3.3.2函数的极值与导数函数的最大（小）值与导数一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 [答案] C[解析] 如：y ＝|x |，在x ＝0时取得极小值，但f ′(0)不存在． 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值也有极小值 [答案] D[解析] y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)， 当x >0或x <－23时，y ′<0，当－23<x <0时y ′>0，∴当x ＝－23时取极小值，当x ＝0时取极大值．4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④[答案] B6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( ) A ．y 有极小值0，且0也是最小值 B ．y 有最小值0，但0不是极小值 C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值 [答案] A7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239B.229C.329D.38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎫33＝239. 8．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意，得f (1)＝0，∴p ＋q ＝1① f ′(1)＝3－2p －q ＝0，∴2p ＋q ＝3③ 由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，f ⎝⎛⎭⎫13＝427，f (1)＝0. 9．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( ) A ．y 有极小值，但无极大值 B ．y 有极小值0，但无极大值 C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值[答案] C[解析] 作出函数y ＝|x 2－3x ＋2|的图象，由图象知选C.10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) [答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意，知1、－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－1＝－2b3a，b ＝0.二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．[答案] －1，－3[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1，∴当x ＝－1时，取极小值－3，当x ＝1时，取极大值－1.12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] a ＋42 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 令y ′>0，得x >2或x <－2， 令y ′<0，得－2<x <2， ∴当x ＝－2时取极大值a ＋42， 当x ＝2时取极小值a －4 2.13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________． [答案] －6[解析] y ′＝1－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±33，f (0)＝0，f (2)＝－6，f ⎝⎛⎭⎫－33＝－239，f ⎝⎛⎭⎫33＝33－⎝⎛⎭⎫333＝33－39＝239，∴最小值为－6.14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． [答案] 6[解析] f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝0解得c ＝2或6. 当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)， 故f (x )在x ＝2处取得极小值，不合题意舍去； 当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12) ＝3(x －2)(x －6)，故f (x )在x ＝2处取得极大值． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.16．求下列函数的最值 (1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x ≤π2. [解析] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，∴x ＝1和x ＝－1是函数f (x )在[－3，3]上的两个极值点，且f (1)＝2，f (－1)＝－2. 又f (x )在区间端点的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18. 比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝12，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， ∴2x ∈[－π，π]，∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的两个极值分别为 f ⎝⎛⎭⎫π6＝32－π6，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为 f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝π2. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数． [解析] f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋(2a ＋1)]． 令f ′(x )＝0，所以x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0 ○ ．(1)当Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a >0，即a <0或a >4时，设○ 有两个不同的根x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)(x －x 2).即f (x )有两个极值点．(2)当Δ＝0，即a ＝0或a ＝4时，设有两个相等实根x 1，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)2≥0，所以f (x )无极值．(3)当Δ<0，即0<a <4时，x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1>0，所以f ′(x )>0.故f (x )也无极值． 综上所述，当a <0或a >4时，f (x )有两个极值， 当0≤a ≤4时f (x )无极值．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x) (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[分析] 所给函数的非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性．及函数定义域的确定．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.。
高中数学导数与函数的极值与单调性在高中数学中，导数与函数的极值与单调性是一个重要且基础的概念。
理解导数与函数的极值与单调性对于解决一些函数的问题非常关键。
本文将通过讨论导数的概念、求导法则以及函数的极值和单调性来详细介绍这个主题。
一、导数的概念与求导法则1. 导数的概念函数的导数表示函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示。
对于函数y=f(x)，其导数可以通过求导得到。
2. 求导法则求导法则是一类用于求函数导数的规则，常见的包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则和商法则等。
这些法则可以帮助我们计算各种函数的导数，从而研究其极值和单调性。
二、函数的极值1. 极值的定义极值是函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
极大值表示函数取得的最大值，而极小值表示函数取得的最小值。
2. 寻找极值的方法要寻找函数的极值，我们需要分析函数的导数和二阶导数。
首先，通过求导得到函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点。
接下来，求取这些点的二阶导数，通过二阶导数的正负性来判断极值的情况。
三、函数的单调性1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间上的导数始终大于零，那么该函数在该区间上是递增的；如果导数始终小于零，函数在该区间上是递减的。
2. 单调性的判断方法为了判断函数的单调性，我们可以先求取函数的导数，并对导数进行分析。
通过导数的正负性可以判断函数在某个区间上是否递增或递减。
如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减。
四、综合应用举例下面通过一个例子来综合运用导数与函数的极值与单调性。
例：函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，在[-2, 4]区间上的极值与单调性。
解：首先，求取函数的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9然后，令导数等于零，解方程：3x^2 - 6x - 9 = 0化简得：x^2 - 2x - 3 = 0解得：x = -1 或 x = 3接下来，求取导数的二阶导数：f''(x) = 6x - 6将x = -1 和 x = 3代入二阶导数得到：f''(-1) = -12f''(3) = 12根据二阶导数的正负性，当x = -1时，f(x)取得极大值；当x = 3时，f(x)取得极小值。
