高三二轮复习(理数) 第1讲 坐标系与参数方程(作业)(Word版,含答案)
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第1讲 坐标系与参数方程
1.(2017合肥第一次教学质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sin θ-ρcos2θ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.
2.(2017成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sin θ=0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)已知点P(1,0).若点M的极坐标为,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值.
3.(2017郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心为,半径为1的圆.
(1)求曲线C1的普通方程,C2的直角坐标方程;
(2)设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点,求|MN|的取值范围.
4.(2017课标全国Ⅲ,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
答案精解精析
1.解析 (1)∵sin θ-ρcos2θ=0,
∴ρsin θ-ρ2cos2θ=0,
即y-x2=0.
(2)将代入y-x2=0,得+t-=0,即t=0,
从而,交点坐标为(1,),
∴交点的一个极坐标为.
2.解析 (1)∵直线l的参数方程为(t为参数),
∴直线l的普通方程为y=tan α·(x-1).
由ρcos2θ-4sin θ=0得ρ2cos2θ-4ρsin θ=0,即x2-4y=0.
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y.
(2)∵点M的极坐标为,∴点M的直角坐标为(0,1).
∴tan α=-1,直线l的倾斜角α=.
∴直线l的参数方程为(t为参数).
代入x2=4y,得t2-6t+2=0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.
∵Q为线段AB的中点,
∴点Q对应的参数值为==3.
又点P(1,0),则|PQ|==3. 3.解析 (1)消去参数φ可得C1的普通方程为+y2=1.
曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3),
∴C2的直角坐标方程为x2+(y-3)2=1.
(2)设M(2cos φ,sin φ),曲线C2的圆心为C2,则|MC2|==
=
=.
∵-1≤sin φ≤1,∴|MC2|min=2,|MC2|max=4.
根据题意可得|MN|min=2-1=1,|MN|max=4+1=5,
故|MN|的取值范围是[1,5].
4.解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
设P(x,y),由题设得
消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立
得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=,
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.
