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数学专业外文翻译多元函数的极值

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1 外文文献

EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES 1. Stationary Points Definition 1.1 Let nRD and RDf:. The point a Da is said to be: (1) a local maximum if)()(afxffor all points x sufficiently close to a; (2) a local minimum if)()(afxffor all points x sufficiently close to a; (3) a global (or absolute) maximum if)()(afxffor all points Dx; (4) a global (or absolute) minimum if)()(afxffor all points Dx;; (5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum. Definition 1.2 Let nRD and RDf:. The point a Da is said to be critical or stationary point if 0)(af and a singular point if f does not exist at a. Fact 1.3 Let nRD and RDf:.If f has a local or global extremum at the point Da, then a must be either: (1) a critical point of f, or (2) a singular point of f, or (3) a boundary point of D. Fact 1.4 If f is a continuous function on a closed bounded set then f is bounded and attains its bounds. Definition 1.5 A critical point a which is neither a local maximum nor minimum is called a saddle point. Fact 1.6 A critical point a is a saddle point if and only if there are arbitrarily small values of h for which )()(afhaf takes both positive and negative values. 本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！

2 Definition 1.7 If RRf2: is a function of two variables such that all second

order partial derivatives exist at the point ),(ba, then the Hessian matrix of f at ),(ba is the matrix where the derivatives are evaluated at),(ba. If RRf3: is a function of three variables such that all second order partial derivatives exist at the point ),,(cba, then the Hessian of f at ),,(cba is the matrix where the derivatives are evaluated at),,(cba. Definition 1.8 Let A be an nn matrix and, for each nr1,let rAbe the rr matrix formed from the first r rows and r columns of A.The determinants det(rA),nr1,are called the leading minors of A Theorem 1.9(The Leading Minor Test). Suppose that RRf2:is a sufficiently smooth function of two variables with a critical point at),(baand H the Hessian of fat),(ba.If 0)det(H, then ),(ba is: (1) a local maximum if 0>det(H1) = fxx and 0(2) a local minimum if 0(3) a saddle point if neither of the above hold. where the partial derivatives are evaluated at),(ba.

Suppose that RRf3: is a sufficiently smooth function of three variables with a critical point at ),,(cbaand Hessian H at),,(cba.If 0)det(H, then ),,(cba is: (1) a local maximum if 0>det(H1), 0det(H3); (2) a local minimum if 0det(H3); (3) a saddle point if neither of the above hold. where the partial derivatives are evaluated at),,(cba. 本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！

3 In each case, if det(H)= 0, then ),(ba can be either a local extremum or a saddle

point. Example. Find and classify the stationary points of the following functions: (1) ;1),,(2224xzzyyxxzyxf (2) ;)1()1(),(422xyxyyxf Solution. (1) 1),,(2224xzzyyxxzyxf,so )24),(3zxyxyxf（i)2(2yxj)2(xzk Critical points occur when 0f,i.e. when (1) zxyx2403 (2) yx202 (3) xz20 Using equations (2) and (3) to eliminate y and z from (1), we see

that021433xxxor 0)16(2xx,giving 0x,66x and 66x.Hence

we have three stationary points: ）（0,0,0,）（126,121,66 and ）（126,121,66. Sinceyxfxx2122,xfxy2,1xzf,2yyf,0yzf and 2zzf,the Hessian matrix is

At ）（126,121,66, which has leading minors 611>0, And det 042912322H.By the Leading Minor Test, then,

）（126,121,66is a local minimum. At ）（126,121,66,

Key Points. ·A continuous function on a closed bounded set is bounded and achieves its bounds. ·To find the extreme values of a function on a closed bounded set it is necessary to consider the value of the function at stationary points(0f), singular points (fdoes not exist) and boundary points(points on the edge of the set). ·Stationary points can be classified as local maxim a , local minima or saddle points. ·If The Leading Minor Test 1.9 is not applicable, the stationary point must be classified by directly applying Definition 1.1 and Fact 1.6. For example in the two variable case, if fhas a stationary point at ),(ba,we consider the sign of for arbitrarily small, positive and negative values of hand k(that are not both zero).

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高等数学(微积分学)专业术语名词、概念、定理等英汉对照

高等数学(微积分学)专业术语名词、概念、定理等英汉对照

高等数学(微积分学)专业术语名词、概念、定理等英汉对照高等数学(微积分学)是研究变化和运动的数学学科。

它研究的对象包括函数、极限、导数、积分等。

作为一门复杂而抽象的学科，它涉及了大量的专业术语、名词、概念和定理。

本文将对其中的一些重要术语进行英汉对照解释。

微积分学主要研究函数和它们的变化规律。

其中的一些重要概念包括：1. 函数(Function)：函数是一种映射关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

函数通常用符号 f(x) 或 y=f(x) 表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。

2. 极限(Limit)：极限是一个函数在某一点或无穷远处的稳定趋势。

它描述了函数在逼近某一数值时的行为。

极限通常用符号 lim 表示。

3. 导数(Derivative)：导数描述了函数在某一点的变化率。

它可以用来计算函数在不同点的斜率，以及函数的最大值和最小值。

导数通常用符号 f'(x) 或 dy/dx 表示。

4. 积分(Integral)：积分是导数的逆过程。

它可以用来计算函数在一定范围内的累积量，如曲线下的面积。

积分通常用符号∫ 表示。

微积分学中的一些重要定理包括：1. 中值定理(Mean Value Theorem)：中值定理描述了函数在某一区间内存在一点，其导数等于整个区间的平均斜率。

它是微积分学中最重要的定理之一。

2. 泰勒定理(Taylor's Theorem)：泰勒定理将一个函数表示为多项式的形式，并利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。

它在数值计算和近似求解中有广泛应用。

3. 柯西—黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation)：柯西—黎曼方程描述了复数函数的解析性条件。

它是复变函数论的基础。

4. 应用于定积分的换元法(Substitution Rule for Definite Integrals)：换元法是计算定积分的一种常用技巧。

它将一个变量替换为另一个变量，以便简化积分计算。

多元函数极值

多元函数极值


提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
微积分专有名词中英文对照

微积分专有名词中英文对照

微积分专有名词中英文对照absolutely convergent绝对收敛absolute value绝对值algebraic function代数函数analytic geometry解析几何antiderivative不定积分approximate integration近似积分approximation近似法、逼近法arbitrary constant任意常数arithmetic series/progression(AP)算数级数asymptotes(vertical and horizontal)(垂直/水平)渐近线average rate of change平均变化率base基数binomial theorem二项式定理，二项展开式Cartesian coordinates笛卡儿坐标(一般指直角坐标) Cartesian coordinates system笛卡儿坐标系Cauch’s Mean Value Theorem柯西均值定理chain rule链式求导法则calculus微积分学closed interval integral闭区间积分coefficient系数composite function复合函数conchoid蚌线continuity(函数的)连续性concavity(函数的)凹凸性conditionally convergent有条件收敛continuity连续性critical point临界点cubic function三次函数cylindrical coordinates圆柱坐标decreasing function递减函数decreasing sequence递减数列definite integral定积分derivative导数determinant行列式differential coefficient微分系数differential equation微分方程directional derivative方向导数discontinuity不连续性discriminant(二次函数)判别式disk method圆盘法divergence散度divergent发散的domain定义域dot product点积double integral二重积分ellipse椭圆ellipsoid椭圆体epicycloid外摆线Euler's method(BC)欧拉法expected valued期望值exponential function指数函数extreme value heorem极值定理factorial阶乘finite series有限级数fundamental theorem of calculus微积分基本定理geometric series/progression(GP)几何级数gradient梯度Green formula格林公式half-angle formulas半角公式harmonic series调和级数helix螺旋线higher derivative高阶导数horizontal asymptote水平渐近线horizontal line水平线hyperbola双曲线hyper boloid双曲面implicit differentiation隐函数求导implicit function隐函数improper integral广义积分、瑕积分increment增量increasing function增函数indefinite integral不定积分independent variable自变数inequality不等式ndeterminate form不定型infinite point无穷极限infinite series无穷级数infinite series无限级数inflection point(POI)拐点initial condition初始条件instantaneous rate of change瞬时变化率integrable可积的integral积分integrand被积分式integration积分integration by part分部积分法intercept截距intermediate value of Theorem：中间值定理inverse function反函数irrational function无理函数iterated integral逐次积分Laplace transform拉普拉斯变换law of cosines余弦定理least upper bound最小上界left-hand derivative左导数left-hand limit左极限L'Hospital's rule洛必达法则limacon蚶线linear approximation线性近似法linear equation线性方程式linear function线性函数linearity线性linearization线性化local maximum极大值local minimum极小值logarithmic function对数函数MacLaurin series麦克劳林级数maximum最大值mean value theorem(MVT)中值定理minimum最小值method of lagrange multipliers拉格朗日乘数法modulus绝对值multiple integral多重积分multiple倍数multiplier乘子octant卦限open interval integral开区间积分optimization优化法，极值法origin原点orthogonal正交parametric equation(BC)参数方程partial derivative偏导数partial differential equation偏微分方程partial fractions部分分式piece-wise function分段函数parabola抛物线parabolic cylinder抛物柱面paraboloid：抛物面parallelepiped平行六面体parallel lines并行线parameter：参数partial integration部分积分partiton：分割period：周期periodic function周期函数perpendicular lines垂直线piecewise defined function分段定义函数plane平面point of inflection反曲点point-slope form点斜式polar axis极轴polar coordinates极坐标polar equation极坐标方程pole极点polynomial多项式power series幂级数product rule积的求导法则quadrant象限quadratic functions二次函数quotient rule商的求导法则radical根式radius of convergence收敛半径range值域(related)rate of change with time(时间)变化率rational function有理函数reciprocal倒数remainder theorem余数定理Riemann sum黎曼和Riemannian geometry黎曼几何right-hand limit右极限Rolle's theorem罗尔(中值)定理root根rotation旋转secant line割线second derivative二阶导数second derivative test二阶导数试验法second partial derivative二阶偏导数series级数shell method(积分)圆筒法sine function正弦函数singularity奇点slant母线slant asymptote斜渐近线slope斜率slope-intercept equation of a line直线的斜截式smooth curve平滑曲线smooth surface平滑曲面solid of revolution旋转体symmetry对称性substitution代入法、变量代换tangent function正切函数tangent line切线tangent plane切(平)面tangent vector切矢量taylor's series泰勒级数three-dimensional analytic geometry空间解析几何total differentiation全微分trapezoid rule梯形(积分)法则。

多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。

函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。

本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。

一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。

当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。

因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。

2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。

一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。

二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。

即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。

由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。

其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。

2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。

因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。

在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。

3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。

为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。

4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。