复变函数与积分变换第二章资料

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复变函数与积分变换第二章第四节平面场的复势_复变函数论

是与 r 无关的常量. i 称为涡点的强度.
h( z ) . 流速 v i 1 ,
2 z
2 z
复势函数为
f (z) Lnz c, 2i
(c c1 ic2 )
于是势函数为
比较后得 , , 柯西 –黎曼
x y y x 方程
在单连域内可以作一个解析函数
w f (z) ( x, y) i ( x, y). 平面流速场的复
势函数(复势)
因为
v
vx
ivy
x
i
y
x
i
x
f (z),
所以流速场v 可以用复变函数v f (z) 表示.
给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图形, 即得描绘该场的流动图象.
*第四节平面场的复势
一、用复变函数表示平面向量场二、平面流速场的复势三、静电场的复势四、小结与思考
一、用复变函数表示平面向量场平面ຫໍສະໝຸດ 常向量场:向量场中的向量都平
S
行于某一个平面S, 而且在
垂直于S 的任何一条直线
上的所有点处的向量都是
相等的; 场中的向量也都与
S0
时间无关.
显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情况是完全相同的, 可以用So 平面内的场表示.
由对称性, z 0 处的流速 v g(r)r0,
其中r z 是 z 到原点的距离, r0 是指向点z 的向径上的单位向量, r0 z ,
z g(r) 是一待定函数.

复变函数与积分变换21

其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v .
例如, 考察函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,
因而函数 w = z2 对应于两个二元函数: u = x2-y2, v = 2xy
在以后的讨论中, E常常是一个平面区域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.
解： w f (z z) - f (z) z z 2 - z 2
z
z
z
(z z)( z z) - z z z (z 0) f (0) 0
z
z 0:
取z x 0
w2
O
x
w1 w3
u
w1 -1
w2 -3 4i
w3 1
• 假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合E, 函数值集合为w平面上的集合G, 则G中的每个点w必将对应着E中的一个 (或几个)点. 按照函数的定义, 在G上就确
定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称
为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z) 的逆映射.
而将 x 固定，将其看作 y 的函数，对 y 求导，所获得的函数就叫 f(x,y)对 y 的偏导数，记作 f 。当然上面的说法必须是在相应的偏导数 y 存在的情况下。
例: 设二元函数f(x,y)=x2sin2y, 则
f 2xsin 2 y x f 2x2 cos 2 y y
iv)微分的概念设函数w=f(z)在z0可导, 则有
定义2.3
如果 lim zz0
f
(z)
f (z0)

第二章复变函数的积分

f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
积分n函数k1
积分路径一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则

f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧：宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
n
n
f (z)dz f (z)dz;l lk
l
k 1 lk
k 1
f (z)dz f (z)dz
lAB
lBA

f (z)dz

l
f (z) dz ; dz
dx2 dy2 ds
l
Ms; M f (z) , s l的长度
用来求积分的估计值
r
1
z3 z
2
dz

z3 z r 1 z2
dz
（1）
z3
z r 1 z2
dz M
dz M
z r
ds Ms
z r
（2）
由（1）（2）式，得：
z3 dz Ms
z r 1 z2
M

1
r
3
r
2
s ds 2 r z r