等比数列经典例题

二、等比数列1.等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n nn a aa a +-=(2)n ≥。

例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2.等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

3.等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-11n a a qq -=-。

例2．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

（1）设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q .（2）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；（3）)(1010∑∑==n nk k nC的值为__________；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

4.等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

等比数列1、已知数列{b n }满足b n ＋1＝12b n ＋14，且b 1＝72。

求证：数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{b n }的通项公式；2、已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n S S n n *+=++∈N ，证明数列{1}n a +是等比数列；3、已知数列{a n }中，a 1＝1，n a ＝121n n a n --＋n *(2,)n n N ≥∈，且n b ＝n a n＋λ为等比数列， (1)求实数λ及{a n }、{b n }的通项公式;4、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．5、已知数列{a n }中，112,2n n a a a n +==++，求{a n }的通项公式6、已知数列{a n }中，111,2n n n a a a +==，求{a n }的通项公式7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n a =（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n8、等比数列{}n a 中，696,9a a ==，则3a =9、等比数列{}n a 中，已知1912,,833n a a q ===，则n 的值为10、已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）A ．64B ．81C ．128D ．24311、设等比数列{}n a 中.已知26,a =13630,a a +=求n a .12、已知{n a }是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+,34534511164()a a a a a a ++=++ (I)求{n a }的通项公式; (II)设21()n n n b a a =+,求数列{n b }的前n 项和n T .13、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．14、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .15、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =( )(A)。

等比数列的性质总结及经典例题1. 等比数列的前n 项和n S 公式：1 (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 2. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q…（公比为q ，中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a qq A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

等比数列性质练习题
在学习等比数列的性质时，我们需要通过一些具体的练习题来巩固和应用所学知识。

下面是一些等比数列性质练习题，帮助大家更好地理解和掌握等比数列的特点和性质。

练习题1：
已知等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。

求证等比数列的前n项和的通项公式为：
Sn = (a * (q^n - 1)) / (q - 1)
练习题2：
已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求证等比数列的第n项为：an = 3 * (0.5)^(n-1)
练习题3：
已知等比数列的首项为2，公比为1/3，前n项和为10。

求证等比数列的第n项为：
an = 2 * (1/3)^(n-1)
练习题4：
已知等比数列的首项为2，公比为3，第n项为162。

求证等比数列的前n项和为：
Sn = (2 * (3^n - 1)) / 2
练习题5：
已知等比数列的首项为10，公比为2，前n项和大于1000。

求证等比数列的第n项为：
an = 10 * (2^n - 1)
练习题6：
已知等比数列的前三项为2，6，18，求证等比数列的第n项为：an = 2 * (3^(n-1))
以上是一些关于等比数列性质的练习题，通过这些题目的解答和证明，可以更加全面地了解等比数列的性质和规律。

在解答过程中，注意使用等比数列的定义和性质，合理运用相关公式和推导方法。

通过大量的练习，相信大家能够熟练掌握等比数列的特点和运算，提高解题能力。

高二数学等比数列典型例题【例1】 已知S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，S n = P n (p € R , n € N*)，那么数列｛a n ｝.[] A •是等比数列 B .当p z 0时是等比数列 C .当p z 0, p 丰1时是等比数列 D .不是等比数列分析 由S n = p n (n € N*)，有ai=Si = p ，并且当n 》2时, a n =S n _ S n-1 = p n - p n-1 = (p - 1)P n-1p z 0故a 2 = (p — 1)p ，因此数列｛a n ｝成等比数列p - 1Z 0(p 1)p n1 p(p 1)(p n 22)p p但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选D .解 1, x 〔, X 2, , X 2n ， 2成等比数列，公比 q2 = 1 • q 2n+12n( 1+2 n)n(2 n 1)q1【例3】等比数列｛a n ｝中，⑴已知a 2=4，a 5 一 2，求通项公式；(2)已知 a 3 • a 4 • a 5= 8，求 *2*3*4*506 的值.解(1)a 5 = a 2q 5 2.q =— 12・ n 21n 21、n 4…a n = a ?q = 4(-2)=( 2)23c⑵••• a 3 • a 5 = a 4 a 3 a 4 • a 5 =a 4 = 8--a 4 = 2又 3236 — 8335 — a 4【例4】 已知a >0, b >0且a z b ,在a , b 之间插入n 个正数，x?,…，x n ,使得a , ，x?,…,【例2】 已知等比数列 1, x 1 , X 2,…，x 2n , 2,求 X 1 • X 2 • X 3X 1X 2X3 …x 2 n = qq 2 • q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)--a 2a 3a 4a 5a 6 =a 4 = 32x n , b 成等比数列，求证 nX 1X 2 (x)n <a b 2 .证明设这n + 2个数所成数列的公比为q ,则 b=aq n+1n 1b•-q—an 1•-n X 1X 2 …X nnaqaq 2…aq n aq 2— a b•、ab < -2【例5】设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b — e)2 + (e — a)2 + (d — b)2 = (a —d)2证法一 • •' a 、b 、c 、d 成等比数列a b c bed••• b 2= ae , e 2 = bd , ad = be左边=b 2 — 2bc + e 2 + C 2 — 2ac + a 2 + d 2— 2bd + b 2 =2(b 2— ae) + 2(e 2 — bd) + (a 2 — 2bc + d 2) =a 2 — 2ad + d 2 =(a — d)2 =右边 证毕.证法二 ■/ a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为 q ,则:b = aq ， e = aq 2， d=aq 3•左边=(aq — aq 2)2 + (aq 2— a)2 + (aq 3 — aq)2 =a 2 — 2a 2q 3 + a 2q 6 =(a — aq 3)2 =(a—d)2=右边证毕.【例6】 求数列的通项公式： (1) {a n}中，ai = 2, a n+1= 3a n + 2(2) {a n}中，ai=2, a? = 5,且 a n+2 — 3a n+1 + 2a n = 0 思路：转化为等比数列.解⑴a n+1 = 3a n + 2 a n+1 + 1 = 3(a n + 1)••• {a n + 1}是等比数列 ••• a n + 仁3 • 3n-1a n =3n - 1•-{a n+1 — a n }是等比数列，即 a n+1—an =(a 2 — a 1) • 2n-1=3 • 2n-1再注意到a?— a 〔=3, a3 — *2=3 • 21, a@ — 83=3 • 22，…，玄门—玄门_1=3 • 2n-2，这些等式相加，即可以 得到n 1丄2n-22 1n 1a n = 3[1 + 2 + 2 +…+ 2]= 3 • 2 1 = 3(2— 1)【例7】 若实数a 1> a 2、a 3、a 4都不为零，且满足(a f + a ；)a ； — 2a 2⑻+ a 3)a 4 + a ； + a ： = 0求证：a 1、a ?、a 3成等比数列，且公比为a °.证 T a 〔、a2、83、84均为不为零的实数•- (a f + a ；)x 2 — 2& (a 1 +a 3)x +a ； + a f = 0为实系数一兀—次方程 等式(a l +a 2 )a 4 —2a 2 (a 1+a 3)a 4 + a 2 + a ： = 0说明上述方程有实数根a 4.•上述方程的判别式0，即2 2 2 2 2[—2a 2(a 1 +a 3)] — 4(a 1 + a 2)(a 2 + a 3)=—4(a ； — ae s )2》0 • (a ； - a^)2 < 0又• • • a 〔、 a2、a3为实数•(a ； — a£3)2 > 0必有 a 2 — a 1a 3 = 0 即 a 2 = a 1a 3因而a 〔、a2、a3成等比数列• a4即为等比数列a 「a2、ag 的公比.【例8】 若a 、b 、c 成等差数列，且 a + 1、b 、c 与a 、b 、c + 2都成等比数列，求 b 的值.解 设a 、b 、c 分别为b — d 、b 、b + d ,由已知b — d +1、b 、b + d 与b — d 、b 、b + d + 2都成等比数 列，有b 2 = (b — d + 1)(b + d) ① b 2 = (b — d)(b + d + 2)②整理，得(2)a n +2 - 3a n +! + 2a n = 0an+2 an+1=2(a n+1— an)2a 2 (a 1 a 3) 2(a f a ；)a 2 (a 1 a 3) a 2a 〔 a 1 a 3 ab 2 = b 2 — d 2 + b + d b 2 = b 2 — d 2 + 2b — 2d••• b + d=2b — 2d 即 b=3d 代入①，得 9d 2=(3d — d + 1)(3d + d) 9d 2=(2d + 1) • 4d 解之，得d=4或d=0(舍) • b=12【例9】 已知等差数列｛a n ｝的公差和等比数列｛b n ｝的公比都是d ，又知1,且a 4=b 4, a 10=b 10: (1)求a 1与d 的值; (2)bi6是不是｛an ｝中的项?思路：运用通项公式列方程a i (1— d 3) = — 3d a 1(1— d 9)= — 9d d 6 + d 3— 2 = 0 d i 1(舍)或d 2 32•a id 3 2 d 3 2(2) •/ b 16=b 1 • d 15= — 32b 1且 a 4=a + 3d = 23.2 = b 4 b 4 = b 1 • d 3 = — 2b 1 = — 23 2 • b 1 = a 1 = 3 2•-b 16= — 32b 1 = — 32a 1，如果 b 16 是｛a n ｝中的第 k 项，则 —32a 〔=a 〔+(k — 1)d --(k — 1)d= — 33a 〔=33d • k=34即b 16是｛a n ｝中的第34项.1 21【例10】 设｛a n ｝是等差数列，b n = (―)an ，已知b 1 + b 2 + b 3 = § , 1b 1b 2b 3 = 2，求等差数列的通项.8解 设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则a n =a 1 + (n — 1)d解⑴由a 4 =b 4a iob io3 a 1 + 3d = a 1d9a 1 + 9d = a 1d11 1由b 1b 2 b 3 =，解得b 2 =，解得b 288解这个方程组，得1 、 1bi =2，b3 = 8或bi =8，b3 = 2二 a 〔 = — i , d=2 或 ai=3, d= — 2•••当 a 〔=——i , d=2 时，a n =ai + (n — i)d=2n — 3当 a i =3, d=2 时，an=ai + (n — i)d =5 — 2n 【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加 成等比数列，求这三个数.解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a ,aq , aq 2由已知：a , aq + 4, aq 2成等差数列 即：2(aq + 4)=a + aq 2a , aq + 4, aq 2 + 32成等比数列 即：(aq + 4)2=a(aq 2 + 32)aq + 2 = 4a①，②两式联立解得：•这三数为：2, 6, 18或 - ,10, 50. 99 9由已知：三个数成等比数列 即：(b — 4)2=(b — d)(b + d)飞=(2)a i(n 1)db i b 3 = (》ai,1、a i +2d (2) =(1)2(a i +d) =(2)2a =2亠 a ■c 或 '9 q =3q =—5解法二按等差数列设三个数，设原数列为 b — d , b — 4, b +d1―,代入已知条件 21b i b 2b 3 = 8 b i b 3b i b 2b 3整理得 21 8 17b 1 + b 3 =-1 8 4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又18b—d2 = 16b—d, b, b+ d + 32成等比数列解法 设前三个数为a — d , a , a + d ,则第四个数为(a d)2 a(a d)依题意，有 a — d +a =16a + (a + d) =12a 〔= 4a 2 = 9解方程组得:一或d 1 = 4d 2 =— 6所求四个数为：0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1依题意有:22b — bq + bq 2 = 16 b + bq = 12b 1 = 4b 2 =9 解万程组得：或1 q 1 =2 q 2 =3所求四个数为：0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1 .解法三 设四个数依次为 x , y , 12 — y , 16 — xx + (12 — y) = 2y y • (16 — x) = (12 — y)即 b 2=(b — d)(b + d + 32)32b — d 2 — 32d = 0【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a — d , a , a + d ,则第四个数由已知条方法二 设后三个数为b , bq , bq 2，则第一个数由已知条件推得为 2b — bq .方法三 设第一个数与第二个数分别为x , y ,则第三、第四个数依次为12 — y , 16 — x .由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，①、②两式联立，解得:26b9 或 b =108 d = 8 d =2 •••三数为9, 10 9， 50 或 2, 6 , 18• 9 件可推得:(a d)2 a解法二 设后三个数为：b , bq , bq 2，则第一个数为：2b — bq依题意有2解方程组得：x^i = 0x 2 = 15 或y 1 = 4y 2 = 9这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.【例13】 已知三个数成等差数列，其和为 126;另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85，76，84.求这两个数列.解 设成等差数列的三个数为 b — d , b , b + d ,由已知，b — d + b + b + d=126••• b=42这三个数可写成 42 — d , 42, 42 + d . 再设另三个数为a , aq, aq 2.由题设，得a + 42 — d = 85 ap + 42 = 762aq + 42 + d = 84a — d = 43① 整理，得 aq = 34② 2aq + d = 42③解这个方程组，得a 〔=17 或玄2=68当 a=17 时，q=2, d= — 261当a= 68时，q 二，d = 252从而得到：成等比数列的三个数为三个数为68, 34, 17,此时成等差的三个数为17, 42, 67.数成等差数列，证明：a 〔、a3、a5成等比数列.证明由已知，有 2a2=a 〔 + a 3217, 34, 68，此时成等差的三个数为68, 42, 16;或者成等比的【例14】 已知在数列｛a n ｝中,a 「a 2> a 3成等差数列,a2、电、成等比数列，玄3、玄厶、的倒a 4 1= 322 1a4 a3 a5由③,2a3 •a5a4 =a3 + a5由①,a1 + a3a?= 2代入②，得整理,2a3a1 + a3 2a3 • a52 a3 a5a3a5（a1+a2）a3 + a5即a3(a 3＋a5)=a 5(a 1＋a3)= a 1a 5＋a 3a 5所以 a 1、 a 3、a 5 成等比数列．【例15】 已知 （b － c ）logm x ＋ （c － a ）log m y ＋ （a － b ）log m z=0 ．（1）设 a ，b ，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证： x ， y ，（2）设正数 x ， y ，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证： a ， 证明 （1）T a , b , c 成等差数列，且公差 d 丰0 ••• b — c=a — b=— d , c — a=2d代入已知条件，得：－d （logm x －2log m y ＋ log m z ）=0•logm x ＋log m z=2log m y2• y 2=xz••• x , y , z 均为正数 • x ， y ， z 成等比数列⑵■/ x , y , z 成等比数列且公比 q z 1 • y=xq ， z=xq 2 代入已知条件得：(b — c)log m x ＋(c — a)log m xq ＋(a — b)log m xq 2=0 变形、整理得： (c ＋a — 2b)log m q=0 •••q z 1•log m q z 0• c ＋ a — 2b=0 即 2b=a ＋c即 a , b , c 成等差数列z 成等比数列． b , c 成等差数列． a 3 ＋a 3a 5。

高中数学等比数列10例一．选择题（共10小题）1．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=（）A．8 B．6 C．4 D．22．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 3．已知正项等比数列{a n}满足a3=1，a5=，则a1的值为（）A．4 B．2 C．D．4．在等差数列{a n}中，已知a4，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．205．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里6．设{a n}是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2 B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0C．若a2＞a1，则a3＞a2 D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a27．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣18．等比数列{a n}的前n项和为，则r的值为（）A．B．C．D．9．已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或10．已知等比数列{a n}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{a n}前8项的和S n=（）A．510 B．126 C．256 D．512高中数学等比数列10例参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12=（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=1，S8=3，由等比数列的性质得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，∴1，3﹣1=2，S12﹣S8=a9+a10+a11+a12成等比数列，∴a9+a10+a11+a12=4．故选：C．2．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．3．已知正项等比数列{a n}满足a3=1，a5=，则a1的值为（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a3=1，a5=，∴，解得，∴a1的值为2．故选：B．4．在等差数列{a n}中，已知a4，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．20【解答】解：a4，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，由韦达定理可知：a4+a7=4，，故选：D．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n}，且公比为，∵6天后共走了378里，∴S6=，解得a1=192，∴第三天走了a3=a1×=192×=48，故选：B．6．设{a n}是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2 B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0C．若a2＞a1，则a3＞a2 D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2【解答】解：A．由等比数列的性质可得：=a1•a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确．B．a1+a3＞0，则a2+a4=q（a1+a3），其正负由q确定，因此不正确；C．若a2＞a1，则a1（q﹣1）＞0，于是a3﹣a2=a1q（q﹣1），其正负由q确定，因此不正确；D．若a2＞a1＞0，则a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，∴1+q2＞2q，则a1（1+q2）＞2a1q，即a1+a3＞2a2，因此正确．故选：D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，∴两式相除可得公比q=，∴a1=2，∴a n==，S n==4（1﹣），∴=2n﹣1，故选：D．8．等比数列{a n}的前n项和为，则r的值为（）【解答】解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=32n﹣1+r﹣32n﹣3﹣r=8•32n﹣3，当n=1时，a1=S1=32﹣1+r=3+r，∵数列是等比数列，∴当a1满足a n=8•32n﹣3，即8•32﹣3=3+r=，即r=﹣，故选：B．9．已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2﹣q3﹣1=0，解得q3=，故选：A．10．已知等比数列{a n}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{a n}前8项的和S n=（）【解答】解：由a1+a2=6，a4+a5=48得得a1=2，q=2，则数列{a n}前8项的和S8==510，故选：A．。

1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 2n －1解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 (n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2. 引申探究例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. (2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1，则可得S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－12.思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12 B.22C. 2D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 (1)C (2)C解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝2，故选C.(2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×(－2)21－(－2)2＝255，解得a 1＝3，故选C.12．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n(2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． ③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧] 1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n }也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列．[失误与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列性质中：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，不能忽略条件q ≠－1.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 C解析 因为a 2＋a 3，a 4＋a 5，a 6＋a 7成等比数列，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，所以(a 4＋a 5)2＝(a 2＋a 3)(a 6＋a 7)，解得a 6＋a 7＝4.2．等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)2答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n .方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二 取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( ) A ．2 015·1010 B ．2 015·1011 C ．2 016·1010 D ．2 016·1011答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 答案 3解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ， 则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， 则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，。