第37讲直接证明与间接证明[解密考纲]对利用综合法、分析法、反证法证明数学命题常与数列、解析几何、立体几何、函数综合在一起进行考查．一、选择题1．用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为( D)A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D．2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( C)A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析b2－ac＜3a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是( C) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析不妨设P＜Q，∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a a＋7＜2a＋7＋2·a＋3a＋4，只要证a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要证0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．4．要使3a－3b<3a－b成立，则a，b应满足( D)A．ab<0且a>bB．ab>0且a>bC．ab<0且a<bD．ab>0且a>b或ab<0且a<b解析 要使3a －3b ＜3a －b 成立，只要(3a －3b )3＜(3a －b )3成立， 即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b 成立，只要3ab 2＜3a 2b 成立，只要ab 2＜a 2b 成立，即要ab (b －a )＜0成立， 只要ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 成立． 5．已知a >b >0，且 ab ＝1，若 0<c <1，p ＝log ca 2＋b 22，q ＝log c ⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q的大小关系是( B )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q解析 ∵a 2＋b 22＞ab ＝1，∴p ＝log ca 2＋b 22＜0.又q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝log c1a ＋b ＋2ab ＞log c 14ab＝log c 14＞0， ∴q ＞p .6．(2017·山东济南模拟)设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( C ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C ．二、填空题7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为__a ＜b __.解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然6＜7.∴a ＜b .8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是__a ，b ，c ，d 全是负数__.解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是__③__(填序号)．解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1，故③能推出． 三、解答题10．(2017·江苏徐州模拟)如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF ∥CE ，求证：(1)平面BCEF ⊥平面ACE ； (2)直线DF ∥平面ACE .证明 (1)因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE ⊥BC ． 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC ⊥BC ． 因为AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE . (2)由(1)知AC ⊥BC ，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD ⊥BC ．因为AC ，BC ，BD 在同一平面内，所以AC ∥BD ． 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD ∥平面ACE . 因为BF ∥CE ，同理可证BF ∥平面ACE ， 因为BD ∩BF ＝B ，BD ，BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF ∥平面ACE .因为DF ⊂平面BDF ，所以DF ∥平面ACE . 11．设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解析 (1)分两种情况讨论．①当q ＝1时，数列{a n }是首项为a 1的常数列，所以S n ＝a 1＋a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1. ②当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ⇒qS n ＝qa 1＋qa 2＋…＋qa n －1＋qa n .将上面两式相减得(1－q )S n ＝a 1＋(a 2－qa 1)＋(a 3－qa 2)＋…＋(a n －qa n －1)－qa n ＝a 1－qa n ⇒S n ＝a 1－qa n 1－q ＝a 11－q n1－q.综上，S n ＝a 1－qa n 1－q ＝a 11－qn1－q，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明：设{a n }是公比q ≠1的等比数列，假设数列{a n ＋1}是等比数列，则 (a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，即(a 1q ＋1)2＝(a 1＋1)(a 1q 2＋1)，整理得a 1(q －1)2＝0得a 1＝0或q ＝1均与题设矛盾，故数列{a n ＋1}不是等比数列．12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：x ＝1a是函数f (x )的一个零点；(2)试比较1a与c 的大小．解析 (1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根．又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，x ＝1a是f (x )＝0的一个根．即x ＝1a是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，∵1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝0矛盾，∴1a≥c .又∵1a≠c ，∴1a>c .。
