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Ekokngn高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和

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Time will pierce the surface or youth, will be on the beauty of the ditch dug a

shallow groove ; Jane will eat rare!A born beauty, anything to escape his sickle

sweep

.-- Shakespeare

等比数列的前n项和·例题解析

【例1】 设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q．

解 由Sn=80，S2n=6560，故q≠1

aqqaqqnn()()11112=80=6560 q=81n①②③

∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an．

∴an=aqn-1=54

④

将③代入①化简得a=q－1 ⑤

③④化简得⑥3a=2q

由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3

【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．SS=S(SS)n22n2n2n3n

证 ∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋„＋a1qn-1

S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋„＋a1q2n-1)

=Sn＋qn(a1＋a1q＋„＋a1qn-1)

=Sn＋qnSn

=Sn(1＋qn)

类似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)

∴＋＋＋＋S+S=S[S(1q)]=S(22qq)n22n2n2nn2n2n2n

S(SS)=S[S(1q)S(1qq)]=S(22qq)SS=S(SS)n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋

说明 本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与Sn的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧．

【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．

分析 设等比数列为{an}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q．

解 设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1．

∴①②aqqaqqqnn1221221111()()=85=170

①②得：把代入①得∴q=2q=2=85 4=256 n=4n1414n

即公比为2，项数为8．

说明 运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．

【例4】 选择题：在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，有Sn=2n

－，则＋＋„＋等于1aaa1222n2

[

]

A (21)B(21)C21D(41)n2n2nn．－．－．－．－1313

解 D．

∵a1=S1=1，an=Sn－Sn-1=2n-1

∴an=2n-1

∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1

∴＋＋„＋＋＋„＋＋＋＋„＋bbb=aaa=1444=414112n1222222n1n1341()n

【例5】 设0＜V＜1，m为正整数，求证：

(2m＋1)Vm(1－V)＜1－V2m+1

分析 直接作，不好下手．变形：

(2m1)Vm＋＜1121VVm

右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有：

(2m＋1)Vm＜1＋V＋V2＋„＋V2m

发现左边有(2m＋1)个Vm，右边有(2m＋1)项，变形：Vm＋Vm＋„＋Vm＜1＋V＋V2＋„＋V2m．

显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较．鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较：

Vm＋Vm＜1＋V2m，Vm＋Vm＜V＋V2m-1，„，Vm＋Vm＜Vm-1＋Vm+1，Vm=Vm．

即2Vm＜1＋V2m，2Vm＜V＋V2m-1，„．

根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”，这些式子显然成立．

(具体证法从略)．

说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”：

要证·＜＞，改证＜；见到，去逆向运用·，化成＋＋＋„＋；要证＋＜＋，先证＜ABC(B0)AS=a1VVVABCDn122mCBVVaqqAmn11121

C，B＜D，等等．善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力，平时应注意训练．

【例6】 数列{an}是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n．

解法一 利用等比数列的前n项和公式

若q=1，则Sn=na1，即na1=48，2na1=96≠60，所以q≠1

∵S=a(1q)1n1nq

S=a(1)a(1)(1+)1q2n11qqqqSqnnnnn211()

∴q=14S=a(1q)1qn3n13naqqqqnnn12111()()

=Sn(1＋qn＋q2n)

∴S=48(1+116)=633n14

解法二 利用等比数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列

∴ (60－48)2=48·(S3n－60)

∴ S3n=63．

解法三 取特殊值法

取n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1＋a2=60

∴ a2=12

∵ {an}为等比数列

∴ q=aa a=321314

S3n=S3=a1＋a2＋a3=63

【例7】 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an＋2(n∈N*)，a1=1

(1)设bn=an+1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；

(2)c=a2(nN*){c}nnnn设∈，求证：数列是等差数列．

解 (1)∵ Sn+1=4an＋2

Sn+2=4an+1＋2

两式相减，得

Sn+2－Sn+1=4an+1=4an(n∈N*)

即：an+2=4an+1－4an

变形，得an+2－2an+1=2(an+1－2an)

∵ bn=an+1－2an(n∈N*)

∴ bn+1=2bn

由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．

由S2=a1＋a2=4a1＋2，a1=1

可得a2=5，b1=a2－2a1=3

∴ bn=3·2n-1

(2) c=a2(nN*)c=b2nnnn+1nn+1∵∈∴caaaannnnnnnn11112222

将bn=3·2n-1代入，得

cc=34(nN*)n+1n－∈

由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c}d=34c=a2c=(n1)C=34n11nn12123414n

说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化

为等差数列或等比数列来解决

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高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和

高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和

【例1】 设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q．

解 由Sn=80，S2n=6560，故q≠1

aqqaqqnn()()11112=80=6560 q=81n①②③

∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an．

∴an=aqn-1=54

④

将③代入①化简得a=q－1

⑤

③④化简得⑥3a=2q

由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3

【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．SS=S(SS)n22n2n2n3n

证 ∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1

S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)

=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)

=Sn＋qnSn

=Sn(1＋qn)

类似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)

∴＋＋＋＋S+S=S[S(1q)]=S(22qq)n22n2n2nn2n2n2n

S(SS)=S[S(1q)S(1qq)]=S(22qq)SS=S(SS)n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋

说明 本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与Sn的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧．

【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．

分析 设等比数列为{an}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q．

解 设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1．

∴①②aqqaqqqnn1221221111()()=85=170

高一等比数列及其前n项和知识点+例题+练习 含答案

高一等比数列及其前n项和知识点+例题+练习 含答案

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.

3．等比中项

若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( × )

(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × )

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )

(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.( × )

(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × )

1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.

高中数学等比数列的前n项和-知识点剖析

高中数学等比数列的前n项和-知识点剖析

等比数列的前n项和-知识点剖析

1．推导等比数列的前n项和公式

方法一：设等比数列a1，a2，a3，…，an，它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an.

依等比数列通项公式有Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①

①式两边同乘以q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn. ②

①－②，得（1-q）Sn=a1-a1qn，由此得q≠1时，Sn=qqan1)1(1.

∵an=a1qn-1，∴上式可化为Sn=qqaan11.

当q=1时，Sn=na1.

方法二：由等比数列定义知12aa=23aa=34aa=…=1nnaa=q.

当q≠1时，1321432nnaaaaaaaa=q，即nnnaSaS1=q.

故Sn=qqaan11=qqan1)1(1.

当q=1时，Sn=na1.

方法三：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q（a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）.

∴当q≠1时，Sn=qqaan11 =qqan1)1(1.

当q=1时，Sn=na1.

2．注意问题

（1）上述证法中，方法一为错位相减法，方法二为合比定理法，方法三为拆项法.各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会.

（2）公比为1与不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论.

（3）当已知首项a1，公比q，项数n时，用公式Sn=qqan1)1(1，当已知a1，an，n时，用公式Sn=qqaan11.

（4）在解决等比数列问题时，如已知a1，an，Sn，n，q中任意三个，可由通项公式或前n项和公式求解其余两个.

3．等比数列的前n项和的一般形式

一般地，如果a1，q确定，那么Sn=qqan1)1(1=qa11+qa11qn，设A=qa11，则上式可以写成Sn=A-Aqn（q≠1）.

高中数学选择性必修二 4 3 2 2等比数列前n项和公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

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4.3.2.2等比数列的前n项和公式

要点

等比数列前n项和公式与函数的关系

等比数列前n项和公式Sn＝a11－qn1－q，

变形为：Sn＝11aq qn－11aq.

【重点总结】

Sn是关于n的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数；求解时，常设Sn ＝Aqn －A(A≠0)，用待定系数法．

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．( )

(2)数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列．( )

(3)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( )

(4)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( )

【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√

2．若等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋a，则a等于( )

A．－4 B．－2

C．0 D．－1

【答案】D

【解析】∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，

a3＝S3－S2＝18.

由a1·a3＝a22得(3＋a)·18＝62

∴a＝－1.故选D.

3．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则ax＋cy＝( )

A．1 B．2

C.18 D.1316

【答案】B

【解析】(特值法)：设a，b，c分别为2,4,8.

则x＝a＋b2＝3，y＝b＋c2＝6∴ax＋cy＝23＋86＝2.故选B.

4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．

【答案】192

【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝12，n＝7，由a11－1271－12＝381，解得a1＝192.