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1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 知识与技能：1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点难点教学重点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 教学难点：利用导数研究函数最大值、最小值的问题 三、教学过程：函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距.需要教师指导并借助动画给予直观的认识. 五、教学方法 发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案. 七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.提问1.极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点.2.极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0).就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值.4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若x 0满足()00f x '=，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ); (2)求方程f ′(x )=0的根;(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值. （二）情景导入、展示目标.设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标.1.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值． ⑴在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f (x )在闭区间上连续，是f (x )在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x )在(a ,b )内的极值；⑵将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在上的最值（三）合作探究、精讲点拨.例1：求函数f (x )＝－x 3＋2x 2＋3在上的最大值与最小值. 解：f ′(x )＝－3x 2＋4x ，由f ′(x )＝x (4－3x )＝0，得x ＝0，43.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：单调递减当x ＝0或x ＝2时，f (x )取最小值3.例2：已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)＞f (－2)．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∵在(－1,3)上f ′(x )＞0， ∴f (x )在上单调递增． 又由于f (x )在上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值． ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间上的最小值为－7.多媒体展示探究思考题.在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导.（四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正.（五）发导学案、布置预习.设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高.教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练.九、板书设计1.函数的最大值和最小值2.利用导数求函数的最值步骤:十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方.课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的.。
极大值与极小值[ 学习目标 ] 1.认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵巧应用 .2.掌握函数极值的判断及求法 .3.掌握函数在某一点获得极值的条件．活动一知识梳理引入新课知识点一极值点与极值的观点(1)极小值点与极小值如图，函数 y＝ f(x)在点 x＝ a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 邻近其余点的函数值都小， f ′(a)＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 ________.，右边________.，则把点 a 叫做函数y＝ f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝ f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如(1) 中图，函数 y＝f(x)在点 x＝ b 的函数值 f(b)比它在点 x＝ b 邻近其余点的函数值都大， f′(b)＝0；并且在点 x＝ b 的左边 ________.，右边 ________.，则把点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝ f(x) 的极大值．________.、________.统称为极值点， ________.和 ________.统称为极值．思虑极大值必定大于极小值吗？答案不必定．知识点二求函数 y＝f(x)的极值的方法解方程 f′ (x)＝ 0，当 f′ (x0)＝ 0 时：(1)假如在 x0邻近的左边 f′ (x)＞ 0，右边 f′( x)＜ 0，那么 f(x0)是 ________.(2)(2)假如在 x0邻近的左边 f ′(x)＜ 0，右边 f′ (x)＞ 0，那么 f(x0)是 ________活动二数学应用例 1求函数f(x)＝x22x＋1－2的极值．例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1) 求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为R ，导函数f′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．2．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．3．已知 f(x)＝x3＋ax2＋ (a＋ 6)x＋1有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ____________．4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．5．已知对于 x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．答案题型一求函数的极值2x例 1求函数 f(x)＝x2＋1－2的极值．解函数的定义域为R .2 x2＋ 1 － 4x2 2 x－ 1 x＋ 1f′ (x)＝x2＋1 2＝－x2＋ 1 2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝－ 1，或 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－ 1)－1(－ 1,1)1(1，＋∞ )f′ (x)－0＋0－f(x)↘－3↗－ 1↘由上表能够看出：当 x＝－ 1 时，函数有极小值，且极小值为f(－ 1) ＝－ 3；当 x＝ 1 时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－ 1.反省与感悟求可导函数f(x) 的极值的步骤：(1)确立函数的定义域，求导数f′ (x)；(2)求方程 f ′(x)＝ 0 的根；(3)用函数的导数为 0 的点，按序将函数的定义域分红若干个小开区间，并列成表格．检测f′ (x)在方程根左右双侧的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么f( x)在这个根处无极值．追踪训练1求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值．3解函数 f(x)＝＋ 3ln x 的定义域为 (0，＋∞ )，3 3 3 x－ 1f′ (x)＝－x2＋x＝x2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)与 f(x)的变化状况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′ (x)－0＋f(x)3所以当 x＝ 1 时， f(x)有极小值f(1) ＝3.题型二利用函数极值确立参数的值例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．解 (1)f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c.∵x＝±1 是函数 f(x)的极值点，∴x＝±1 是方程 f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋c＝ 0 的两根，－2b＝ 0，①由根与系数的关系，得3ac＝－ 1，②3a又 f(1)＝－ 1，∴ a＋ b＋ c＝－ 1.③由①②③ 解得 a＝1， b＝ 0， c＝－3. 22133x，(2) f(x)＝ x －223233∴f ′ (x)＝x－＝(x－ 1)( x＋1)，222当 x<－ 1 或 x>1 时， f′ (x)>0 ，当－ 1<x<1 时， f′ (x)<0，∴函数 f(x) 在(－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，在( －1,1)上是减函数，∴当 x＝－ 1 时，函数获得极大值f( －1) ＝1，当 x＝ 1 时，函数获得极小值f(1)＝－ 1.反省与感悟(1) 利用函数的极值确立参数的值，常依据极值点处导数为0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)由于“导数值等于零”不是“ 此点为极值点” 的充要条件，所以利用待定系数法求解后，一定考证根的合理性．追踪训练2已知函数f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx 在 x＝ x0处获得极大值5，其导函数y＝ f′ (x)的图象经过点(1,0)， (2,0)，以下图，求：(1) x0的值；(2) a， b，c 的值．解 (1) 由图象可知，在 (－∞， 1)上 f′ (x) ＞0，在 (1,2)上 f′ (x)＜ 0，在 (2，＋∞ )上 f′ (x)＞0.故 f(x)在 (－∞，1)，(2，＋∞ )上单一递加，在 (1,2)上单一递减，所以 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，所以 x0＝ 1.(2) f′ (x)＝3ax2＋ 2bx＋ c，由 f′(1) ＝ 0， f ′(2) ＝0， f(1) ＝ 5，3a＋ 2b＋c＝ 0，得 12a＋ 4b＋c＝ 0，解得a＝2，b＝－9，c＝12.a＋ b＋ c＝ 5，题型三函数极值的综合应用例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1)求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．解 (1)f′ (x)＝ 3x2－ 6，令 f′ (x)＝0，解得 x1＝－2， x2＝ 2.由于当 x> 2或 x＜－2时， f′ (x)＞ 0；当－2＜ x＜2时， f′ (x)＜ 0.所以 f( x)的单一递加区间为(－∞，－2) 和 (2，＋∞ )；单一递减区间为(－2，2)．当 x＝－ 2时， f(x)有极大值 5＋ 4 2；当 x＝ 2时， f(x)有极小值 5－ 4 2.(2)由 (1)的剖析知 y＝ f(x)的图象的大概形状及走向以下图．所以，当 5－ 4 2＜ a＜ 5＋4 2时，直线 y＝ a 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，即方程f(x)＝ a 有三个不一样的实根．反省与感悟用求导的方法确立方程根的个数，是一种很有效的方法．它经过函数的变化情况，运用数形联合思想来确立函数图象与x 轴的交点个数，进而判断方程根的个数．追踪训练3设a为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求 f(x)的极值；(2) 能否存在实数a，使得方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明原因．解 (1)f′ (x)＝－ 3x2＋ 3，令 f′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1.由于当 x∈ (－∞，－ 1)时， f′( x)＜0，当 x∈( －1,1)时， f′ (x)＞ 0，当 x∈ (1，＋∞ )时， f′ (x)＜ 0，所以 f( x)的极小值为f(－ 1)＝ a－2，极大值为f(1)＝ a＋ 2.(2)由于 f(x)在 (－∞，－ 1)内单一递减，且当 x→ －∞时， f(x)→＋∞，f(x)在 (1，＋∞ )内单一递减，且当 x→＋∞时， f(x)→ －∞，而 a＋2＞ a－ 2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0 时，极小值小于0，此时曲线f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以a＋ 2＝ 0，a＝－ 2，如图 1 所示．当极小值等于0 时，极大值大于0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以 a－ 2＝ 0， a＝ 2，如图 2 所示．综上所述，当a＝ 2 或 a＝－ 2 时，方程f(x)＝ 0 恰有两个实数根．例 4132＋ (2－b) x＋1在 x＝ x1处获得极大值，在 x＝ x2处获得极小值，已知函数 f( x)＝ ax － bx3且 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2.(1)证明： a＞ 0；(2)求 z＝ a＋ 2b 的取值范围．剖析 (1)对原函数求导，将导函数问题转变为由二次函数的根的散布探究张口方向的问题，进而证得 a＞ 0；(2)利用 x1，x2为导函数的两个根，将 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2 等价转变为不等式组，利用线性规划求 a＋ 2b 的最大值与最小值．(1) 证明由函数f(x)在x＝x1处获得极大值，在x＝x2处获得极小值，知x1， x2是 f′ (x)＝ 0的两个根．由题意，得 f ′(x)＝ ax2－ 2bx＋ 2－ b，所以 f′ ( x)＝a( x－x1)(x－ x2)．由题意，知在x＝ x1的左边有f′ (x)＞ 0.由 x－ x1＜ 0， x－ x2＜0，得 a＞0.(2) 解由题意，得0＜ x1＜ 1＜x2＜2 等价于f′ 0 ＞ 0，f′ 1 ＜ 0，即f′ 2 ＞ 0，2－ b＞ 0，a－ 2b＋ 2－b＜ 0，4a－ 4b＋ 2－ b＞ 0，2－ b＞ 0，整理，得a－ 3b＋ 2＜0，4a－ 5b＋ 2＞ 0.此不等式组表示的地区为平面aOb 上三条直线2－ b＝ 0，a－ 3b＋ 2＝0,4a－ 5b＋ 2＝ 0 所围成的△ ABC 的内部，以下图．△ABC 的三个极点分别为4，6，B(2,2)，C(4,2)．由 (1) 知 a A 774，616＞0，则 z＝a＋ 2b 分别在 A 77，C(4,2)处获得最小值7和最大值8.即 z＝ a＋ 2b 的取值范16围为7，8 .活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为 R ，导函数 f ′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．答案2 2分析f ′ (x)的符号由正变负，则f(x 0)是极大值， f ′ (x)的符号由负变正，则f(x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数 f(x)＝ x 3－ px 2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．答案427分析f ′ (x)＝ 3x 2－ 2px － q ，依据题意，知 x ＝ 1 是函数的一个极值点，则f ′ 1 ＝ 3－ 2p － q ＝0， p ＝ 2， f 1 ＝ 1－p － q ＝ 0， 解得q ＝－ 1，所以 f ′ ( x)＝3x 2－4x ＋ 1.令 f ′( x)＝ 0，得 x ＝1或 x ＝ 1，易判断当 x ＝ 1时， f(x)有极大值为 4，当 x ＝ 1 时， f(x)有极小3 3 27值为 0.3．已知 f(x)＝x 3＋ax 2＋ (a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ____________．答案a>6 或 a<－ 3分析f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ (a ＋ 6)，由于 f( x)既有极大值又有极小值，那么 ＝ (2a)2－4× 3× (a ＋6)>0 ，解得 a>6 或 a<－ 3.4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．答案9分析f′ (x)＝ 18x2＋ 6(a＋ 2)x＋ 2a.2a由已知 f′ (x1)＝ f′ (x2)＝ 0，进而 x1x2＝＝1，所以 a＝ 9.5．已知对于x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.答案－ 13f′ (x)＝－ x2＋ 2bx＋ c，由 f(x) 在 x＝ 1 处获得极值－4，得f′ 1 ＝－ 1＋ 2b＋c＝ 0，分析f 1 ＝－1433＋ b＋ c＋bc＝－ .3b＝1，b＝－ 1，解得或c＝－ 1c＝ 3.若 b＝ 1， c＝－ 1，则 f′ (x)＝－ x2＋2x－ 1＝－ (x－ 1)2≤ 0，此时 f(x) 没有极值；若 b＝－ 1， c＝ 3，则 f′ (x)＝－ x2－2x＋ 3＝－ (x＋ 3)(x－ 1)，当－ 3＜ x＜1 时， f′ (x) ＞0，当 x＞ 1 时， f′ (x)＜ 0.4所以当 x＝ 1 时， f(x)有极大值－3.故 b＝－ 1， c＝ 3.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
