.118C.112D.16【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求出结果.【详解】记事件A ：甲独自获胜，因为每人随机选一个球（不放回），用(,,)x y z 表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法，又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有12的概率猜对其他人写的灯谜，当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为11111(1(1)62224P =⨯-⨯-=，当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为211111(1(1)622248P =⨯⨯-⨯-=，当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为311111(1(1)622248P =⨯⨯-⨯-=，所以1111()24484812P A =++=，故选：C.6.若函数()f x 使得数列()n a f n =，*n ∈N 为递减数列，则称函数()f x 为“数列保减函数”，已知函数()ln f x x ax =-为“数列保减函数”，则a 的取值范围（）A.[)ln 3,+∞ B.()ln 2,+∞ C.[)1,+∞ D.()0,∞+【答案】B 【解析】【分析】易知()()1f n f n +<对任意的*N n ∈恒成立，参变分离即可求解.【详解】由题可知()()1f n f n +<对任意的*N n ∈恒成立，即1ln 1a n ⎛⎫>+⎪⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立，因为11t n=+在1n ≥时单调递减，ln y t =在0t >时单调递增，1ln 1y n ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭在1n ≥时单调递减，1ln 1n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭在n ＝1时取最大值,且最大值为ln 2，ln2a ∴>.故选：B.7.若4tan 23α=，则22cos 23sin 21cos 2ααα+-=-（）A.12-或2 B.2-或12C.2D.12-【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出tan α，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化简要求值的式子，带值计算即可得到答案.【详解】242tan 41tan2tan 31tan 32αααα=⇒=⇒=-或2-，22cos 23sin 21cos 2ααα+--()()22222cos 16sin cos 112sin αααα+--=--224cos 6sin cos 2sin αααα-=223tan tan αα-=代入tan α求得值均为：2.故选：C.8.已知函数()()2log 4162xf x x =+--，若()()121f a f a -≥+成立，则实数a 的取值范围为（）A.(],2-∞- B.(][),20,-∞-+∞ C.42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]4,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将不等式去掉函数符号即可求解.【详解】记()()()222log 4164,x g x f x x x R +=+=+--∈，令()()22224ln 441610416416ln 2x x x x g x ++++-=-==+'+，解得0x =，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减.因为()()()2221614log4164log 44xx xg x x x -++-=++-=+-()()22log 4164x x g x +=+--=，所以()g x 为偶函数.所以()()()()()()12132212321f a f a f a f a g a g a -≥+⇔-+≥-+⇔-≥-，又()g x 在()0,∞+上单调递增，所以321a a -≥-，即23280a a +-≤，解得423a -≤≤.故选：C【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调性进行求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A.样本乙的极差一定大于样本甲的极差B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数C.样本甲的方差一定大于样本乙的方差D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数【答案】BD【解析】【分析】根据数据分布的最小值和最大值可判断极差，从而判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并结合图象可判断BCD.【详解】对于选项A：甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，故A错误；对于选项B：根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，B正确；对于选项C：甲的数据平局分布，乙的数据分布波动较大，故甲的方差小于乙的方差，故C错误；对于选项D：+=<，对于甲，各组频率依次为：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10，因为前两组频率之和0.150.200.350.5 ++=>，故中位数位于[3.5,4.5)之间；前三组频率之和0.150.200.200.550.5同理，对于乙，各组频率依次为：0.05,0.10,0.15,0.50,0.20,0.15，前三组频率之和+++=>，故中位数位于++=<，前四组频率之和0.050.100.150.500.80.50.050.100.150.30.5[5.5,6.5)之间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.故选：BD.10.已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数的充分条件是（）A.3πϕ=-B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.()f x 是奇函数 D.()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BD 【解析】【分析】根据条件，利用正弦函数的性质得到函数()f x ，再利用正弦函数的单调性判断.【详解】A.当3πϕ=-时，()sin(2)3f x x π=-，由,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得20,33x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故错误；B.若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=+∈，取6πϕ=，则()sin(26f x x π=+，由,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得52,626x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故正确；C.若()f x 是奇函数，则,k k Z ϕπ=∈，取0ϕ=，则()sin 2f x x =，由,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得22,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故错误；D.若()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则52,6k k Z πϕπ⨯+=∈，解得5,3k k Z πϕπ=-∈，取3πϕ=，则()sin(23f x x π=+，由,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得22,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故正确；故选：BD11.已知不相等的实数a ，b 满足0ab >，则下列四个数a ，b ，2a b+经过适当排序后（）A.可能是等差数列B.不可能是等差数列C.可能是等比数列D.不可能是等比数列【答案】AD 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合等差数列、等比数列的性质进行判断即可.【详解】不相等的实数a ，b 满足0ab >，不妨设a b >，当0a b >>时，显然有2a ba b +>>>，要想构成等差数列，则有：22a b a ba b a b +++=+⇒=⇒=，这与a b >矛盾，因此不能构成等差数列，若能构成等比数列，则有22a b a bab a b ++=⇒=⇒=，这与a b >矛盾，因此不能构成等比数列，当0a b >>2a ba b +>>>，要想构成等差数列，则有：92a ba b b a ++=⇒=或b a =（舍去），0,,,02a ba b +><这是不可能的，因此不能构成等比数列，故选：AD12.设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（）A.当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B.存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C.当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D.当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，设221x y +=，圆心()0,0到直线:cos sin 1M x y θθ+=的距离等于1，故满足要求；B 选项，直线:cos sin 1M x y θθ+=恒过()1,1，结合直线的斜率存在和不存在两种情况，得到直线22:cos sin 1M x y θθ+=不过第三象限；C 选项，得到1m n ==和2m n ==，得到原点到直线距离的范围；D 选项，由题意得到不等式，得到()221cos 21a a θ-≥-，分210a -=，210a ->和210a -<三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】A 选项，当1m =，1n =时，:cos sin 1M x y θθ+=，设圆为221x y +=，则圆心()0,0到直线:cos sin 1M x y θθ+=的距离1d ==，故:cos sin 1M x y θθ+=与221x y +=总相切，A 正确；B 选项，当2m n ==时，22:cos sin 1M x y θθ+=，由于22cos sin 1θθ+=，故直线22:cos sin 1M x y θθ+=恒过()1,1，若sin 0θ=时，直线为:1M x =，若sin 0θ≠时，直线22:cos sin 1M x y θθ+=的斜率为22cos 0sin θθ-≤，故直线22:cos sin 1M x y θθ+=不过第三象限，所以存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B 正确；C 选项，当1m n ==时，:cos sin 1M x y θθ+=，坐标原点到直线系M的距离为11d ==，当当2m n ==时，22:cos sin 1M x y θθ+=，坐标原点到直线系M的距离为2d =其中44222222cos sin cos cos sin sin cos sin 1θθθθθθθθ+=+<+=，故21d =>，C 错误.D 选项，当2m =，1n =时，2:cos sin 1M x y θθ+=，点()0A a ，到直线系M中所有直线的距离31d =≥，化简得()221cos 21a a θ-≥-恒成立，由于[]2cos0,1θ∈，若210a -=，解得1a =±，当1a =时，01≥，不合要求，舍去，当1a =-时，01≥-，满足要求，若210a ->，即1a >或1a <-，此时()221cos a θ-的最小值为0，则021a ≥-，解得12a ≤，故此时1a <-，若210a -<，即11a -<<，此时()221cos a θ-的最小值为21a -，则2121a a -≥-，解得2a ≥或0a ≤，故此时10a -<≤，综上，0a ≤，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线2(0)y ax a =≠上的一点()1,4P -到其准线的距离为______．【答案】5【解析】【分析】根据点P 在抛物线上求出a ，再根据抛物线的性质求出其准线方程，从而可求P 到准线的距离．【详解】∵()14P -,在2y ax =上，∴16a -=，即16a =-，∴抛物线为216y x =-，其准线为4x =，则()14P -,到准线的距离为()415--=．故答案为：5．14.已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于______．【答案】4-【解析】【分析】求导，即可由()18f -=且()10f '-=求解,a b ，进而代入验证是否满足极值点即可．【详解】()232,f x x ax b =++'若函数()f x 在=1x -处有极值8，则()()18,10,f f '-=-=即218,320a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩解得：3,3a b ==或2,7a b =-=-，当3,3a b ==时，()223633(1)0f x x x x =+=+'+≥，此时=1x -不是极值点，故舍去；当2,7a b =-=-时，()()()2347371f x x x x x =--=-+'，当73x >或1x <-时，()0f x '>，当()71,03x f x -<'<<，故=1x -是极值点，故2,7a b =-=-符合题意，故()32274f x x x x =--+，故()14f =-.故答案为：4-.15.杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为______．【答案】722π3【解析】【分析】根据条件，利用柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.【详解】因为两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6，所以两个圆柱的体积分别为1π25250πV Sh ==⨯⨯=，2π256150πV Sh ==⨯⨯=，又圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2，所以圆台的体积为22311221π122ππ()2(162025)333V h r r r r =++=⨯++=，所以该组合体的体积为122π722π50π150π33V =++=，故答案为：722π3.16.已知12 e e ，u r u r 是空间单位向量，12e e 105=︒，u r u u r ，若空间向量a 满足11a e ⋅=r u r ，2a e ⋅=r u r 且对于任意R x y ∈，，都有120102()()1a xe ye a x e y e -+≥-+=r u r u r r u r u r（其中00R x y ∈，），则a = ______．【答案】【解析】【分析】首先分析题意，由12,105e e ︒〈〉= 结合空间向量的数量积定义求解12e e ⋅ 的值，进行下一步化简得出则当00,x x y y ==时，12()a xe ye -+ 取得最小值，得到12x y =-，多次求解二次函数最值可得答案.【详解】因为12,105e e ︒〈〉= 且两者均为单位向量，所以121212=cos ,e e e e e e ⋅⋅⋅cos105cos(4560)cos 45cos60sin 45sin 604︒︒︒︒︒︒︒==+=⨯-⨯=，又因为对于任意的x y ，R,∈都有()()1201021a xe ye a x e y e -+≥-+=，则当00,x x y y ==时，12()a xe ye -+取得最小值，则当()()()2221212122·a xe ye a xe ye a xe ye -+=++-+22222a x y xy x -=+++-- ，令()2222f x x y x y ⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭，由二次函数性质得当()281,14162x y f x y y -+=-≥--,令()281162g y y y ++=--，同理()min 4g y =-，即()min 4f x =-，故241a a -=⇒=，【点睛】关键点点睛：本题考查求空间向量，解题关键是找到方程，然后用主元法视为二次函数，多次求最值即可．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2b b ac +=.（1）求证：2C B =；（2）若ABC 为锐角三角形，求2sin cos sin C B B +-的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）178【解析】【分析】（1）根据条件及余弦定理得到2cos b a b C =-，再利用正弦定理边转角得到sin sin 2sin cos B A B C =-，借助三角恒等变换公式化简即可得出结果；（2）利用ABC 为锐角三角形，得到π6π4B <<，再令π)4t B =-，将问题转化成求1172()48y t =--+在31(0,)2t -∈上的最值，即可求出结果.【小问1详解】因为()2b b ac +=，即22c b ab =+，由余弦定理2222cos c b a ab C =+-，得到22cos ab a ab C =-，即2cos b a b C =-，所以sin sin 2sin cos B A B C =-，又sin sin(π)sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C =--=+=+，所以sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin sin cos sin()B B C B C B C B C B C C B =+-=-=-，又,(0,π)B C ∈，得到B C B =-或πB C B +-=（舍），所以2C B =，命题得证.【小问2详解】由（1）知2C B =，所以2sin cos sin 2sin2cos sin C B B B B B +-=+-，令πcos sin )4t B B B =-=-，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022π02π0π32C B C A B ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得到π6π4B <<，所以ππ(0,)412B -∈，又πππππππsin sin()sin cos cos sin 123434344=-=-=，所以1(0,)2t -∈，又22sin21(cos sin )1B B B t =--=-，所以2221172sin cos sin 2(1)222()48C B B t t t t t +-=-+=-++=--+，所以当14t =时，2sin cos sin C B B +-取到最大值为178.18.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，且12345,,,,a a a a a 成等比数列，当5n ≥时，0n a >．（1）求证：当5n ≥时，{}n a 成等差数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）*2*1(1),14,N 152,5,N 22n n n n S n n n n ⎧--≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】【分析】(1)利用11n n n a S S ++=-得到1n a +和n a 的关系即可证明；(2)结合(1)中结论得()105n n a a n ++=≤，求出1a 和公比，得到{}n a 通项公式，从而根据等差和等比数列前n 项和公式即可求解．【小问1详解】∵2*111(N )22n n n S a a n =+-∈，∴222n n n S a a =+-，211122n n n S a a +++=+-，两式相减，得221112n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1110n n n n a a a a +++--=．当5n ≥时，0n a >，∴11n n a a +-=，∴当5n ≥时，{}n a 成等差数列．【小问2详解】由211111122a a a =+-，解得12a =或11a =-，又12345,,,,a a a a a 成等比数列，∴由(1)得()105n n a a n ++=≤，进而1q =-，而50a >，∴10a >，从而152a a ==，∴12(1),143,5n n n a n n -⎧⨯-≤≤=⎨-≥⎩，∴*2*1(1),14,N 152,5,N 22n n n n S n n n n ⎧--≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．19.某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：数学成绩良好数学成绩不够良好语文成绩良好1210语文成绩不够良好85（1）能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)（2）从该班的学生中任选一人，A 表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B 表示事件“选到的学生语文成绩良好”，(|)(|)P A B P A B 与(|)(|)P A B P A B 的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R ．(i )证明：(|)(|)(|)(|)P B A P B A R P B A P B A =⋅；(ii )利用该表中数据，给出()P B A ，()P B A 的估计值，并利用(i )的结果给出R 的估计值．附：()()22()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）20.163K ≈，否；（2）(i )证明见解析；(ii )()()32|,53P B A P B A ==∣，34R =．【解析】【分析】（1）根据公式求出2K ，查表即可判断；（2）(i )根据条件概率计算公式即可证明；(ii )根据条件概率计算公式即可计算.【小问1详解】由已知()()()()222()35(125108)700.16322132015429n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，又()2 3.8410.050P K ≥=，而0.163 3.841<，∴没有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关．【小问2详解】(i)∵()()()()()·P A B P B P A B P A B P AB P B R P B P A B P A B P A B P B P A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∣∣∣∣．∴()()()()·P A P A B P AB P A R P A P A B P A P A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()P B A P B A R P B A P B A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∣∣∣∣，(ii)由已知()123102,205153P BA P B A ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ ，又85,2015P B A P B A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∣∣，∴()34P B A P B A R P B A P B A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∣∣∣∣．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥侧面PAB ，F 为BD 中点，E 是PA 上的点，2PA PD ==，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若二面角E DF A --的余弦值为11，求E 到平面PBC 的距离【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由面面垂直和线面垂直性质可得PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定方法可证得结论；（2）取AD 中点O ，结合面面垂直性质可知,,OF AD OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()01AE AP λλ=≤≤ ，根据二面角的向量求法可构造方程求得λ的值，进而根据点面距离的向量求法求得结果.【小问1详解】平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ⋂平面PAB PA =，PA PD ⊥，PD ⊂平面PAD ，PD ∴⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，PD AB ∴⊥；四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥，PD AD D = ，,PD AD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂ 平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取AD 中点O ，连接,OP OF ，PA PD = ，O 为AD 中点，OP AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，OP ∴⊥平面ABCD ，,O F 分别为,AD BD 中点，//OF AB \，又AB AD ⊥，OF AD ∴⊥；以O 为坐标原点，,,OA OF OP正方向为,,x y z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，2PA PD == ，PA PD ⊥，AD ∴=，12OP AD ==()D ∴，)A，(P，)B，()C，()F，)DF ∴=，PB =，()BC =-，(AP =，()DA = ，设()01AE AP λλ=≤≤，则()AE =，()DE DA AE ∴=+= ，设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，则()00DE n x z DF n ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令x λ=，解得：y λ=-，2z λ=-，(),,2n λλλ∴=-- ；z 轴⊥平面ADF ，∴平面ADF 的一个法向量()0,0,1m = ，cos ,11m n m n m n ⋅∴===⋅ ，解得：1λ=-（舍）或12λ=，,0,22AE ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22EP AP AE ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭；设平面PBC 的法向量(),,t a b c = ，则00PB t BC t ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1b =，解得：0a =，2c =，()0,1,2t ∴= ，∴点E 到平面PBC的距离105EP t d t ⋅=== .21.已知圆221:1C x y +=和椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆2C 的四个顶点为1212A A B B ，，，，如图．（1）圆221:1C x y +=与平行四边形1221A B A B 内切，求224a b +的最小值；（2）已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a ，b 满足什么条件时，对2C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点与1C 外切，与2C 内接的平行四边形？并证明你的结论．【答案】（1）9；（2）存在，证明见详解.【解析】【分析】（1）由圆1C 与直线21A B 相切可得2221b a b =-，代入224a b +，利用基本不等式即可求解；（2）根据对称性和切线性质可得OP OM ⊥，设(),S m n ，则直线PM 的方程为1mx ny +=，代入椭圆方程得()22222x y mx ny a b+=+，整理成关于y x 的方程，利用韦达定理结合OP OM ⊥可证.【小问1详解】由题知，()()12,0,0,B a A b ，所以直线21A B 的方程为1x y a b +=，即0bx ay ab +-=，因为圆221:1C x y +=与平行四边形1221A B A B 内切，所以，圆心()0,0O 到直线21A B 的距离等于1=，整理得2221b a b =-，所以()222222214=441511b a b b b b b ++=+-+--，由题意可知，21b >，所以()2214151b b +-+≥-，当且仅当()221=411b b --，即232b =时等号成立，所以，224a b +的最小值为9.【小问2详解】当2222a b a b +=时，对2C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点与1C 外切，与2C 内接的平行四边形，证明如下：如图，设()()1122,,,P x y M x y ，当10x =或20x =时，由（1）可知存在满足题意的平行四边形.当120x x ≠时，因为平行四边形PMQN 的中心为O ，所以，点M ，N 关于原点对称，记直线,PM PN 与圆O 的切点分别为S ，T ，由对称性和切线性质可知，,PS PT MS NT ==，所以PM PN =，又O 为MN 的中点，所以OP OM ⊥，即12121y y x x =-，设(),S m n ，则直线PM 的方程为1mx ny +=，代入椭圆方程得()22222x y mx ny a b+=+，整理得222221120y y n mn m b x x a ⎛⎫⎛⎫--⋅+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由韦达定理可得22122122111m y y a x x n b-==--，即222211+=+m n a b ，又点(),S m n 在圆221x y +=上，所以221+=m n ，所以2211+=1a b，即2222a b a b +=.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据对称性和切线性质分析,OP OM 的关系，然后设切线方程联立椭圆方程，将方程转化为y x的一元二次方程，利用韦达定理证明可得.22.已知函数()ln f x b x =，()2g x x ax =+（其中a ，b 为实数，且0b >）（1）当1a =-时，()()f x g x ≤恒成立，求b ；（2）当2b =时，函数()()()G x f x g x =-有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据：5ln 0.2234≈）【答案】（1）1b =（2）1-【解析】【分析】（1）设()()()2ln F x f x g x b x x x =-=-+，利用导数分类讨论()F x 的最大值；（2）分离常数转化为关于x 的方程()22ln 0x x a x x -=>有两个不同的解，设()22ln x x h x x-=，利用导数求函数()h x 的极大值()09,010h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()0a h x <，当1a =-时，设()22ln p x x x x =-+，验证有两解即可.【小问1详解】设()()()2ln F x f x g x b x x x =-=-+，则其定义域为()0,∞+，()2221b x x b F x x x x-++=-+='当1b =时，()()()221121x x x x F x x x'-+--++==，当()0,1x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()()10F x F ≤=，对于()0,x ∀∈+∞恒成立，即()()f x g x ≤恒成立，所以1b =合理．当1b >时，令()0F x '=，即220x x b -++=，解得1104x =<（舍），2114x =>当()20,x x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增；又有()10F =，所以当()21,x x ∈时，()()10F x F >=，不合题意．当01b <<时，令()0F x '=，即220x x b -++=，解得1104x =<（舍），2114x =<当()2,x x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减；又有()10F =，所以当()2,1x x ∈时，()()10F x F >=，不合题意．综上所述，1b =．【小问2详解】由题意，方程()22ln 00x x ax x --=>有两个不同的解，即关于x 的方程()22ln 0x x a x x-=>有两个不同的解，设()22ln x x h x x -=，则()2222ln x x h x x '--=，设()222ln m x x x =--，由0x >可知()220m x x x=--<'，所以()m x 在()0,∞+上单调递减，又()110m =>，5752ln 04164m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m x =，即20022ln 0x x --=，所以20022ln x x =+，所以当()00,x x ∈时，()0m x >，即()0h x '>，进而函数()h x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0m x <，即()0h x '<，进而函数()h x 单调递减，所以函数()h x 的极大值为()22000000002ln 22292,010x x x h x x x x x --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭要使得关于x 的方程()22ln 0x x a x x-=>有两个不同的解，则()0a h x <，当1a =-时，设()22ln p x x x x =-+，则()221p x x x =-+'，可知()p x在10,4⎛+ ⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，又()10p =，104p ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()2e 2e e 0p =-+<，所以()p x 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

2024-2025学年度上学期广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，请2B 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（）A.41πB.42πC. D.(18π+2.某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为A.66B.54C.40D.363.已知点F ，A 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点、右顶点，()0,B b 满足0FB AB ⋅= ，则椭圆的离心率等于（）A.312+ B.512C.312- D.512+4.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A.60个B.48个C.36个D.24个5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，()20f =，则()()10x f x -⋅<的解集为（）A.()2,2- B.()1,2 C.()()2,01,2-U D.()2,-+∞6.19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===+，若其前n 项和为n S ，则10S =（）A.12a B.121a - C.122a - D.123a -7.已知向量()1,a t = ，()3,1b =- ，且()2a b b +⊥ ，则向量a与b 的夹角等于（）A.π4B.π3C.2π3D.3π48.设函数322f x x x x =-+（），则A.函数()f x 无极值点B.1x =为()f x 的极小值点C.2x =为()f x 的极大值点D.2x =为()f x 的极小值点二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.午饭时间；B 同学从教室到食堂的路程S 与时间t 的函数关系如图，记t 时刻的瞬时速度为()V t ，区间[][][]12120,,0,,,t t t t 上的平均速度分别为123,,V V V ，则下列判断正确的有（）A.123V V V <<B.1322V V V +<C.对于()1,2,3i V i =，存在()20,i m t ∈，使得()i i V m V =D.整个过程小明行走的速度一直在加快10.对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增B.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x ⋅>⋅C .若函数()(R)y fx k k =-∈有两个零点，则e=k D .设()()2R g x x a a =+∈，若对1x ∀∈R ，2(1,)x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≥11.已知O 为坐标原点，焦点为F 的抛物线()2:20C x py p =>过点()2,1M ，过M 且与OM 垂直的直线l 与抛物线C 的另一交点为N ，则（）A.2p = B.3MF =C.MN =D.直线l 与抛物线C 的准线相交于点()3,1-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数2()e (1)e x x f x x m =--存在唯一极值点，则实数m 的取值范围是_______________.13.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别在11A B 、11C D 上，且112A P PB =，112C Q QD =，则异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为__________14.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值是______.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，4PA PB PC AC ====，O 为AC中点．（1）证明：⊥PO 平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，12BM MC =，且AB BC =，求二面角M PA C --的大小．16.已知实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．17.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H 为PC 的中点，M 为AH 中点，PA=AC=2，BC=1．（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；（Ⅱ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；(Ⅲ)在线段PB 上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N 的位置，若不存在，请说明理由．18.已知无穷数列（0n a ≠，*n ∈N ），构造新数列(){}1na 满足()11nn na aa +=-，(){}2n a 满足()()()2111n n n a a a +=-，…，(){}k n a 满足()()()111k k k n n n a a a --+=-（2k ≥，*k ∈N ），若(){}kna 为常数数列，则称为k 阶等差数列；同理令()11n nn a b a +=，()()()1211n n b b b +=，……，()()()111k k n n k n b b b -+-=（2k ≥，*k ∈N ），若(){}k nb 为常数数列，则称为k 阶等比数列.（1）已知为二阶等差数列，且11a =，24a =，()22n a =，求的通项公式；（2）若为k 阶等差数列，为一阶等比数列，证明：{}n an b 为k 阶等比数列；（3）已知23814n nn n d -+-=，令{}n d 的前n 项和为n S ，1nn m m T S ==-，证明：2n T <.19.如果三个互不相同的函数()y f x =，()y g x =，()y h x =在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≤≤或()()()g x h x f x ≤≤，则称()y h x =为()y f x =与()y g x =在区间D 上的“分割函数”．（1）证明：函数()1f x x =为函数()ln 1y x =+与1e x y -=在()1,-+∞上的分割函数；（2）若函数()20y ax bx c a =++≠为函数222y x =+与4y x =在(),-∞+∞上的“分割函数”，求实数a的取值范围；（3）若[][],2,2m n ⊆-，且存在实数,k d ，使得函数y kx d =+为函数424y x x =-与2416y x =-在区间[],m n 上的“分割函数”，求n m -的最大值．2024-2025学年度上学期广东省三校“决胜高考，梦圆乙巳”第一次联合模拟考试数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】(],1∞-【13题答案】【答案】45##0.8【14题答案】【答案】1316四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明见解析（2）30o 【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【17题答案】【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）21515（Ⅲ）点N 是靠近B 点的四等分点【18题答案】【答案】（1）2n a n =（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）(0,2)；（3）。

2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷满分150分．考试时间为120分钟；（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．（3）考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若3-i1+iz =,i 为虚数单位，则z （）A ．2i -B ．12i -C ．12i+D ．2i+2．设集合1{1},12A xB x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知,B C 分别是上、下底面圆的圆心，6,2AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）图1图2A ．803πB ．703πC ．20πD ．563π4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos 2Bb Cc =，且||||CA CB CA CB +=- ，则A =（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ≠,甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定6．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若4863,,5a a a 成等差数列，则1056S a a =+（）A ．1219B ．114C ．314D ．211367．有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%，加工出来的零件混放在一起．己知第1,2,3台车床加工的零件数的比为4: 5: 11，现任取一个零件，记事件i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =,事件B =“零件为次品”，则()1P A B =（）A ．0.2B ．0.05C ．537D ．10378．设0a >且1a ≠，若函数()()32223722,0()2log ,0e a x x a a x x f x x x x ⎧-+-++≤⎪=⎨->⎪⎩有三个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,(2,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1(1,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1(1,2)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,1(1,2)3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，某学校举办了一场关于杭州亚运会相关知识问答竞赛，比赛采用计分制（满分100分），该校学生成绩绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A ．0.01a =B ．该校学生成绩的众数为80分C ．该校学生成绩的75%分位数是85分D ．该校学生成绩的平均分是76.510．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22154x y +=的右焦点重合，,A B 是抛物线C 上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A ．抛物线C 的标准方程为24y x=B ．若直线AB 经过点F ,则以线段AB 为直径的圆与y 轴相切C ．若点(1,1),Q P 为抛物线C 上的动点，则PQF 周长的最小值为3+D ．若0OA OB ⋅=,则||||32OA OB ⋅≥11．如图，已知正三棱台111ABC A B C -是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中12AA =,以点A 为球心，11BCC B 的交线为曲线,P Γ为Γ上一点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面11BCCB 的距离为B ．曲线Γ的长度为4πC ．CP 的最小值为2D ．所有线段AP 所形成的曲面的面积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则1a =_______．（用数字作答）13．已知圆221:3C x y +=,圆222:(1)(2)3C x y -+-=,直线:2l y x =+．若直线l 与圆1C 交于,A B 两点，与圆2C 交于,D E 两点，,M N 分别为,AB DE 的中点，则||MN =________．14．设*{1,2,,}m N m = 表示不超过()*m m N∈的正整数集合，kA 表示k 个元素的有限集，()S A 表示集合A中所有元素的和，集合(){}*,m k k k m T S A A =⊆N ，则3,2T =_________；若(),32024m S T ≤，则m 的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数21()sincos (0)2f x x x x ωωωω=->．（1）当1ω=时，求函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2,0,23A f a AD π⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC 的面积．16．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC 沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥,连接PB 得三棱锥P ABC -,如图2．图1图2（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ;（2）在线段PC 上是否存在点M ,使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．17．已知函数()e xf x ax =+．（1）若1a =-,求函数()f x 的单调区间；（2）当0x >时，2()1f x x >+恒成立，求实数a 的取值范围．18．这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ,求{}n a 的前n 项和n S ；（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为20x y ±=．（1）求双曲线H 的标准方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交双曲线H 左右两支于,A B 两点（异于顶点），点A 关于x 轴的对称点为E ，证明直线BE 过定点Q ；（3）过双曲线H 上任意不同的两点,C D 分别作双曲线H 的切线，若两条切线相交于点M ，且0MC MD ⋅=，在第（2）的条件下，求MPQ S 的最大值及此时点M 的坐标．2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案1-4CCDA5-8BADC9ACD10AD11ACD12．2401314．{3,4,5}；2215．（1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（2）216．（1）略（2）2317．（1）单调递减区间(,0)-∞单调递增区间(0,)+∞（2）2a e>-18．（1）2727(3)(4)6464P X P X ====91(5)(6)6464P X P X ====15()4E X =（2）34(4)4nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）12519．（1）2214x y -=（2）(1,0)Q （3）(0,MPQ S M =。