当前位置：文档之家 › 等比数列及其前n项和训练题

等比数列及其前n项和训练题

  • 格式：doc
  • 大小：67.00 KB
  • 文档页数：6

等比数列及其前n项和训练题 一、题点全面练 1．(2019·武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7

解析：选D 由 a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，

解得 a4＝－2，a7＝4或 a4＝4，a7＝－2.

∴ q3＝－2，a1＝1或 q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )

A.152 B.314

C.334 D.172

解析：选B 设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得 a1q·a1q3＝1，a1－q31－q＝7，解

得 a1＝4，q＝12或 a1＝9，q＝－13(舍去)， ∴S5＝a1－q51－q＝41－1251－12＝314. 3．(2018·邵阳二模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝( ) A．2 B.73 C.310 D．1或2 解析：选B 设S2＝k，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴S6S4＝7k3k＝73，故选B. 4．(2018·安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an

－1}是等比数列，则λ的值等于( )

A．1 B．－1

C.12 D．2

解析：选D 由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λan－2λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2. 5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( ) A．13 B．12 C．11 D．10 解析：选B 设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an

－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－1·…·a2·a1，∴T2n＝(a1·an)n，即7292＝3n，

∴n＝12. 6．(2019·重庆调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝5，则log5a1＋log5a2

＋…＋log5a9＝________.

解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1·a9＝a2·a8＝a3·a7＝a4·a6＝a25＝52，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝log5(a1·a2·…·a9)＝

log5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log5a95＝log559＝9. 答案：9 7．设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________. 解析：易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.

答案：150

8．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝158，a2a3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝________.

解析：1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝a1＋a4a1·a4＋a2＋a3a2·a3. ∵在等比数列{an}中，a1·a4＝a2·a3， ∴原式＝a1＋a2＋a3＋a4a2·a3＝158×－89＝－53. 答案：－53 9．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2， 解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－n3. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188， 此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝1－2n1－2＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.

10．已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝3an2an＋1(n∈N*)，且a1＝23.

(1)求证：1an－1是等比数列，并求出{an}的通项公式； (2)求数列1an的前n项和Tn.

解：(1)证明：记bn＝1an－1，则bn＋1bn＝1an＋1－11an－1＝2an＋13an－11an－1＝2an＋1－3an3－3an＝1－an－an＝13， 又b1＝1a1－1＝32－1＝12， 所以1an－1是首项为12，公比为13的等比数列． 所以1an－1＝12·13n－1，即an＝2·3n－11＋2·3n－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝2·3n－11＋2·3n－1. (2)由(1)知，1an－1＝12·13n－1， 即1an＝12·13n－1＋1. 所以数列1an的前n项和

Tn＝121－13n1－13＋n＝341－13n＋n.

二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分 1．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________．

解析：设{an}的公比为q，则根据题意得q＝a2a1＝a3a2，

∴32≤q≤2，a4＝a3q≥92，a4＝a2q2≤8，∴a4∈92，8. 答案：92，8 2．已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－32，求这四个数． 解：设这四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则由题意知，

 a4q6＝1， ①aq＋q＝－32， ②得 a2q3＝±1， ③

a2q2＋q2＝94. ④

把a2q2＝1q代入④，得q2－14q＋1＝0，此方程无解； 把a2q2＝－1q代入④，得q2＋174q＋1＝0， 解此方程得q＝－14或q＝－4. 当q＝－14时，a＝8；当q＝－4时，a＝－18. 所以这四个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8. (二)交汇专练——融会巧迁移 3．[与方程交汇]在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( ) A．－2 B．－2 C．±2 D.2 解：选B 根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4＜0，a3a7

＞0，得a3＜0，a7＜0，即a5＜0，由a3a7＝a25，得a5＝－a3a7＝－2.故选B. 4．[与集合交汇]设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于( )

A．－12 B.12

C．－32 D.32 解：选C {bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中． ∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项，∴q＜0，且负数项为相隔两项，又∵|q|＞1，∴等比数列各项的绝对值递增． 按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，－24,36，－54，81，

相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24,36，－54,81是{an}中连续的四项． ∴q＝－32. 5．[与等差数列的交汇]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q. (1)求an与bn；

(2)设cn＝3bn－λ·2na3 (λ∈R)，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围． 解：(1)由已知可得 q＋3＋a2＝12，3＋a2＝q2， 所以q2＋q－12＝0， 解得q＝3或q＝－4(舍去)，从而a2＝6， 所以an＝3n，bn＝3n－1.

(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2na3＝3n－λ·2n. 由题意，知cn＋1＞cn对任意的n∈N*恒成立， 即3n＋1－λ·2n＋1＞3n－λ·2n恒成立，

亦即λ·2n＜2·3n恒成立，即λ＜2·32n对任意的n∈N*恒成立． 由于函数y＝32n在[1，＋∞)上是增函数， 所以2·32nmin＝2×32＝3， 故λ＜3，即λ的取值范围是(－∞，3)．

(三)素养专练——学会更学通 6．[逻辑推理]已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行、第二行、第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*). 第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 第二行 6 14 4 第三行 9 18 8 解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＝2×3n－1. 答案：2×3n－1 7．[数学建模]一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)． 解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， ∵2n＝64×210＝216，∴n＝16， 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟)． 答案：48

合集下载

6.3等比数列及其前n项和

6.3等比数列及其前n项和

§6.3 等比数列及其前n 项和（时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．在等比数列{a n }中，若a 4＝8，q ＝－2，则a 7的值为( )A ．－64B ．64C ．－48D ．483．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或124．若等比数列{a n }各项都是正数，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( )A ．21B ．42C ．63D ．845．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4C.403D.172二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，若a n ＝64，则n 的值为________．8．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的取值范围是______．9．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝____________. 三、解答题(共41分)10．(13分)已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 11．(14分)数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值； (2)求证：{b n }是等比数列．12．(14分)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n . 答案 1.C 2.A3.C4.D5.C6.37.78. [4,8)9.-910. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.11. (1)解 ∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列，∴a n a n ＋1＝a 1a 2·3n －1＝2·3n，∴a 3＝2·32a 2＝6，a 4＝2·33a 3＝9，a 5＝2·34a 4＝18，a 6＝2·35a 5＝27.(2)证明 ∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列， ∴a n a n ＋1＝3a n －1a n ，即a n ＋1＝3a n －1，∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…与a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，… 都是公比为3的等比数列． ∴a 2n －1＝2·3n －1，a 2n ＝3·3n －1，∴b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝5·3n －1.∴b n ＋1b n ＝5·3n5·3n －1＝3，故{b n }是以5为首项，3为公比的等比数列． 12. (1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1. (2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，① ∴T n －1＝－12b n －1＋1 (n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1 (n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列，(3)证明 由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23－(n ＋1)·23＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0，∴c n ＋1<c n .。

等比数列及其前n项和

等比数列及其前n项和

全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 等比数列及其前n项和

[基础达标] 一、选择题 1．[优质试题·益阳市，湘潭市高三调研]已知等比数列{an}

中，a5＝3，a4a7＝45，则 a7－a9a5－a7的值为( ) A．3 B．5 C．9 D．25

解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝a5q·a5q2＝9q＝45，

所以q＝5，a7－a9a5－a7＝a5q2－a7q2a5－a7＝q2＝25.故选D. 答案：D 2．[优质试题·湖北华师一附中联考]在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( ) A．1 B．±1 C．2 D．±2

解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以

a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝a3q2＝1，故选A. 答案：A 3．[优质试题·山东淄博模拟]已知{an}是等比数列，若a1＝1，

a6＝8a3，数列1an的前n项和为Tn，则T5＝( ) A.3116 B．31 全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） C.158 D．7 解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a6＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2.∴an＝2n－1.∴1an＝12n－1.∴数列1an是首项为1，

公比为12的等比数列．则T5＝1－1251－12＝3116.故选A. 答案：A 4．[优质试题·福建厦门模拟]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2

解析：解法一 当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时an＋1

an

＝2n＋12n＝2. 因为{an}是等比数列，所以a2a1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 解法二 依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2

2021年高考数学 5.3 等比数列及其前n项和练习

2021年高考数学 5.3 等比数列及其前n项和练习

精品文档 实用文档 2021年高考数学 5.3 等比数列及其前n项和练习 (25分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(xx·北京模拟)已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为 ( ) A.-3 B.±3 C.-3 D.±3 【解析】选C.由等比中项知y2=3,所以y=±,又因为y与-1,-3符号相同,所以y=-,y2=xz,所以xyz=y3=-3. 【加固训练】(xx·福州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为( ) A. B.- C. D.- 【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x- ①, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2, 因为{an}是等比数列,所以a1=== ②, 由①②得x-=,解得x=. 2.(xx·青岛模拟)在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是 ( ) A.10000 B.1000 C.100 D.10 【解析】选A.因为lga3+lga6+lga9=lg(a3a6a9)=6,所以a3a6a9=106,由等比数列性质得a1a11=a3a9=,所以=106,又已知an>0,所以a6=102=100,因此a1a11=1002=10000,故选A. 3.(xx·长春模拟)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=( ) A.11 B.12 C.14 D.16 【解析】选C.设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3,an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14. 4.已知等比数列{an}(n∈N*)中有a5a11=4a8,数列{bn}是等差数列,且a8=b8,则b7+b9等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选C.b7+b9=2b8,又a5a11=4a8,所以=4a8,因为a8≠0,所以a8=4,即b8=4,所以b7+b9=2b8=8. 【加固训练】已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选D.因为数列{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又an≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16. 5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则{an}( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 【解析】选C.因为Sn=an-1(a≠0),所以an=即an=当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a≠1时,数列{an}是一个等比数列. 精品文档 实用文档 【加固训练】(xx·青岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 【解题提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a. 【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{an}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=10,S2m=30,则S3m= . 【解析】由等比数列的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列,所以10,20,S3m-30成等比数列,故10(S3m-30)=202,解得S3m=70. 答案:70 【加固训练】在正项等比数列{an}中,若++=81,则+= . 【解析】因为a2a4=,a4a6=,=a3·a5.所以++=++=81,即=81,又a3>0,a5>0,故+=9. 答案:9 7.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an= . 【解题提示】由2(an+an+2)=5an+1得q的方程求q,由=a10求a1即可求解. 【解析】因为2(an+an+2)=5an+1,所以2an+2an·q2=5an·q,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去).又因为=a10=a5·q5,所以a5=q5=25=32,所以32=a1·q4,解得a1=2,所以an=2×2n-1=2n,故an=2n. 答案:2n 8.在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”. 下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an}是等方差数列,则{}是等差数列; ②已知数列{an}是等方差数列,则数列{}是等方差数列. ③{(-1)n}是等方差数列; ④若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列.其中正确命题的序号为 . 【解析】对于①,由等方差数列的定义可知,{}是公差为p的等差数列,故①正确.对于②,取an=,则数列{an}是等方差数列,但数列{}不是等方差数列,故②错.对于③,因为-[(-1)n-1]2=0(n≥2,n∈N*)为常数,所以{(-1)n}是等方差数列,故③正确.对于④,若-=p(p≥2,n∈N*),则-=(-)+(-)+…+(-)=kp为常数,故④正确. 答案:①③④ 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.(xx·北京模拟)已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{an+1-λan}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(n∈N*),求实数λ的值. 【解析】(1)设数列{an}的公比为q,由条件得q3,3q2,q4成等差数列,所以6q2=q3+q4, 解得q=-3,或q=2, 由数列{an}的所有项均为正数,则q=2, 数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*). (2)记bn=an+1-λan, 则bn=2n-λ·2n-1=(2-λ)2n-1, 若λ=2,bn=0,Sn=0不符合条件; 若λ≠2,则=2,数列{bn}为等比数列,首项为2-λ,公比为2. 此时Sn=(1-2n)=(2-λ)(2n-1), 又Sn=2n-1(n∈N*), 所以λ=1. 【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别 等差数列 等比数列 精品文档 实用文档 不同点 (1)强调每一项与前一项的差 (2)a1和d可以为0 (3)任意两实数的等差中项唯一 (4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时am+an=ap+aq (1)强调每一项与前一项的比 (2)a1与q均不为0 (3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值 (4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时aman=apaq

2022-2023学年人教A版选择性必修第二册4-3-2第1课时等比数列的前n项和及其性质作业

2022-2023学年人教A版选择性必修第二册4-3-2第1课时等比数列的前n项和及其性质作业

4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和及其性质课后训练巩固提升A组1.设等比数列{a n}的公比q=3,前n项和为S n,则=()A.3B.9C.40D.解析:根据题意,等比数列{a n}的公比q=3,则S4=a1+a2+a3+a4==40a1,a3=a1q2=9a1,故.答案:D2.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3,a3+a4=12,则公比q等于()A.±4B.4C.±2D.2解析:依题意,数列{a n}是正项等比数列,S2=a1+a2=3,a3+a4=(a1+a2)·q2=12,故q==2.答案:D3.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a2+a5=0,则等于()A.11B.5C.-8D.-11解析:由8a2+a5=0,得=q3=-8,q=-2,故=-11.答案:D4.在数列{a n}中,已知对任意正整数n,有a1+a2+…+a n=2n-1,则+…+等于()A.(2n-1)2B.(2n-1)2C.4n-1D.(4n-1)解析:由a1+a2+…+a n-1+a n=2n-1,得a1+a2+…+a n-1=2n-1-1(n≥2),∴a n=2n-1(n≥2).又a1=1,符合上式,∴a n=2n-1,∴=4n-1,∴+…+(4n-1).答案:D5.已知等比数列{a n}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.解析:设{a n}的公比为q,由已知可得q≠1,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n=,S奇=.由题意得,即1+q=3,q=2.答案:26.设S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=3n+1-A,则A=.解析:∵S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=3n+1-A,∴a1=S1=32-A=9-A,a2=S2-S1=(33-A)-(9-A)=18,a3=S3-S2=(34-A)-(33-A)=54.∵a1,a2,a3成等比数列,∴=a1a3,∴182=(9-A)×54,解得A=3.答案:37.已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.解析:因为a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,且数列{a n}是递增的等比数列,所以a1=1,a3=4,q=2,所以S6==63.答案:638.在等比数列{a n}中,已知S n=189,q=2,a n=96,求a1和n.分析:已知a n,S n,q,可列方程组求a1和n.解:由S n=及a n=a1·q n-1,得①÷②,得,解得2n=64,则n=6.代入①,得a1=3.9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且S1,S3,S2成等差数列.(1)求{a n}的公比q;(2)已知a1-a3=3,求S n.解:(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).因为a1≠0,所以2q2+q=0.又q≠0,所以q=-.(2)由已知可得a1-a1=3,解得a1=4.从而S n=.B组1.在等比数列{a n}中,若a1+a2+a3+a4+a5=,a3=,则等于()A. B. C.31 D.4解析:设{a n}的公比为q.∵a1+a2+a3+a4+a5=+a3+a3q+a3q2=a3,∴+1+q+q2=.∴=4×=31.答案:C2.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,若a2=4,a6=,则S6等于()A.-B.C.±D.解析:设等比数列{a n}的公比为q,因为a2=4,a6=,所以q4=,即q2=.因为a n>0,所以q=.于是a1==8,所以S6=.答案:B3.若正项等比数列{a n}满足S3=13,a2a4=1,b n=log3a n,则数列{b n}的前20项和是()A.-25B.25C.-150D.150解析:设正项等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,由S3=13,a2a4=1,得解得q=,a1=9.故a n=a1q n-1=9·=33-n.b n=log3a n=log333-n=3-n,则数列{b n}是以2为首项,以-1为公差的等差数列,则S20=20×2+=-150.答案:C4.设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1a3=9,a4=27,则S4=.解析:设等比数列{a n}的公比为q,∵a1a3=9,a4=27,∴∵数列的各项均为正数,∴a1q=3,q2=9,q=3,a1=1,∴S4==40.答案:405.设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=5,a n+1=3S n+1,n∈N*,则a2=,S4=.解析:数列{a n}的前n项和为S n,=3S n+1,①则a n=3S n-1+1(n≥2),②①-②,得a n+1-a n=3S n-3S n-1(n≥2),整理得a n+1=4a n,故=4(常数)(n≥2).又a2=3S1+1,即a2=3a1+1,a1+a2=5,得a1=1,a2=4,所以数列{a n}为首项为1,公比为4的等比数列.S4==85.答案:4856.已知等差数列{a n}满足a5=13,a1+a3=8.(1)求{a n}的通项公式;(2)设S n是等比数列{b n}的前n项和,若b1=a1,b3=a4-1,求S6.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵等差数列{a n}满足a5=13,a1+a3=8,∴解得a1=1,d=3,∴a n=1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列{b n}的公比为q,∵在等比数列{b n}中,b1=a1=1,b3=a4-1=9,∴q2==9,解得q=±3.当q=-3时,S6==-182;当q=3时,S6==364.7.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,a2=1,S3=.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并用S n表示S n+1.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,∵a2=1,S3=,∴a1q=1,a1(1+q+q2)=,联立解得a1=,q=2或a1=2,q=.∴a n=2n-2或a n=22-n.(2)①当a1=,q=2时,S n=,S n+1==2×=2S n+.②当a1=2,q=时,S n==4×,S n+1=4××4×+2=S n+2.。