【附加15套高考模拟试卷】辽宁省沈阳二中2020届高三下学期5月月考数学(文)试题含答案

辽宁省沈阳二中2020届高三下学期5月月考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．把函数()y f x =的图象向左平移23π个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =u u u r u u u r则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．5B ．23 C ．22 D ．123．已知直线30x -=与中心在原点的双曲线C 交于,A B 两点，F 是C 的右焦点，若0FA FB ⋅=u u u r u u u r，则C 的离心率为（ ） A 2 B 31C ．2D 314．已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则集合A B =I （ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．[]0,1 C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 5．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A ．725 B ．725-C ．2325D ．2325-6．已知函数()22ln m f x mx x x-=++，要使函数()0f x >恒成立，则正实数m 应满足（ ） A ．112mm e m -<- B ．112m m e m -<-C ．121mm e m ->- D ．112m m e m ->-7．已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，向量()1,1b =r ，函数()f x a b =r r g ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数8．已知函数()sin cos f x a x b x =-（,a b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在4x π=处取得最小值，则函数5()4y f x π=-（ ） A ．是偶函数且它的图象关于点(,0)π对称 B ．是奇函数且它的图象关于点(,0)π对称C ．是偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 D ．是奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222()S a b c =+-，则tan C 的值是（ ）A ．43 B ．34 C ．43- D ．34-10．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为 A ．2 B ．3 C ．2D ．311．函数1()()cos f x x x x=+在[3,0)(0,3]-U 上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知p ：k 3；q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切．则p ⌝是q ⌝的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若,x y 满足约束条件202020x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值等于_______,最小值等于_______．14．在ABC ∆中，90C =︒，点D 在AB 上，3AD DB =u u u v u u u v ，4CB =u u u v ，则CB CD ⋅=u u u v u u u v __________．15．已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b+=_________．16．用一个边长为2R 的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为R 的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为 ___．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为221613sin p θ=+，P 为曲线C 上的动点，C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点．求线段OP 中点Q 的轨迹的参数方程；若M 是（1）中点Q 的轨迹上的动点，求△MAB 面积的最大值．18．（12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆C 过点152,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.求椭圆C 的方程；过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，若222BF F A=u u u u r u u u u r，求直线l 的斜率.19．（12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.求{}n a 的通项公式；求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.20．（12分）如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60,24BAD EA ED AB EF o ∠=====，,EF AB M P 为BC 的中点.求证：FM ∥平面BDE ；若平面ADE ⊥平面ABCD ，求三棱锥F BDE -的体积．21．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2B A C =+，且2c a =.求角,,A B C 的大小；设数列{}n a 满足2cos()nn a nC =，其前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值.22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,//,2,1AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，点E 为棱PC 的中点。

证明：BE PD ⊥；若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．D 8．C 9．C 10．B 11．A 12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6 -10 14．12 15．45.16．163三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）点Q 的轨迹的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）MAB ∆面积的最大值为1222522425S =⨯=.【解析】试题分析：（1）将极坐标方程利用222x y ρ=+，sin y ρθ=化为直角坐标方程，利用其参数方程设()4cos ,2sin P θθ，则()2cos ,sin Q θθ，从而可得线段OP 中点Q 的轨迹的参数方程；（2）由（1）知点Q 的轨迹的普通方程为2214x y +=，直线AB 的方程为240x y +-=.设()2cos ,sin M θθ，利用点到直线距离公式、三角形面积公式以及辅助角公式，结合三角函数的有界性可得MAB V 面积的最大值.试题解析：（1）由C 的方程可得2223sin 16ρρθ+=，又222x y ρ=+，sin y ρθ=，∴C 的直角坐标方程为22416x y +=，即221164x y +=.设()4cos ,2sin P θθ，则()2cos ,sin Q θθ， ∴点Q 的轨迹的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（2）由（1）知点Q 的轨迹的普通方程为2214x y +=，()4,0A ，()0,2B，AB =AB的方程为240x y +-=.设()2cos ,sin M θθ，则点M 到AB 的距离为d ==≤， ∴MAB V面积的最大值为142S =⨯=. 【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可.18．（1）22165x y +=（2）2【解析】 【分析】(1) 由条件知22221,451,3a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩从而解得22a b ，，即可得到椭圆C 的方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y <，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=，由韦达定理及222BF F A =u u u u v u u u u v可建立关于未知量的方程，解之即可. 【详解】（1）由条件知22221,451,3a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得226,5,a b ⎧=⎨=⎩ 因此椭圆C 的方程为22165x y +=.（2）解法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y <， 设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=， 由韦达定理得1221056m y y m -+=+，1222556y y m -=+， 由222BF F A =u u u u v u u u u v知2120y y +=，即212y y =-，带入上式得121056m y m =+，21225256y m =+ 所以222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，结合图形知m =，故直线l的斜率为2. 解法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y <， 设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=，因此1y =，2y =，由222BF F A =u u u u v u u u u v知2120y y +=，代入上式得52m --(50m -+=，解得m =结合图形知m =，故直线l的斜率为2. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，考查韦达定理的应用，考查转化能力与计算能力，属于中档题.19．（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【解析】 【分析】 （1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出． 【详解】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， 由（1）知n na 2＝122n n ++， 则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++，12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++，两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++， 所以S n ＝2－142n n ++. 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．20．（1）详见解析；（2）4. 【解析】（1）取BD 中点O ，连接OM ，OE ，通过证明四边形OMEF 为平行四边形得出FM ∥OE ，故而FM ∥平面BDE ；（2）取AD 的中点H ，证明EH ⊥平面ABCD ，由（1）得F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离．所以F BDE M BDE E BDM V V V ---== ，求出E BDM V -即可. 【详解】证明:（1）取BD 中点O ，连接,OM OE ，因为,O M 分别为,BD BC 中点，所以//OM CD 且12OM CD =， 由已知//EF AB 且12EF AB =，又在菱形ABCD 为菱形中，AB 与CD 平行且相等，所以//EF CD 且12EF CD =. 所以//OM EF 且OM EF =,所以四边形OMEF 为平行四边形，所以//MF OE . 又OE ⊂平面BDE 且MF ⊄平面BDE ， 所以//MF 平面BDE .（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，因为EA ED =，所以EH AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =，EH ⊂平面ADE ， 所以EH ⊥平面ABCD .由已知可得ADE ∆是边长为4的等边三角形，故23EH = 又因为11134423222BDM BCD S S ∆∆⎛==⨯⨯⨯= ⎝⎭112323433F BDE M BDE E BDM BDM V V V S EH ---∆===⋅⋅=⨯【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，求棱锥的体积可以利用体积相等转化易求的体积，属于中档题． 21．（1）πππ,,632A B C ===；（2）4n =或5n =. 【解析】（1）由题意结合三角形内角和为π可得π3B =.由余弦定理可得223b a =，结合勾股定理可知ABC V 为直角三角形，从而可得π2C =，πππ236A =-=；（2）结合（1）中的结论可得n a = 0,2,n n n ⎧⎨⎩为奇数为偶数，由此可列出212n k k S S S +=== 22243k +-，k N ∈，从而可得到关于实数k 的方程22264k +=，解方程可得2k =，再根据题意以及212n k k S S S +==可得出4n =或5n =．【详解】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=， 所以π3B =. 又2c a =，所以222222π2cos 422cos 33b ac ac B a a a a a =+-=+-⋅=， 所以222c a b =+，所以ABC V 为直角三角形，且π2C =， 所以πππ236A =-=. （2）由题意知，()π2cos 2cos2nnn n a nC === 0,2,n n n ⎧⎨⎩为奇数为偶数. 由题意可知212n k k S S S +=== 242020202k++++++=L()22241224143kk +--=-，k N ∈，由2224203k +-=，得22264k +=，所以226k +=， 所以2k =， 所以4n =或5n =. 【点睛】本题把数列与三角函数相结合，考查余弦定理的应用，数列求和，考查计算能力，属于中档题． 22． (1)证明见解析.(2)【解析】分析：以点A 为原点，以AD AP AB 、、为轴建立空间直角坐标系，（1）求出向量()()0,1,1,0,2,2BE PD ==-u u u v u u u v，由空间向量垂直的坐标表示可得结论；(2)先确定点F 的位置，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面FAB 的法向量，取平面ABD 的法向量()20,0,1n =u u v，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：依题意，以点A 为原点，以AD AP AB 、、为轴建立空间直角坐标系如图， 可得()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P 由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E（1）向量()()0,1,1,0,2,2BE PD ==-u u u v u u u v故0,BE PD BE PD ⋅=⊥u u u v u u u v（2）()()()()1,2,0,2,2,2,2,2,0,1,0,0BC CP AC AB ==--==u u u v u u u v u u u v u u u v由点F 在棱PC 上，设,01CF CP λλ=≤≤u u u v u u u v故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=u u u v u u u v因此，()()32122220,4λλλ-+-==即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v设()1,,n x y z =u v 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-u v为平面FAB 的一个法向量取平面ABD 的法向量()20,0,1n =u u v，则121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅u v u u vu v u u v u v u u v 所以二面角F AB D --的余弦值为10点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.高考模拟数学试卷命题学校：深圳实验 ,17本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|1}A x x =≥，)}2(log |{2+==x y x B ，则=A BA ．)1,2(-B ．]1,2(-C ．)1,2[-D ．]1,2[- 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)i z a =-在复平面内对应的点为M ， 则“2a <-”是“点M 在第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列}{n a 中，公比0q >，若42=a ，则321a a a ++的最值情况为A ．有最小值4-B ．有最大值4-C ．有最小值12D ．有最大值12 4．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的 正(主)视图、侧(左)视图、俯视图相同，如右图所示， 其中四边形ABCD 是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为A ．34B ．33C ．32D ．3 5．执行如图所示的程序框图，输出的S 是A ． 0B ．12C ． 1D ．1-6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”； 第4题图③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<．A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④7．把正奇数数列按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，第五个括号两个数，第六个括号三个数，…．依次划分为)1(，)5,3(，)11,9,7(，)13(，)17,15(，)23,21,19(，)25(，…．则第50个括号内各数之和为A ．396B ．394C ．392D ．3908．已知函数)(x f y =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数)()()(a x f x f x g --= 都是其定义域上的减函数，则函数)(x f y =的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．已知定点)0,2(-A ，)0,2(B ,N 是圆O ：122=+y x 上任意一点，点A 关于点N 的对称点为M ，线段AM 的中垂线与直线BM 相交于点P ，则点P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 10．设函数)(x f 在区间I 上可导，若I x x ∈∀,0,总有))(()()(000x x x f x f x f -'+≥，则称)(x f y =为区间I 上的U 函数． 在下列四个函数2x y =，xx y 1+=，xy e -=，x y 2cos =中，在区间)0,1(-上为U 函数的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：11、12、13题为必做题． 11．如图，菱形ABCD 的边长为2，︒=∠60A ，M 为DC 的中点，则AB AM ⋅的值为 ．12．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，若目标函数z mx y =+（0m >）的最大值为35，则m 的值为 ．13．设1>a ，则当xa y =与x y a log =两个函数图象有且只有一个公共点时，=a ln ln ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 23221（t 为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，则l 上的动点P 与C 上的动点Q 间的最短距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交AB 于E ．则线段BF 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为16． （1）求抽取的男学生人数和女学生人数；O第15题图（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22⨯列联表：①完成列联表；②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：17．（本小题满分12分）设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin()cos 6A A π-=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值．18．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点，42==AB PA ．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：//CE 面PAB ； （3）求三棱锥ACE P -的体积V ．PE19．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，()11++=⋅+n n S a n n n ，*N ∈n ． （1）求数列}{n a 的通项公式： （2）令n nn S T 2=，*N ∈n ． ①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ；②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，且BC BF ⊥，过点A 作斜率为(0)k k >的直线l 与由三点B ,F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足221a ME MD -=⋅．（1）若BOF ∆，求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论.21．（本小题满分14分）已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f （R ∈a ，0≠a ），x x x g +=2)(． （1）求函数(1)()ln ()1a x h x a x g x x -=-⋅+的单调区间,并确定其零点个数；（2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式 1ln 121715131+<+++++n n Λ（*N ∈n ）．数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11． 4 12． 16 13．1- 14．2 15．5第20题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为16． （1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22⨯列联表：①完成列联表；②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：解：（1）共抽取6306105÷=人，…………………………………………………………1分男生 111055521⨯=人， 女生101055021⨯=人，……………………………3分 （2）①…………4分 ② 假设0H 学生对体育课改上自习课的态度与性别无关220()105(45201030) 6.110()()()()75305550n ad bc k a c b d a b c d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯ 因为 6.110 5.024>, 2( 5.024)0.025P K ≥=所以 有97.5%的把握认为态度与性别有关.………………………………8分（3）记一班被抽到的男生为1234,,,,A A A A a ，1234,,,A A A A 持否定态度，a 持肯定态度； 二班被抽到的女生为1212,,,B B b b ，12,B B 持否定态度，12,b b 持肯定态度.则所有抽取可能共有20种：11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A b ，12(,)A b ；21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A b ，22(,)A b ；31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A b ，32(,)A b ；41(,)A B ，42(,)A B ，41(,)A b ，42(,)A b ；1(,)a B ，2(,)a B ，1(,)a b ，2(,)a b .………10分其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种：11(,)A b ，12(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，31(,)A b ，32(,)A b ，41(,)A b ，42(,)A b ，1(,)a B ，2(,)a B .……11分记“从这9人中随机抽取一男一女，其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件为M ,则101()202P M ==. ……………………………………………………12分答：（1）抽取男生55人，女生50人；（2）有有97.5%的把握认为态度与性别有关；（3）恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为12.……………………………13分17．（本小题满分12分）设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin()cos 6A A π-=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值． 解：（1）由已知有sin coscos sincos 66A A A ππ⋅-⋅=，………………………………1分得1cos cos 2A A A -=，则sin A A =，………………3分tan A =.………………………………………………………………4分又0A π<<，故3A π=.……………………………………………………5分（2）（法一）由正弦定理得sin 2sin sin sin 3a B B b B A π⋅⋅===, sin 2sin sin sin 3a C C c C A π⋅⋅===,则sin )b c B C +=+.……………………………………………7分 而21sin sin sin sin()sin sin )32B C B B B B B π+=+-=++31sin cos ))226B B B B B π==+=+.…9分 则 4sin()6b c B π+=+.又 203B π<<， 所以5666B πππ<+<.……………………………10分 所以 当且仅当62B ππ+=，即3B π=时，sin()6B π+取得最大值1，11分故 max ()4b c +=. …………………………………………………………12分（法二）由余弦定理得22222cos3b c bc π=+-，即224b c bc =+-， …………7分则 24()3b c bc =+-，又 2()2b c bc +≤则 10分 22()()434b c b c ++-≤⋅…………………10分 得 2()16b c +≤， 故 4b c +≤，当且仅当b c =时，max ()4b c +=.…… ………………………………………12分18．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点，42==AB PA ．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：//CE 面PAB ； （3）求三棱锥ACE P -的体积V ．解：（1）证明 取PC 中点F ，连接,AF EF . ……1分在Rt ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=o，则 BC =4AC =． 而 4PA =则 在等腰三角形APC 中 PC AF ⊥. ① ………………2分又 在PCD ∆中，,PE ED PF FC ==,则 EF ∥CD ……………………………………………………………………3分PABCDE第18题图因 PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ， 则 PA ⊥CD ，又 90ACD ∠=o，即CD AC ⊥， 则 CD ⊥面PAC ，……………………4分CD PC ⊥，所以 EF PC ⊥． ② ………………5分 由①②知 PC ⊥面AEF ．故 PC ⊥AE ．…………………………6分 （2）（法一）取AD 中点M ，连接,EM CM ． 则 在PAD ∆中, EM ∥PA . 又 EM ⊄面PAB , PA ⊂面PAB则 EM ∥面PAB , …………………………………………………………………7分 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠=o所以ACM ∆为正三角形，则 60ACM *∆= ……………………………………………………………………8分 又 60BAC ∠=o 则 MC ∥AB .又 MC ⊄面PAB , AB ⊂面PAB则 MC ∥面PAB , …………………………………………………………………9分 而 EM MC M =I ，所以 面EMC ∥面PAB . …………………………………………………………10分 又 EC ⊂面EMC则 EC ∥面PAB ． ………………………………………………………………11分 (法二)延长,DC AB 交于N ，连接PN ． …………………………………………7分 在AND ∆中，60NAC DAC ∠=∠=o，AC ⊥CD ，则 C 为ND 的中点…………………………………………………………………9分 又 PE ED =所以 EC ∥PN ……………………………………………………………………10分 又 EC ⊄面PAB , PN ⊂面PAB则 EC ∥面PAB .…………………………………………………………………11分PA DBCEF M（3）由（1）（2）知 4AC =, CD =12EF CD ==因 CD ⊥面PAC ， EF ∥CD则 EF ⊥面PAC ，……………………………………………………………12分 而 1144822Rt PAC S PA AC ∆=⋅=⨯⨯=………………………………………13分故 11833P AECE PAC Rt PAC V V S EF --∆==⋅=⨯⨯=14分19．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，()11++=⋅+n n S a n n n ，*N ∈n ． （1）求数列}{n a 的通项公式： （2）令nnn S T 2=，*N ∈n ． ①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ；②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．解：（1）在()11++=⋅+n n S a n n n 中令1n =，得2111(11)a S ⨯=+⨯+又12a =，则24a =，所以212a a -=. ………………………………………1分 当2n ≥时，()11++=⋅+n n S a n n n1(1)(1)n n n a S n n --=+-相减得 11(1)2n n n n na n a S S n +---=-+ ……………………………………3分 即 1(1)2n n n na n a a n +--=+，整理得 12(2)n n a a n +-=≥ ………4分 结合到 212a a -=，所以 数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，………………………5分 则 2(1)2n a n =+-⨯，即2n a n =.…………………………………………6分 （2）①(法一) (22)(1)2n n nS n n +==+…………………………………………7分 则 (1)22n n n nS n n T +==………………………………………………………8分 1111(1)(2)(1)1(1)(2)(22)2222n n n n n n n n n n n n n T T n n +++++++++--=-=+-=由 10n n T T +-< ……………………………………………………………9分 得 2n >，即n 取不小于3的正整数. …………………………………10分 （法二） 把 12(1)n a n +=+代入()11++=⋅+n n S a n n n得 ()2(1)1n n n S n n ⨯+=++所以 (1)n S n n =+.……………………………………………7分以下同法一.② 由①知 数列{}n T 各项的大小情况为 12345T T T T T <=>>>L L .11分 则 {}n T 的各项中数值最大的项为3222(21)322T T +===，………12分 因为对一切正整数n ，总有m T n ≤，则 32m ≥……………………13分20．（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，且BC BF ⊥，过点A 作斜率为(0)k k >的直线l 与由三点B ,F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足221a ME MD -=⋅． （1）若BOF ∆，求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论.解：（1）由已知可得12c a =，12cb =2分又222a b c =+，解得2222,6,8c b a ===. …………3分第20题图所求椭圆方程为22186x y +=.…………4分 （2）由12c a =得b =，则(,0),)F c B -……5分 因BC BF ⊥ 则1-=⋅BF BC k k (斜率显然存在且不为零）……………6分 而0()FB k c -==-- 设 (,0)C t ，则BC k ==得 c t 3=，所以)0,3(c C ……………………………………………………7分则圆心M 的坐标为(,0)M c ，半径为2r c =………………………………………8分 据题意 直线l 的方程可设为 (2)y k x c =+，即20kx y ck -+=………………9分 由 221a ME MD -=⋅得 2122cos 2c c DME a ⨯⨯∠=-………………………10分即 2122cos (2)2c c DME c ⨯⨯∠=-，得1cos 2DME ∠=-，而0DME π≤∠≤ 所以 23DME π∠=…………………………………………………………………11分 在等腰三角形MED 中 由垂径定理可得点M 到直线l 的距离为c .………………12分 则c =…………………………………………………………………13分解得k = 而0k > 故k =（定值）……………………………14分 21．（本小题满分14分）已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f （R ∈a ，0≠a ），x x x g +=2)(． （1）求函数(1)()ln ()1a x h x a x g x x -=-⋅+的单调区间,并确定其零点个数；（2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式1ln 121715131+<+++++n n Λ（*N ∈n ）． 解：（1）2()ln (0)h x a x ax ax x =-+> …………………………………………1分则 1()(21)(0)h x a x x x'=-+>2(21)a x x x --=-12(1)()2a x x x-+=-……………………………………………2分 （i ）若0a >，则当(0,1)x ∈时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<所以 (0,1)为()h x 的增区间，(1,)+∞为()h x 的减区间. ………………3分 极大值为0111ln )1(2=⨯+⨯-=a a a h 所以)(x h 只有一个零点1=x .（ii ）若0a <，则当(0,1)x ∈时，()0h x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '> 所以 (0,1)为()h x 的减区间，(1,)+∞为()h x 的增区间.极小值为0111ln )1(2=⨯+⨯-=a a a h ……………………………………4分 所以)(x h 只有一个零点1=x . 综上所述，当0a <时，(0,1)为()h x 的减区间，(1,)+∞为()h x 的增区间，)(x h 有且只有一个零点； 当0a >时，(0,1)为()h x 的增区间，(1,)+∞为()h x 的减区间，)(x h 有且只有一个零点. ……………………………………………………………………5分 （2） 21[1(1)]()(1)a x x f x x x +--'=-+212(1)a x x =-+ 22(22)1(0)(1)x a x x x x +-+=>+……………………………………6分 由)(x f 在其定义域内单调递增，可知(0,)x ∀∈+∞,()0f x '≥恒成立.则 2(22)10x a x +-+≥ (0,)x ∀∈+∞ 恒成立.…………………………7分(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点(0,1))可得10a -≤或100a ->⎧⎨∆≤⎩………………………………………………………8分则 1a ≤或210(22)40a a ->⎧⎨--≤⎩ 则 1a ≤或102a a >⎧⎨≤≤⎩得 2a ≤.可以验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增故 2a ≤.……………………………………………………………………9分(法二)分离变量 122(0)a x x x≤++> 因 12224x x++≥+= （当且仅当1x x =，即1x =时取到等号）…8分所以 24a ≤， 则2a ≤.可以验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增故 2a ≤……………………………………………………………………9分（3）由（2）可知 当2a =时，2(1)()ln 1x f x x x -=-+在(0,)+∞内单调递增， 而2(11)(1)ln1011f -=-=+ 所以当1x >时，()(1)0f x f >= 即 2(1)ln (1)1x x x x ->>+……………………………………………………10分令 *11()x n N n=+∈， 则 12(11)1ln(1)111n n n+-+>++…………………………………………………11分则 12ln21n n n +>+ 所以 2ln121n n n >--，22ln 323n n n ->--，…… , 32ln 25>,22ln 13>, 以上n 个式子累加可得132222lnln ln ln 212212153n n n n n n +++++>++++-+-L L L L…………………………………12分则 131111ln(2)2()12212153n n n n n n +⋅⋅⋅>++++-+-L L L L则 1111ln(1)2()212153n n n +>+++++-L L …………………………13分则11111ln(1)2212153n n n +>+++++-L L故111135721n ++++<+L L（*N ∈n ）．………………14分高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|13A x x =-≤≤，|1B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ．[]1,3- B ．[]1,3C ．(1,3]D ．(1,3]-2.复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的虚部为1-B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的共轭复数为1i +3.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机选取一个实数x ，则事件“3sin x ≥”发生的概率为（ ）A ．1B ．14C ．13D ．164.已知双曲线C 的方程为22149y x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点在x 轴上B ．虚轴长为4C ．渐近线方程为230x y ±=D ．离心率为13 5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时3()log (6)3f x x a a =++-，则()f a =（ ） A ．9B ．6C ．3D ．16.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A ．120B ．60C ．24D ．207.已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．1B 2C 3D ．28.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2AB =，3BC =，4PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．13πB ．20πC ．25πD ．29π9.秦九昭算法是南宋时期数学家，秦九昭提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法框图如图所示，若输入的0a ，1a ，2a ，…，n a 分别为0，1,2，…，n ，若4n =，根据算法计算当1x =时多项式的值，则输出的结果是（ ）A ．3B ．6C ．10D ．1510.已知实数x ，y 满足1,49,3,x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩给x ，y 中间插入5个数，这7个数构成以x 为首项，y 为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为（ ） A ．49B．634C．212D ．49211.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则()f x 的图象向右平移2个单位后，得到()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A ．()23sin8xg x π=B ．()23sin8xg x π=-C ．()23cos8xg x π= D．()23cos8xg x π=-12.已知函数ln ,2,()2,2,xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-恰有一个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．ln 21(0,)(,4]2eU B ．1(,0)(,4)e-∞U C ．1(,0](,4]e-∞UD ．1(,4]e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ．14.4名党员干部分配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有 种不同的分配方式（用数字作答）．15.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2p-，则该抛物线的方程为 ． 16.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张． 甲说：我摸到卡片的标号是10和12； 乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等． 据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，三边a ，b ，c 成等比数列，且面积为43，在等比数列{}n a 中，14a =，公差为b ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n c 满足116n n n c a a +=，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 18.如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AB AD ⊥，且PA AB ⊥，PAD ∆是等边三角形，22AB AD DC ===，M 为PB 的中点．（1）求证：CM ⊥平面PAB ； （2）求二面角D PB A --的余弦值．学习时间 [0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[]5,6频数318422（3）若周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级 学习投入时间较多学习投入时间较少合计 合计22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k ≥0.025 0.010 0.005 0k5.0246.6357.87920.已知圆22(2)16x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点(2,0)N ，线段PN 的垂直平分线交PM 于G 点．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求||QT ．21.已知函数()ln f x x x =，2()()2a x x g x -=．（1）若()()f x g x <对(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：不等式22212111(1)(1)(1)n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦…对于正整数n 恒成立（其中2.71828e =…为自然对数的底数）． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）直线l ：y x =与曲线1C 交于A ，B 两点，P 是曲线2C 上的动点，求PAB ∆的面积的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，求证：22221a b a b +>+． （2）若关于x 的不等式|1|2|2|x x m -+-≤有解，求实数m 的取值范围．一、选择题1-5CADCB 6-10BADCD 11、12：BC 二、填空题 13.14-14.36 15.24y x = 16.8和9 三、解答题17.解：（1）由a ，b ，c 成等比数列得2b ac =，因为1sin 2ABC S ac B ∆==，所以4b =， 所以{}n a 是以4为首项，以4为公差的等差数列， 解得4n a n =． （2）由（1）可得111(1)1n c n n n n ==-++，111111(1)()()122311n T n n n =-+-++-=-++…． 18.（1）证明：取PA 的中点为E ，连接EM ，ED ， 由题意知//EM 1//2AB DC ，可得四边形CDEM 为平行四边形，所以//CM DE ． 由题可知，BA DA ⊥，BA PA ⊥，且PA AD A =I ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂面PAD ， 所以BA ⊥平面PAD ，又∵DE ⊂平面PAD ，∴BA DE ⊥， ∵PAD ∆为正三角形，∴DE PA ⊥，又∵PA AB A =I ，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ， ∴DE ⊥平面PAB ， 又//DE CM ， ∴CM ⊥平面PAB ．（2）解：由（1）可知BA ⊥平面PAD ，又BA ⊂平面ABCD ，则平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，因此取AD 的中点O 为坐标原点，以OD 为x 轴，在底面内过O 作AD 的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间坐标系，∵22AB AD CD ===，∴(1,0,0)A -，(1,2,0)B -，(1,1,0)C ，(1,0,0)D，P，1(2M -，则3(,0,2MC =u u u u r，(1,2,PB =-u u u r，(1,0,PD =u u u r ， 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即20,0,x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可取n =r ，cos ,7||||n MC n MC n MC ⋅<>===⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r ， 设二面角D PB A --的大小为θ，则cos 7θ=．19.解：（1）由图可知，学生学习时间在区间[]0,3内的频率为0.10.20.3+=，设在[3,4)这一组中至少有1人被抽中的事件为A ，则24263()1()15C P A P A C =-=-=．（3）年级 学习投入时间较多学习投入时间较少合计 4 16 20 9 11 20 合计1327402240(411169) 2.849 6.63520201327K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．20.解：（1）由题意知，线段PN 的垂直平分线交PM 于G 点，所以||||GN GP =， ∴||||||||||422||GM GN GM GP MP MN +=+==>=， ∴点G 在以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，24a =，222c =，2222b a c =-=，∴点G 的轨迹C 的方程为22142x y +=． （2）依题意可设直线l 方程为4x my =+，将直线方程代入22142x y +=， 化简得22(2)8120m y my +++=，设直线l 与椭圆C 的两交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2264412(2)0m m ∆=-⨯+>，得26m >，①且12282m y y m +=-+，122122y y m =+，② 因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则11(,)D x y -，可设0(,0)Q x ，所以21122121()BD y y y y k x x m y y ++==--，所以BD 所在直线方程为122221(4)()y y y y x my m y y +-=---，令0y =，得121201224()my y y y x y y ++=+，③把②代入③，得01x =， ∴Q 点的坐标为(1,0)， ∴||3QT =．21.解：（1）()()f x g x <等价于2()ln 02a x x x x --<，即(1)ln 02a x x x -⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦， 记(1)()ln 2a x h x x -=-，即()0xh x <，12'()22a axh x x x-=-=， 当0a ≤时，'()0h x >，()h x 在(1,)x ∈+∞单调递增，又(1)0h =， 所以()(1)0h x h >=，所以()0xh x >，即()()f x g x <不成立； 当02a <<时，21a >，2(1,)x a∈时，'()0h x >，()h x 单调递增， 所以()(1)0h x h >=，所以()0xh x >，()()f x g x <不成立；当2a ≥时，(1,)x ∈+∞，20ax -<，'()0h x <，()h x 在(1,)x ∈+∞单调递减， 所以()(1)0h x h <=，所以()0xh x <，()()f x g x <恒成立． 综上所述，当()()f x g x <对(1,)x ∈+∞恒成立时[2,)a ∈+∞． （2）由（1）知当2a =对(1,)x ∈+∞有ln 1x x <-恒成立． 令21(1)k x n =++，1,2,3,k =…,n ,有22ln(1)(1)(1)k kn n +<++成立， 22212ln(1)ln(1)ln(1)(1)(1)(1)nn n n +++++++++…22212ln (1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n n ⎡⎤=+++⎢⎥+++⎣⎦… 22212(1)(1)(1)n n n n <++++++ (2)(1)12(1)2(1)2n n n n n +==<++，。