一类概率不等式及其应用

柯西不等式应用
柯西不等式是一种数学定理，可用于优化、概率统计等多个领域中。

在最小化误差、确定边界和求解最优解等问题中，柯西不等式被
广泛应用。

柯西不等式最常见的形式是：
(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ +
a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²
其中，a₁、a₂、...、aₙ和b₁、b₂、...、bₙ是实数。

该不等式可
表示为内积的形式，内积表示向量之间的乘积。

一项常见的应用是匹配问题。

例如，在两个有序数组中找到匹配项，可以使用柯西不等式来确定两个数组的相似度。

通过计算两个数
组之间的距离，可以找到最相似的匹配项。

在统计学中，柯西不等式可以用于确定误差的下限。

这种误差通
常由测量错误或随机数据引起。

柯西不等式可以计算出误差的最小值，以帮助确定实际值与测量值之间的差距。

在优化问题中，柯西不等式可用于确定最优解。

例如，在线性规
划中，可将问题转化为柯西不等式的形式，以在给定约束下最小化目
标函数。

总之，柯西不等式应用极广泛，它是解决各种问题的强有力工具。

同时，该定理也具有指导意义，启示我们在问题解决中，如何将不等
式转化为更容易处理的形式，并从中找到最优解。

切比雪夫不等式估计概率摘要：1.引言2.切比雪夫不等式的定义和公式3.切比雪夫不等式在概率论中的应用4.举例说明切比雪夫不等式的实用性5.总结与展望正文：【引言】在概率论和统计学中，我们常常需要估计一个随机变量落在某个区间内的概率。

切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种常用的概率估计方法，它能帮助我们估算随机变量偏离均值的概率。

【切比雪夫不等式的定义和公式】切比雪夫不等式是一种基本的不等式，它的定义如下：对于任意实数k > 0，随机变量X的数学期望为μ，方差为σ^2，则有P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k^2其中，P(A)表示事件A发生的概率。

【切比雪夫不等式在概率论中的应用】切比雪夫不等式在概率论中有广泛的应用，例如：1.检验随机变量是否服从正态分布；2.估计均值和方差未知的情况下，随机变量落在某个区间内的概率；3.评估风险和可靠性。

【举例说明切比雪夫不等式的实用性】假设一家公司员工的工资呈正态分布，已知平均工资为5000元，标准差为1000元。

现在我们想要估计工资在4000元至6000元之间的员工所占比例。

根据正态分布的性质，我们知道工资偏离平均值5000元的程度与概率成反比。

因此，我们可以使用切比雪夫不等式来估计：P(4000 ≤ X ≤ 6000) ≈ P(|X - 5000| ≤ 1000)由切比雪夫不等式，我们有：P(4000 ≤ X ≤ 6000) ≥ 1 - 1 / (1000^2) ≈ 0.9545这意味着工资在4000元至6000元之间的员工所占比例至少为95.45%。

【总结与展望】切比雪夫不等式是一种实用的概率估计方法，通过数学公式可以直接估算随机变量偏离均值的概率。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的参数k，以获得更精确的概率估计。

然而，切比雪夫不等式仅适用于具有特定分布的随机变量，对于其他类型的随机变量，我们需要采用其他概率估计方法。

利用概率方法证明不等式随着概率论的发展, 概率方法日益广泛地应用于其它数学学科. 无论在初等数学还是在高等数学中, 不等式的证明始终是难点, 如果用概率论方法来证明一些不等式, 不但可以简化证明, 而且可以为学习高等数学提供概率论背景, 有机结合不同学科之间的关系. 本节通过列举几个实例阐述概率方法在不等式证明中的应用. 应用的思路是: 根据实际问题, 构造适当概率模型, 再利用有关结论解决实际问题.1 随机试验中, 必然事件的概率为1, 利用这一结论证明一些不等式定义3.8[7] 随机现象: 在一定的条件下, 并不总是出现相同的结果的现象;随机事件: 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件, 简称事件; 随机变量: 用来表示随机现象结果的变量.定义3.9[7] 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间, 由样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件, 而样本空间的最大子集称为必然事件.例3.10[6]证明111(1)(1)n Nn nk n k k -=<Γ++Γ+∑.分析: 此不等式等价于11(1)1(1)n Nn nk k n k -=Γ+<Γ++∑, 进而等价于111()(1)(1)n Nn nk n k n k k -=<++-+∑L .据此可仿上例构造广义贝努利模型来求证. 证明 设随机试验E 只有两个基本事件A 和A , 将E 独立地重复做若干次, 在第n 次试验中, A 出现的概率设为n nP =n + k, 不出现的概率则为k 1P = n + k n －.n f 表示n 次试验中A 首次出现的概率, 则有12n- 1n = (1P ) (1P ) (1P ) P n f －－－121(1)(1)(1)121n nk k n k n k-=---++-++. 记NNN n n= 1n= 1P =,Q = (1 - P )N nf∑∏.则N N P + Q = 1.从而nn= 1= 1f ∞∑的充要条件为n n= 1(1 P ) = 0∞∏－.而n 111(1 P ) (1) (1) 011n n n n n n n ∞∞∞======++∏∏∏－－－. n n= 1n= 1121 (1)(1)(1)121n nf k k n k n k∞∞-=++-++∑∑－－－ 1n= 1(1)(2)()n nk k k n k +∞=+++∑11(1)1(1)n n nk k n k -∞=Γ+==Γ++∑. 11(1)1(1)(1)n Nn nk k n k k -=Γ+<Γ++Γ+∑.2 利用随机变量的数学期望定义3.10[7] 设离散随机变量X 的分布列为()P(X=),1,2,,,.i i p x x i n ==L L (3.9)如果()1p iii x x +∞=<+∞∑ (3.10)则称()1E(X)=p i i i x x +∞=∑ (3.11)为随机变量X 的数学期望, 或称为该分布的数学期望, 简称期望或均值. 定义3.11[7] 设连续随机变量X 的密度函数为()p x ．如果()d x p x x +∞-∞<+∞⎰(3.12)则称()E(X)=d xp x x +∞-∞⎰ (3.13)为随机变量X 的数学期望, 或称为该分布()p x 的数学期望, 简称期望或均值. 若()d x p x x +∞-∞⎰不收敛, 则称X 的数学期望不存在.例3.11 设 , 0 , 1 ,2 , , .k k a b k n >=L 则222221111.n n n nk k k k k k k k a b n a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 证明 设随机变量ξ与η相互独立, ξ与η的概率分布分别为:()()()11P ,P ,1,2,,k k a b k n n nξη=====L则()()()()222211111111,,,nnnnkkkkk k k k k k k k E a E b E a E bn n n n ξηξη========∑∑∑∑.由数字特征的关系可得:()()()()2222E E E E ξηξη≤.从而2222211111n n n n k k k k k k k k a b a b n ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.。

切比雪夫不等式应用切比雪夫不等式是一个重要的概率论中的不等式，它被广泛地应用于各种领域中，如统计学、计算机科学等。

切比雪夫不等式的应用范围非常广泛，下面将分步骤介绍其应用。

第一步是确定随机变量的期望值和方差。

切比雪夫不等式主要用于衡量一个随机变量距离其期望值的距离。

所以，在应用切比雪夫不等式之前，需要先计算出随机变量的期望值和方差。

第二步是应用切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式表明，对于任意的正数k，随机变量距离其期望值的距离大于等于k倍标准差的概率不超过1/k^2。

具体地说，假设X为一个随机变量，μ为其期望值，σ为其标准差，则有：P(|X-μ|>=kσ) <= 1/k^2其中，|X-μ|表示X距离其期望值的距离，P表示概率。

第三步是解释切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式的意义是，距离均值越远的事件发生的概率越小。

例如，如果一个均值为10，标准差为2的随机变量的取值范围在[6,14]内的概率至少为3/4，即P(|X-10|>=2)>=1/4。

这也就意味着，当我们要估计随机变量的取值范围时，可以使用切比雪夫不等式来计算。

第四步是应用切比雪夫不等式于实际问题中。

以计算机科学领域为例，假设我们要检查一个算法的时间复杂度，根据该算法的运行时间数据，我们可以计算出其期望值和方差，并使用切比雪夫不等式来计算该算法运行时间超过某个阈值的概率。

这样，我们就可以通过概率来评估算法的时间复杂度，从而优化算法的设计。

总之，切比雪夫不等式是一个非常重要的概率论不等式，它的应用范围非常广泛，能够帮助我们应对各种实际问题。

在应用切比雪夫不等式时，需要注意计算随机变量的期望值和方差，并合理解释其意义。

只有熟练掌握切比雪夫不等式的应用方法，才能更好地应对各种实际问题。

詹森不等式詹森不等式（Jensen's Inequality）是数学中的一种基本不等式，它是在概率论和统计学中经常使用的一个不等式，特别是在证明一些概率不等式时非常有用。

以下是对詹森不等式的详细介绍。

定义詹森不等式是在概率论中，对于一个凸函数f，以及一组随机变量X，我们有以下不等式：E[f(X)]≥f(E[X])这里的“E”表示期望值。

该不等式的现代形式如下：对于任意的实数μ，如果一个函数f是集合｛fα：α∈A｝中的凸函数，且X 是一个随机变量，那么有：f(E[X]|X≤μ)≥E[f(X)|X≤μ]这里“|X≤μ”表示在X小于或等于μ条件下的期望值。

证明设X是一个随机变量，g是凸函数，那么由凸函数的性质可知，对于任意的实数a和b，有：g(a+b)≤g(a)+g(b)令a=E[X]，b=(X-E[X])I(X≤μ)，其中I(X≤μ)是指标函数，如果X≤μ，I(X≤μ)=1，否则I(X≤μ)=0。

那么a+b=X I(X≤μ)，因此：g(E[X]+(X-E[X])I(X≤μ))≤g(E[X])+g((X-E[X])I(X≤μ))上式左端等于g(E[X|X≤μ])+E[g((X-E[X])I(X≤μ))]≥g(E[X|X≤μ])+g(E[(X-E[X])|X≤μ])=g(E[X|X≤μ])+g(E[X]-E[X|X≤μ]))=g(E[X|X≤μ])+g(E[X]-E[X|X≤μ]))≥g(E[x])+g((x-E[x]))，与上述不等式右端比较，得出结论。

应用詹森不等式被广泛应用于各个领域，特别是概率论和统计学。

以下是几个具体的应用示例：1.在概率论中，詹森不等式可以用来推导一些重要的不等式，例如Cauchy-Schwarz不等式和Holder不等式。

这些不等式在很多数学分析和统计学的应用中都非常重要。

2.在统计学中，詹森不等式可以用来估计样本均值的方差。

在很多统计推断的问题中，我们需要估计样本的参数，这时候詹森不等式就非常有用了。

几类基本不等式及其应用1 前言基本不等式及其应用是高等数学中非常重要的一个内容，也是高等数学中困难度非常高，学生难以掌握的内容.在高等数学中，基本不等式也是考察学生掌握情况的重要内容.学生在学习高等数学过程中，掌握并能够正确的运用基本不等式，将有助于将复杂的数学问题简单化，还能够在各类实际问题中得到广泛的应用，并且不等式还是学习、研究现代科学和技术的基本工具之一.在现阶段关于不等式的研究，向着更加高深、复杂，并且多方向化的方向发展，而探究不等式及其应用对不等式的理论研究有着重要的意义.不等式的应用，需要综合应用多种数学知识和思维方式，而通过不等式的学习和应用，对学生的数学思维和逻辑思维能力发展均有着重要的作用.本研究通过探究几类不同基本不等式及其应用，能够为高数不等式教学提供参考和借鉴. 2 几类基本不等式及其应用分析 2.1 基本不等式2.1.1 基本不等式定义及公式基本不等式是数学中最基本、最基础的不等式，是任何两个正数的算数平均值，不小于其几何平均值，公式为：2a +2b ≥2ab当且仅当两数值相等时，即a =b ，等号成立.基本不等式还有以下变形：ab ≤2ba +或a +b ≥2ab ，基本不等式的成立条件为：a >0，b >0，当且仅当a =b 时等号成立.此外还有拓展基本不等式：ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，其中a ，b ∈.2.1.2 基本不等式的应用基本不等式可以用于比较实数大小或证明不等式、求最值、求取值范围等. 例1 证明不等式.已知a >0，b >0，a +b =1，证明21+a +21+b ≤2.在对此不等式进行证明时，可以将不等式左边的a +21和b +21转换为112a ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭和112b ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，然后运用基本不等式定理进行证明.证明 根据基本不等式定理，可以得出21+a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅211a ≤2211++a =43+2a ，即21+a ≤43+2a ，同理21+b =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅211b ≤2211++b =43+2b ，即21+b ≤43+2b ，因此21+a +21+b ≤43+2a +43+2b≤2， 即得到不等式21+a +21+b ≤2. 例2 求最值.分别求当x >0，x <0时，函数y =()()xx x 164++的最值.在此题中，对x 的取值范围进行了规定，而在不等式中有着“一正”前提，如不对前提进行考虑，容易造成计算错误，因此在对此题进行求解时，要首先对x 的正负进行讨论.解 当x >0时，y =()()xx x 164++=x +20+x 64≥20+2xx 64⋅=36， 当且仅当x =x64时，即x =8时，取等号. 因此当x =8时，y =()()xx x 164++取最小值，为36.当x <0时，−x >0，−x64>0， (−x )+(−x64)≥2()⎪⎭⎫⎝⎛--x x 64=16，y =x +20+x 64=20−[(−x )+(−x64)]≤20−16=4， 当且仅当−x =−x64时，即x =−8，等号成立. 因此当x =−8时，y =()()xx x 164++取最大值，为4.例3 求取值范围.设x >0，y >0，不等式x +y ≤y x a +恒成立，则求a 的取值范围. 在对此题进行求解时，要注重将已知条件进行转换，转换为a ≥yx y x ++，然后求yx y x ++的最大值，即可求得a 的取值范围.解 由题目中可以得知a ≥yx y x ++恒成立，并且x >0，y >0，则a >0，则a必然大于或等于yx y x ++的最大值，根据基本不等式定理，得出2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x =y x xy y x +++2=1+y x xy +2≤2 当且仅当x =y 时，等号成立，即2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 的最大值为2，y x yx ++的最大值则为2.因此此题中a 的取值范围为[2，+∞). 2.2 均值不等式2.2.1 均值不等式定义及公式均值不等式又可以称为平均值不等式、平均不等式等，是数学中重要的不等式之一.均值不等式是指调和平均数不超过几何平均数、几何平均数不超过算术平均值、算术平均值不超过平方平均值，即公式为：na a a n11121+++ ≤n 21n a a a ≤n a a a n +++ 21≤n a a a n22221+++若各数值均为正实数，当且仅当各数值相等时，即1a =2a==n a ，等号成立.2.2.2 均值不等式的应用均值不等式主要应用在极限的证明、求极限等. 例4 证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim的存在性. 证明 先对nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+进行单调递增证明.令1a =2a ==n a =1+n1，1+n a =1，则由基本不等式得出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++〈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++1n 11n 11111.n 11n 111n n 即111n 111++〈⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n,因此，nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+<11n 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n .得出数列nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+呈单调递增.再证明数列nn 11⎪⎭⎫⎝⎛+存在上限.首先假设nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+的上限为1k 11+⎪⎭⎫⎝⎛+k （k 为正整数）.则需要先证明nn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+<1k 11+⎪⎭⎫⎝⎛+k （当n>k 时）.假设121,1k ka a a n +====+2+k a ==n a =1，则由均值不等式得出：111.1+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n k n k k k <()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⋅++k n k k k 111n 1=1+n n . 因此可以得出，11+⎪⎭⎫⎝⎛+k k k <11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n ，即111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n <111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k .由于1+n 1>1，可以得出n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，因此n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k .当n>k 时，随机取一个正整数k ，M=111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k ，均是nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的上限，并且前文已证明nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11呈单调递增，这就使得当n≤k 时，nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k 不等式仍然成立.因此n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11（n=1,2…）存在n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k （k 为正整数）.这就说明了任选一个k 值，M=111+⎪⎭⎫⎝⎛+k k 均能够成为nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的上限.从而说明了nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11单调递增，并且存在界限.在单调有界定理下，nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11存在极限.设定极限值为e ，即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .通过上面的证明，可以通过均值不等式证明111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n 存在极限，且极限同样为e ，具体证明过程如下：记n x =111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，则n x 1=11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n =11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n ·1≤()22111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+n n n n n =221+⎪⎭⎫⎝⎛++n n n =11+n x 由此证明n x 呈单调递减，并且1<n x <1x <4，n x 为收敛，极限为e .在上面的证明中，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11<e <111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，两边分别取对数，不等式同样成立，即11+n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 11ln <n1. 由此可以证明， n a =1+21++１ｎ−ln ｎ为收敛，其极限值为Euler 数.例5 求极限nn n lim∞→.解 均值不等式n 21n a a a ≤na a a n+++ 21，则nn = n1211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-个n n n ≤n n n 11++++ =n n n 22-+<n 2+1， 因此0≤n n −1<n 2，得出nn n lim ∞→=1.2.3 绝对值不等式2.3.1 绝对值不等式定义及公式在不等式的应用中，在涉及到重量、面积、体积、数学对象的大小、绝对值等情况时，需要通过非负数进行度量，这就出现了绝对值不等式.公式为：b a -≤b a ±≤a +b当且仅当ab ≤0时，b a -=b a ±；ab ≥0时，b a ±=a +b .a 表示数轴上的点a 到原点之间的距离叫做数a 的绝对值. 其中ab =b a ，b a =ba（b ≠0），a <b 可逆推出b >a ，是绝对值不等式的重要性质.2.3.2 绝对值不等式的应用绝对值不等式主要应用于最值的求解、求取值范围等. 例6 最值的求解.设函数()x f =x +bx -1+c (b ≤−1，c∈)，函数()x g =()x f 在区间[−1,1]上的最大值为M ，若M≥k 对任意的b 、c 恒成立，求k 的最大值.解 将函数()x f 进行化简，得出()x f =x －b +bx -1+b +c 若b <−2，则()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥11f M f M ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--+-≥+-+≥c b M c b M 111111，这里利用了()x f 在区间[−1,1]为单调， 根据绝对值不等式定理，得出 2M ≥c b +-+111+c b +--+-111≥⎪⎭⎫⎝⎛+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+c b c b 111111=2122b -+ ≥34， 因此当b <−2时，M ≥32. 若−2≤b ≤−1，则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧+≥≥-≥111b f M f M f M ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++≥+-+≥+--+-≥c b M c b M c b M 2111111， 根据绝对值不等式定理消一元，即运用2(m +n )M ≥()()()()111++-+-b f n m nf mf (m>0,n>0)可以将c 消除，得出2(m +n )M ≥()n m bm m b n n +-+++-+211， 要想使等号成立，必须满足()1-f = ()1f =－()1+b f ，可以得出b =－2，c =-1，将b =－2，c =－1带入到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++≥+-+≥+--+-≥c b M c b M c b M 2111111中，可以求得M 的最小值为2－1，因此k 的最大值为2－1.例7 求取值范围. 设函数()x f =b ax x --，a ,b ∈，若对任意实数a ,b ，总存在0x ∈[1,9]，使得不等式()0x f ≥M 成立，求实数M 的取值范围.解 令t =x ，则()t g =-2at +t －b ，()x f =()t g ，其中t ∈[1,3] 根据题目设必要条件为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥491f M f M f M 即为⎪⎩⎪⎨⎧--≥--≥--≥ba Mb a M ba M 42931运用绝对值不等式，将参数a ,b 将消除，则设m ()1g +n ()3g +k ()2g ≥()()()231kg ng mg -+再运用待定系数法，将m 、n 、k 值求出，则为⎩⎨⎧=+--=+--0049k n m k n m 得出一组解为⎪⎩⎪⎨⎧===835k n m因此16M≥5b a --1+3b a --93+8ba --42 ≥()()()b a b a b a -----+--42893315=2则得出1.8M ≤即M 的最大值为81，此时a =41，b =87.本题解得M 的取值范围为(−∞,81].2.4 泰勒公式2.4.1 泰勒公式定义及公式泰勒公式的定义：设函数()x f 在点0x 处的某开区间（a ，b ）内具有n +1阶导数，则在该邻域内非0x 处的任意点x ()b a ,∈，在0x 和x 之间存在一个ξ，使得：()x f =()0x f +()()0x x x f -'+()()2002x x x f -''！++()()()n n x x n x f 00-！+()()()()1011++-+n n x x n f ！ξ 定理1 设函数()x f 在a 存在n 阶导数，则()a U x ∈∀，存在()x f =()a f +()()a x a f -'！1+()()22a x a f -''！++()()()n n a x n a f -！+()x R n 其中()x R n =()()()a x a x o n →-是比()n a x -的高阶无穷小，此式称为函数()x f 在a 的泰勒展开公式. 当a =0时，此式则变为()x f =()0f +()x f ！10'+()220x f ！''++()()nn x n f ！0+()n x o 此式称为麦克劳林公式.定理2 设二元函数()y x f ,在点()b a P ,的邻域G 内具有n +1阶连续的偏导数，则()G k b h a Q ∈++∀,，有()k b h a f ++,=()b a f ,+()b a f y k x h ,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂！+()b a f y k x h ,212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！++()b a f y k x h n n,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！+()()k b h a f y k x h n n θθ++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++,111！，0<θ<1其中符号()b a f y x l i,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂表示偏导数l i l i y x f ∂∂∂+在()b a P ,的值， ()b a f y k x h m,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=()b a f y x k h C i m i m i m i mi i m ,0--=∂∂∂∑.上式称为二次函数()y x f ,在点()b a P ,的泰勒公式.在此式中令a =0，b =0，可得二次函数()y x f ,的麦克劳林公式：()k h f ,=()0,0f +()0,011f y k x h ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂！+()0,0212f y k x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！++()0,01f y k x h n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂！+()()k h f y k x h n n θθ,111+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+！，0<θ<1.2.4.2 泰勒公式的应用泰勒公式在高等数学中的应用，主要体现在估计函数界、求函数极限、近似计算、判断反常积分及级数敛散性.例8 估计函数界.①设函数()x f 在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A ，B ，使得()x f ≤A ，()x f ''≤B .证明对于∈∀x [0,1]，有()x f '≤2A +2B. 在运用泰勒公式进行函数最值的计算过程中，需要确定已知函数泰勒展开的位置，并且展开到哪阶导数最为合适.在此例题中，已知函数()x f 在[0,1]上存在二阶导数，且函数、二阶导函数均有最值，需要证明一阶导函数在[0,1]有最值，这就需要运用泰勒公式，将函数()x f 在x 处展开到二阶，并将点0和1带入到展开时中，进行简单计算验证本题.证明 泰勒公式中，()0f =()x f +()()x x f -'0+()()202x f -''ξ，()x ,0∈ξ，()1f =()x f +()()x x f -'1+()()212x f -''η，()1,x ∈η， 两式进行相减，得()x f '=()1f －()0f －()()212x f -''η+()22x f ξ''，()1,x ∈η，因为()x f ≤A ，()x f ''≤B ，得出()x f '≤2A +2B()[]221x x +-，而()21x -+2x 在[0,1]内，且最大值为1，因此可以得出()x f '≤2A +2B . ②设()y x f ,在2x +2y ≤1上有连续的二阶导数，2xx f +22xy f +2yy f ≤M .若()00，f =()00，x f =()00，y f =0，证明()⎰⎰≤+122,y x dxdy y x f ≤M 4π.此题考察的是对抽象函数二重积分不等式的证明.在不等式的左边，能够设想到积分绝对值与绝对值积分的相互关系，从而可以计算()y x f ,的值.在题目中设()y x f ,在点(0,0)，运用泰勒公式展开到二阶，并且已知2xx f +22xy f +2yy f ≤M ，将()y x f ,的展开式进行处理，转化成为两个向量的乘积，并运用积分估值，将抽象函数二重积分转化为常见、熟悉的简单函数二重积分，既完成证明.证明 ()y x f ,在点(0,0)进行泰勒展开到二阶， 得出()y x f ,=()21,2x y f x y x y θθ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭，其中()1,0∈θ，记()w v u ,,=()y x f y y x x θθ,,,222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂，则()y x f ,=21()222wy vxy ux ++ 已知2xxf +22xy f +2yy f ≤M ， 所以()w v u ,2,=2222w v u ++≤M ，并且()22,2,y xy x =2x +2y ，因此可以得出()()22,2,,2,y xy x w v u ≤M (2x +2y )，即等同于()y x f ,≤21M (2x +2y )从而得出()⎰⎰≤+122,y x dxdy y x f ≤21M()⎰⎰≤++12222y x dxdy y x=M 4π.证明结束.例9 求函数极限.①计算极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x x x 22ln 111320lim .此题可以运用洛必达法和泰勒公式求解，若使用前者，则需要进行四次求导才能够计算出结果，计算量较为庞大，而运用泰勒公式，则运算过程较为简单.解 首先对算式进行变换：x x -+22ln =2121ln x x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21ln x −⎪⎭⎫ ⎝⎛-21ln x 算式中xx x -+22ln 13的分母为3x ，运用函数y=()x +1ln 在0点的麦克劳林展开公式，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+21ln x 和⎪⎭⎫⎝⎛-21ln x 进行展开到三阶，则有x x -+22ln =[2x −2221⎪⎭⎫ ⎝⎛x +3231⎪⎭⎫ ⎝⎛x +()3x o ]+[2x +2221⎪⎭⎫ ⎝⎛x +3231⎪⎭⎫⎝⎛x +()3x o ] =x +3121x +()3x o 因此，1+21x −x x x -+22ln 13=1+21x −⎪⎭⎫ ⎝⎛+331211x x x +()33x x o =1−121+()33x x o 可以得出⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x x x 22ln 111320lim=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→331211lim x x o x =1211.本题解得⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→x x x xx 22ln 111320lim=1211.在运用泰勒公式进行分母或分子中含有n x 这类极限求解题目时，要注意在()x f x lim 0→中，要运用泰勒公式，将非零因子项（乘或者除项）进行转换，再通过四则运算方式将极限值求解出来，不过在计算过程中，加减项不能代换.在进行这类题目的计算过程中，注意到这些原理有助于提高计算的准确度.②计算极限()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→. 在此极限计算中，设()y x f ,=()22sin y x ++()22cos y x +−1，由于()y x f ,在上存在任意连续偏导数，且22y x +为该式的分母，这就需要运用麦克劳林公式，将()y x f ,在点(0,0)展开到二阶，这样容易得出极限值.解()y x f x ,=2()22cos y x x +−2()22sin y x x +，()0,0x f =0，()y x f y ,=2()22cos y x y +−2()22sin y x y +，()0,0y f =0，()y x f xx ,=2()22cos y x +−4()222sin y x x +−2()22sin y x +−4()222cos y x x +，()0,0xx f =2，()y x f xy ,=()y x f yx ,=−4()22sin y x xy +－4()22cos y x xy +，()0,0xy f =()0,0yx f =0，()y x f yy ,=2()22cos y x +－4()222sin y x y +－2()22sin y x +－4()222cos y x y +，()0,0yy f =2，即()y x f ,=()22y x ++()y x R ,2，其中()y x R ,2=-2()222y x +θ[()2222sin y x θθ++()2222cos y x θθ+]+()322334y x +θ[()2222sin y x θθ+－()2222cos y x θθ+]，(0<θ<1)，因此()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→=()()()22222220,0,lim y x y x R y x y x ++++→=1 本题解得()()()()2222220,0,1cos sin lim y x y x y x y x +-+++→=1. 例10 近似计算. ①求方程xx 1sin2=2x －501的近似值，精确至0.001. 在此算式中含有x 1sin，就不能采用初等函数方法进行计算.此题要求计算近似值，就需要将x 1sin 用初等函数即多项式代替，即通过泰勒公式将x1sin 展开.方程右边是x 的一次式，因此在对方程左边进行泰勒公式展开时，也要转换成x 的一次式，故将其在原点进行麦克劳林公式展开至一阶.运用泰勒公式对方程进行近似值计算，可以依据题目中精确度要求展开至合适的阶数.解 根据泰勒公式t sin =t －()22sin t t θ(0<θ<1)， 令t=x1，得x 1sin =x 1−212sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x x θ， 带入到题目中原方程，得 x −2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ=2x −501，即x =501−2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ，由此可以知道x >500，0<x θ<5001，所以501-x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛xθ≤x θ21<10001=0.001， 即当x =501时，满足题目中的假设条件解.②求96.308.1的近似值，精确至410-.在近似值计算题中，对计算的精确度要求较低时，可以采用线性进逼公式()y x f ,≈()00,y x f +()00,y x f x (x −0x )+()00,y x f y (y −0y )，即可以运用全微分近似代替全增量；当对计算的精确度要求较高时，则可以采用高阶泰勒公式进行计算，并根据题目中对精确度的具体要求，来确定泰勒展开式的阶数.解 令()y x f ,=y x ，通过计算二元函数在点(1,4)的泰勒展开式，则y x =1+4(x −1)+[6()21-x +(x －1)(y －4)]+[4()31-x +27()21-x (y －4)]+ [()41-x +313()31-x (y －4)+21()21-x ()24-y ]+将x =1.08，y =3.96带入到上式中，得出96.308.1=1+(4×0.08)+(6×208.0－0.08×0.04)+(4×308.0－27×208.0×0.04)+[408.0－313×308.0×0.04+21×208.0×204.0]+=1+0.32+0.0352+0.001152+0.000034026+由于余项3R =0.000034026<410-，因此96.308.1≈1.356352.例11 判断反常积分及级数敛散性. ①判断积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论.此题目需要判断瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1与无穷积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-1311sin 1的敛散性.瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1的被积分31sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-x x 在区间(0,1]内恒正，所以对于瑕积分dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1来说，其收敛等同于绝对收敛.在对310sin 1lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x λ极限值进行求解时，需要运用比较判别法，通过λ的阶数和极限值进行敛散性的判断，在这种情况下，将x xsin 在x =0处进行泰勒展开，是一种简单且十分快速有效的求解方法.解dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1=dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1−⎰10dx +dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311sin 1 其中dx x x ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-1031sin 1是以x =0为瑕点的瑕积分，将x x sin 在x =0处进行泰勒展开到二阶，有31sin 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x =()312231-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x o x ！，该式与321x同阶，通过比较法可以知道dx x x ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-1031sin 1.因为当∈x (0,1)时，1－xxsin >0， 因此dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-131sin 1=dx x x ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031sin 1收敛，且绝对收敛. 其次对无穷积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-1311sin 1，当x >1时，x x sin <1，收敛，因此可以运用()αx +1的泰勒公式进行展开，得到31sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-x x −1=x x sin 31+⎪⎭⎫ ⎝⎛21x o ， 则dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1311sin 1=dx x x ⎰+∞1sin 31+⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛121x o .运用狄利克雷判别法得知dx x x⎰+∞1sin 为条件收敛，⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛121x o 为绝对收敛，所以原积分dx x x ⎰∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0311sin 1为条件收敛.②设n a =nn n p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 1，判断∑n a 的敛散性.n a =nn n p e⎪⎭⎫⎝⎛-ln 1ln =⎪⎭⎫⎝⎛-n n p n eln 1ln ，而当n →+∞时，n n ln →0，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n p ln 1ln ～-nnp ln .从而可得出n a ～⎪⎭⎫⎝⎛-n n p n e ln =p n -.证明 ()x +1ln 在x =0处进行泰勒展开，得出()x +1ln =x -221x +()2x o ，n a =nn n p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 1=nn n p e ⎪⎭⎫⎝⎛-ln 1ln =⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n p n eln 1ln =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-23ln ln n n p n n n e=p n -·⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23ln n np e～p n -（当n→+∞时），即当n →+∞时，n a 是n1的p 阶无穷小量， 所以当且仅当p >1时，∑n a 为收敛. 2.5 柯西不等式2.5.1 柯西不等式定义及公式柯西（Cauchy ）不等式是高等数学中的基础不等式，灵活的运用柯西不等式能够解决数学上的多种问题，而柯西不等式的推广公式，又可以解决一些难度较大的问题.在柯西不等式中，设有两组实数1a ，2a ，，n a 以及1b ，2b ，，n b ，均为任意实数，则不等式：21⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i i b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i b a 1212成立. 当且仅当各数值相等时，即11b a =22b a==nnb a 时，等号成立.柯西不等式在数学不同领域内的应用，具有着不同的形式，在微积分中，柯西不等式又被称为可以柯西-施瓦茨不等式，公式为：()()()()222d .b b b a a a f x g x x f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰在线性代数中，柯西不等式又被称为柯西-布涅柯斯基不等式，公式为：∀向量α，β，则有()βα，≤α·β当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使α1k + β2k =0时，等式成立. 在概率论中，柯西不等式被称为柯西-施瓦茨矩不等式，公式为：ηξ,∀，若2ξE 、2ηE 存在，则有[]2ξE ≤2ξE ·2ηE ，当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使P(ξ1k +η2k =0)=1时，等式成立. 2.5.2 柯西不等式的应用在柯西不等式的应用中，可以在参数取值范围的计算、等式证明、极值相关问题、点面距离计算等，均能够得到应用.例12 参数取值范围的计算.已知x ,y ,z +∈R ，x +y +z =xyz 且不等式y x +1+z y +1+zx +1≤λ恒成立，求λ的取值范围.解 根据均值不等式定理和柯西不等式定理可以得出y x +1+z y +1+z x +1≤xy 21+yz 21+xz21 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+++⨯+++⨯z y x yz y x x z y x z 11121 ≤()2122211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++z y x yz y x x z y x z =23 因此可以得出λ的取值范围在[23，+∞）之间. 例13 等式证明.已知a ,b +∈R ，且a a 4sin +b a 4cos =b a +1，证明38sin a a +38cos b a =()31b a +.证明 根据已知条件可以得出（a +b ）（a a 4sin +ba4cos ）=1当且仅当aaa 2sin =bab2cos 时，等号成立，即a a 2sin =a b 2cos ，由上两式解得a 2sin =b a a +，a 2cos =ba b+ 因此38sin a a +38cos b a =431⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a a +431⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b b =()31b a +. 所以通过柯西不等式，证明38sin a a +38cos b a =()31b a +. 例14 极值相关问题. 如1x +2x ++n x =1，i a >0，证明当且仅当11x a =22x a==n n x a 时，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 的最小值为na a 1111++ .证明1x +2x ++n x =1111x a a ++n n nx a a 1≤()21222221121111n n n x a x a x a a a +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++即211x a +222x a ++2n n x a ≥na a 1111++ ，当且仅当1111a x a ==nnn a x a 1时，即11x a =22x a ==n n x a ，等式成立，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 取最小值na a 1111++ .因此在1x +2x ++n x =1，i a >0条件下，当且仅当11x a =22x a==n n x a 时，()x f =211x a +222x a ++2n n x a 的最小值为na a 1111++ .例15 点面距离计算.运用柯西不等式，推到空间的一点P ()000,,z y x ，到平面α：Ax +By +Cz +D=0的距离公式为d =222000CB A DCz By Ax +++++.解 设1P ()111,,z y x 是平面α：A x +B y +C z +D =0上的任一点，则A 1x +B1y +C 1z +D =0，则1PP =()()()210210210z z y y x x -+-+-的最小值，就是点P 到平面α的距离.由柯西不等式，得出1222PP C B A ++≥()()()101010z z C y y B x x A -+-+-=D Cz By Ax +++000即1PP ≥222000CB A DCz By Ax +++++，当且仅当1PP 垂直于平面α时，取等号，因此P()000,,z y x 到平面α：D Cz By Ax +++=0的距离公式为d =222000CB A DCz By Ax +++++.2.6 施瓦茨不等式2.6.1 施瓦茨不等式定义及公式施瓦茨不等式是对于在[a ,b ]上的任意连续函数()x f ，()x g ，则有不等式为：()()()()222d .b b b a a a f x g x x f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰若()x f =0，或者()x f 与()x g 有正比时，等号成立. 2.6.2 施瓦茨不等式的应用在施瓦茨不等式的应用中，可以在实数域、微积分、多元函数等，均能够得到应用.例16 若级数∑∞=11i mia ，∑∞=12i mia，∑∞=1i m mia都收敛，则对N n ∈∀有不等式mn i mi i i a a a ⎪⎭⎫⎝⎛∑=121...≤∑∞=11i mi a ·∑∞=12i mia ··∑∞=1i mmia ，证明对于定义在[a ,b ]上的任意连续函数()x f j （j =1,2,,n ）有()nb a nj j dx x f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰∏=1≤()∏⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j b a n j dx x f 1. 证明 已知函数()x f j 定义在区间[a ,b ]上，且连续（N j ∈），将[a ,b ]区间进行m 等分，则每个小区间长度为x ∆，取每个小区间的左端点i ξ(i =1,2,,m )，则有()⎰∏=b an j jdx x f 1=()()()()xf f f mi ii i n ∆∑=∞→1121lim ξξξ()⎰bai nj dx x f =()()∑=∞→mi in jn f 1limξ，j =1,2,,n令n i a 1=()i n f ξ1，ni a 2=()i nf ξ2，，nni a =()i nn f ξ，则级数 ∑∞=11i nia，∑∞=12i n i a ，，∑∞=1i nni a 都收敛， 可以得出0≤ni ni i i a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=121 ≤∑∞=11i n i a ·∑∞=12i ni a ··∑∞=1i nni a 即()()()nni i n i i f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=121ξξξ ≤()∑=n i i nf 11ξ·()∑=ni i n f 12ξ··()∑=ni i n n f 1ξ因此()()()ni i n i i x f f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∞=121ξξξ ≤()x f i i n∆∑∞=11ξ·()x f i i n ∆∑∞=12ξ··()x f i i n n ∆∑∞=1ξ由此可以得出()nb a n j j dx x f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰∏=1≤()∏⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j b a n j dx x f 1，因此原命题成立. 例17 设()y x f ,是区域D 内的非负可积函数，且()σd y x f D⎰⎰,≤A ，其中A 是区域D 的面积，证明()()σd y x f y x f D⎰⎰+,1,2≤2A ≤()σd y x f D ⎰⎰+,11. 证明 因为1+()y x f ,2≥2()y x f ,， 则有()()σd y x f y x f D ⎰⎰+,1,2≤⎰⎰Dd σ21=2A ， 由于()y x f ,≥0，1+()y x f ,≥1，则有2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰D d σ≤()()⎰⎰+D d y x f σ,1·()⎰⎰+Dd y x f σ,11， 即()⎰⎰+Dd y x f σ,11≥()()⎰⎰+Dd y x f A σ,12=()⎰⎰⎰⎰+DDd y x f d A σσ,2≥2A， 即有()()σd y x f y x f D⎰⎰+,1,2≤2A ≤()σd y x f D ⎰⎰+,11，原命题成立. 例18 证明不等式0≤()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤()()2122224⎪⎭⎫ ⎝⎛--c d a b e e e e A 其中区域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤d y c bx a ，A 表示区域D 的面积.证明 设()y x f ,=()2221y x e xy +，则()y x f ,≥0，()y x ,∈D ，因此有()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≥0，根据施瓦茨不等式，可以得出()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎰⎰⎰⎰+D D y x dxdy xye dxdy ， 因为⎰⎰+Dy x dxdy xye22=⎰bax dx xe 2·⎰dcy dy ye 2=41(2b e -2a e )(2d e -2c e ),⎰⎰D dxdy =A ,则有0≤()dxdy exy y x D2221+⎰⎰≤()()2122224⎪⎭⎫ ⎝⎛--c d a b e e e e A ，不等式成立. 3结论在高等数学中，不等式是重要的组成部分之一.作为高等数学中的基本不等式，基本不等式、均值不等式、绝对值不等式、泰勒公式、柯西不等式、施瓦茨不等式，有助于解决高等数学中各种问题，这些不等式可以应用于不同的问题，而合理的运用不等式，将有助于各类高等数学问题的解决，并且灵活应用，可以更好的渗透不等式中的数学思想.随着高等数学的发展，现代数学已成为一门庞大的科学体系，不等式成为了现代数学的重要工具之一，而随着现代数学与其他学科的融合发展，不等式将不断渗透到自然科学、动力系统、工程技术等多个领域，逐渐成为理解各种信息的有力工具.参考文献[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2015.[2]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版），2014,15(2):88-90.[3]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报，2017,10(4):35-38.[4]夏静.高等数学中不等式证明的常用方法[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2015,31(10):19-20.[5]邱克娥，彭长文.泰勒公式在高等数学解题中的应用举例[J].贵州师范学院学报，2017,12(6):76-79.[6]许雁琴.泰勒公式及其应用[J].河南机电高等专科学校学报，2015,9(6):11-15.[7]黄卫.柯西不等式证明及应用[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2014,12(4):19-20.[8]俸卫.Cauchy 不等式的变式及应用探析[J].科技信息，2015,2(7):51-52.[9]高波.高等数学中函数不等式的证明[J].教育教学论坛，2016,7(30):212-213.[10]孙晓莉.柯西-施瓦茨不等式的推广与应用[D].合肥工业大学，2013.。

切比雪夫不等式估计概率 前言：切比雪夫不等式是概率论中一条重要的不等式，它用于估计随机变量与其均值之间的偏离程度。

本文将介绍切比雪夫不等式的概念、推导过程以及应用场景，并通过实例说明其实用性。

一、切比雪夫不等式的概念 切比雪夫不等式是数学上关于随机变量分布的一种重要不等式。

它可以用来估计随机变量与其均值之间的偏离程度。

切比雪夫不等式的数学表述如下：对于任意一个随机变量X和正数ε，有：P(|X - μ|≥ε)≤σ^2 / ε^2 其中，P表示概率，X表示随机变量，μ表示X的均值，σ^2表示X的方差，ε表示给定的正数。

切比雪夫不等式的实质是通过随机变量的方差来描述随机变量与其均值之间的偏离程度。

方差越小，随机变量与均值之间的偏离越小，概率也就越高。

二、切比雪夫不等式的推导过程1. 根据随机变量X的定义，我们知道E(X) = μVar(X) = σ^22. 根据方差的定义，我们可以得到Var(X) = E((X- μ)^2)3. 根据概率的定义，我们可以得到 P(|X - μ|≥ε) = 1 - P(|X - μ| < ε) 4. 由于对于任意的ε，X - μ的绝对值小于ε的概率范围是[0, ε]，所以我们可以将其改写为 P(|X - μ| < ε) = P(-ε < X - μ < ε)5. 再将上式展开，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(-ε < X - μ) - P(X - μ > ε) 6. 根据概率的性质，我们知道 P(-ε < X - μ) = 1 - P(X - μ < -ε) P(X - μ > ε) = 1 - P(X - μ≤ε)7. 将上述两个概率代入第5步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 1 - P(X - μ < -ε) - (1 - P(X - μ≤ε))8. 继续简化上式，我们可以得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(X - μ≤ε) - P(X - μ < -ε) 9. 根据对称性，我们知道P(X - μ < -ε) = P(X - μ > ε)10. 将第9步的结果代入第8步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 2P(X - μ≤ε)三、切比雪夫不等式的应用场景 切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛的应用场景。

一类概率求法的探究及其应用发表时间：2009-07-06T14:25:35.607Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2009年第13期供稿 作者： 黄志华[导读] 概率计算是高考的重要内容。本文通过具体问题的求解分析，对概率的求法进行了探究。

一类概率求法的探究及其应用黄志华摘要：概率计算是高考的重要内容。本文通过具体问题的求解分析，对概率的求法进行了探究。关键词：；概率；求法；应用作者简介：黄志华，任教于江西瑞金教师进修学校。 例1：甲、乙两人分别有赌本20元与10元，他们利用投掷一枚均匀硬币进行赌博（出现正、反面的概率都是），约定如果出现正面甲赢10元，出现反面则乙赢10元。直至其中一人赢得所有的钱，游戏结束。试求甲、乙赢钱的概率各是多少？

分析：游戏时，会出现一种情况：第一次乙赢，第二次甲赢，第三次乙赢，第四次甲赢……如此循环发生，显然一个循环就是乙赢一次甲赢一次。所以这个事件是一个可循环事件。其分类有无穷多种，我们只要将每类的概率计算出来再求和（转化为无限等比数列求和利用极限求出它的和），从而计算出要求的概率。 解答：（1）设甲赢钱的概率是甲。 第一种情况，第一次甲赢钱，游戏结束，其概率1= ； 第二种情况，第一次乙赢钱，第二次甲赢，第三次甲赢，则游戏结束，其概率2=； 第三种情况，第一次乙赢钱，第二次甲赢，第三次乙赢，第四次甲赢，第五次甲赢，则游戏结束，其概率2= ； …………………………… 从上述分析可以看出，其中的循环过程就是乙赢一次甲赢一次,可归纳出循环过程发生了n次，则其概率为n= 。 所以 甲赢的概率甲= == 。 而乙赢钱的概率乙=1—甲=1—=。 从上述解答过程可以得出：设可循环事件发生且循环过程发生0次时概率为，循环过程发生一次的概率是，则循环过程发生n次时该事件的概率=，所以可循环事件发生的概率===。

定义：象例1中的事件，在一定条件下，某个事件发生时会出现一个循环过程，并发生n次，象这样的事件我们叫做可循环事件。 可循环事件的发生比较复杂，计算它的概率在分类时往往可以分成无穷多类，对这种事件在高中概率中一般不做要求，但是可以发现，每一类的概率都可以计算出来，而且每类之间有必然的联系，只是循环过程发生的次数n不同，结合高中所学过的等比数列与极限知识，就可以计算出这种事件的概率。 定理：设可循环事件发生且循环过程发生0次为，发生一次循环过程的概率是，则可循环事件发生的概率=。