2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2学案：1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用 Wor
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1．7 定积分的简单应用
1．7.1 定积分在几何中的应用
1．7.2 定积分在物理中的应用
1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功．
2．将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解．
1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：
f(x)的符号 平面图形的面积与定积分的关系
f(x)≥0 S＝abf(x)dx
续 表
f(x)的符号 平面图形的面积与定积分的关系
f(x)<0 S＝－abf(x)dx
(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)>g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝ab[f(x)－g(x)]dx．
2．定积分在物理中的应用
(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝bav(t)dt．
(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功，W等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝baF(x)dx．
1．由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形的面积 (1)如图①所示，f(x)>0，abf(x)dx>0，所以所求面积S＝abf(x)dx.
(2)如图②所示，f(x)<0，abf(x)dx<0，所以所求面积S＝－abf(x)dx.
(3)如图③所示，当a≤x≤c时，f(x)≥0，acf(x)dx≥0；当c≤x≤b时，f(x)≤0，cbf(x)dx≤0.
所以所求面积S＝acf(x)dx＋|cbf(x)dx|
＝acf(x)dx－cbf(x)dx.
2．由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围图形的面积
(1)如图④所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积S＝ab[f(x)－g(x)]dx.
(2)如图⑤所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积S＝abf(x)dx＋|abg(x)dx|＝ab[f(x)－g(x)]dx.
(3)如图⑥所示，所求面积S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx＝ab|f(x)－g(x)|dx.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当f(x)＜0时，f(x)与x＝a，x＝b(a
(2)在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( )
(3)在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围图形的面积为( )
A. 154 B. 174
C. 12ln 2 D．2ln 2 答案：D
已知一质点做自由落体运动，其速度v＝gt，则质点从t＝0到t＝2所经过的路程为( )
A．g B．2g
C．3g D．4g
答案：B
一物体在F(x)＝5x＋3(单位：N)的作用下，沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝5(单位：m)处，则F(x)做的功等于________J.
答案：77.5
探究点1 不需分割型图形面积的求法
由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A.103 B．4
C.163 D．6
【解析】 作出曲线y＝x，直线y＝x－2的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由y＝x，y＝x－2可得x＝4，所以由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为04(x－x＋2)dx＝23x32－12x2＋2x|40＝163.
【答案】 C
图形面积不需分割求解的解题技巧
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分问题了．
[注意] 注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积总是非负的．
求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．
解：画出图形如图中阴影部分所示，由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2，故阴影部分的面积S＝02[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝02(6x－3x2)dx＝(3x2－x3)|20＝4.
探究点2 需分割型图形面积的求法
求由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3，x轴，y轴所围成的平面图形的面积．
【解】 作出曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积，由x＋y＝3，y＝x2＋1得第一象限中交点的横坐标为1，
故所求面积S＝S1＋S2＝01(x2＋1)dx＋13(3－x)dx＝13x3＋x|10＋3x－12x2|31＝103.
图形面积需分割求解的解题技巧
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”．
求由曲线y＝1x及直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积．
解：作出曲线y＝1x(在第一象限)，直线y＝x，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
由y＝1x，y＝3得x＝13，y＝3，故A13，3；
由y＝1xy＝x，得x＝1y＝1，或x＝－1y＝－1(舍去)，故B(1，1)； 由y＝xy＝3，得x＝3y＝3，故C(3，3)．
故所求面积S＝S1＋S2＝1313－1xdx＋13(3－x)dx＝(3x－ln x) 113＋3x－12x2|31＝4－ln 3.
探究点3 利用定积分求变速直线运动的路程、位移
一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：
(1)在t＝4 s时的位置；
(2)在t＝4 s时运动的路程．
【解】 (1)在t＝4 s时该点的位置为
04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t|40＝43(m)，
即在t＝4 s时该点距出发点43 m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0，1]及[3，4]上，v(t)≥0，
在区间[1，3]上，v(t)≤0，所以在t＝4 s时运动的路程为
s＝01(t2－4t＋3)dt＋|13(t2－4t＋3)dt|＋34(t2－4t＋3)dt＝01(t2－4t＋3)dt－13(t2－4t＋3)dt＋34(t2－4t＋3)dt＝4(m)．
求变速直线运动物体的路程(位移)的方法
(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)>0，则运动物体的路程为s＝abv(t)dt；若v(t)<0，则运动物体的路程为s＝ab|v(t)|dt＝－abv(t)dt.
(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．
(3)注意路程与位移的区别． 1.一质点运动的速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则它在t∈[1，2]内的位移为________．
解析：由定积分的意义知，质点在t∈[1，2]内的位移为
12(t2－t＋2)dt＝13t3－12t2＋2t|21＝176.
答案：176
2.一物体做变速直线运动，其v-t曲线如图所示，求该物体在12～6 s间的运动路程．
解：v(t)＝2t（0≤t≤1），2（1
126v(t)dt＝1212tdt＋132dt＋3613t＋1dt＝t2112＋2t|31＋16t2＋t|63＝494(m)．
探究点4 利用定积分求变力做功问题
一物体在变力F(x)＝36x2(N)作用下沿坐标平面内x轴正方向由x＝8(m)处运动到x＝18(m)处，求力F(x)所做的功．
【解】 如图，阴影部分的面积即F(x)所做的功．
因为W＝81836x2dx
＝－36x－1188
＝(－36×18－1)－(－36×8－1)
＝(－2)－－92＝52.
所以F(x)所做的功为52
J.
求变力做功的方法步骤 (1)首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．
(2)利用变力做功的公式W＝abF(x)dx计算．
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
1.一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )
A．8 J B．10 J
C．12 J D．14 J
解析：选D.由变力做功公式，得到W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)|31＝14(J)．故应选D.
2．设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx，
且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，
即0.05k＝100，所以k＝2 000.所以F(x)＝2 000x.
所以使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功为
W＝00.152 000xdx＝1 000x20.150＝22.5(J)．
1．如图所示，阴影部分的面积是(
)
A．23 B．2－23
C.323 D.353
解析：选C.S＝－31(3－x2－2x)dx
