B样条曲线是什么？小弟在很多cad的文章中看到B样条曲线，就是不知道到底什么是B样条曲线，希望各位大哥能给小弟一个明确的解释。
谢谢！2003-4-15 22:00 intaNURBS -- Non-Uniform Rational B-Splines中文大致叫“非均匀有理B样条”NURBS是一种描述曲面的 "参数表示法"。
基本上所有的曲面都可以用 polygon，也就是所谓的 "面" 来趋近表现，但绝大部份的东西其实都是平滑的，所以必须用代数式或参数式来表示。
NURBS 即是现在最流形的参数示表式法。
NURBS 基本上是用一组 "control point array" 来表示一个曲面，也就是说只要只定一组 control point 就可以造出一个曲面，而只要调整control point 就可以控制此曲面的形状。
用 NURBS 来拉塑的模型，只要改变其控制点的参数值，即能轻易的改变它的外型，此外，NURBS 只需要几条类似物体剖面的线段或是封闭曲线，即可拉塑出复杂的模型，比如在做人脸或是动物时就十分方便; 此外，因其很容易 Modify，所以在工业设计上也逐渐成为主流。
要特别强调的，Non-Uniform Rational B-Splines 其中的B并不是Bezier Curve，其定义比Bezier Curve还多出一关联项，所以不要把它跟Bezier Curve弄混。
在CAD/CAM中，常采用Bezier曲线曲面，这样便于理解曲线/曲面。
但采用Bezier形式的曲线曲面不能精确的表示二次曲线和二次曲面，如球体和圆。
将多项式改为有理形式，不仅能精确表示二次曲线和二次曲面，且增加了设计的自由度。
重复的进行两点线性插值，可以构造Bezier Curve。
重复的进行两点有理插值，可以构造有理Bezier Curve。
与控制顶点类似，有理Bezter曲线上的点可映射为Bezter曲线上的点或对应的控制多边形上的点。
四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
