当前位置：文档之家 › 排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解

  • 格式：doc
  • 大小：245.50 KB
  • 文档页数：7

1 排列组合专题复习及经典例题详解

1. 学习目标

掌握排列、组合问题的解题策略

2.重点

（1）特殊元素优先安排的策略：

（2）合理分类与准确分步的策略；

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；

（4）正难则反、等价转化的策略；

（5）相邻问题捆绑处理的策略；

（6）不相邻问题插空处理的策略．

3.难点

综合运用解题策略解决问题．

4.学习过程:

(1)知识梳理

1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法……在第n类型办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN...21种不同的方法．

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法……，做第n步有nm种不同的方法；那么完成这件事共有nmmmN...21种不同的方法．

特别提醒：

分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；

分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．

3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，nm时叫做选排列，nm时叫做全排列.

4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnP表示.

5．排列数公式：）、（NmnnmmnnmnnnnPmn,)!(!)1)...(2)(1(

排列数具有的性质：11mnmnmnmPPP

特别提醒：

规定0!=1

2 6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.

7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号mnC表示.

8．组合数公式：)!(!!!)1)...(2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn

组合数的两个性质：①mnnmnCC ；②11mnmnmnCCC

特别提醒：排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

(2)典型例题

考点一:排列问题

例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲不站两端；

（2）甲、乙必须相邻；

（3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间间隔两人；

（5）甲、乙站在两端；

（6）甲不站左端，乙不站右端.

【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：)(4805514种PP

方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P种站法，然后中间4人有44P种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：（种）4804425PP

方法三：若对甲没有限制条件共有66P种站法，甲在两端共有552P种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：)(48025566种PP

（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P种站法，根据分步乘法计数原理，共有)(2402255种PP方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P种方法，最后让甲、乙全排列，有22P种方法，共有)(240221544种PPP

3 （3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P种站法，故共有站法为（种）4802544PP

此外，也可用“间接法”，6个人全排列有66P种站法，由（2）知甲、乙相邻有2402255PP种站法，所以不相邻的站法有)(480240720225566种PPP.

（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P种，故共有（种））（14432244PP站法.

方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P种方法，故共有（种）144223324PPP站法.

（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22P种，再让其他4人在中间位置作全排列，有44P种，根据分步乘法计数原理，共有（种）484422PP站法.

方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有22P种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有44P种站法，由分步乘法计数原理共有（种）484422PP站法.

（6）方法一：甲在左端的站法有55P种，乙在右端的站法有55P种，甲在左端而且乙在右端的站法有44P种，故甲不站左端、乙不站右端共有66P-255P+44P=504（种）站法.

方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有441414PPP种，故共有55P+441414PPP=504（种）站法.

考点二:组合问题

例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

【解析】：（1）选法为（种）1202436CC.

4 （2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614CCCCCCCC.

方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.

从10人中任选5人有510C种选法，其中全是男运动员的选法有56C种.

所以“至少有1名女运动员”的选法（种）24656510CC.

（3）方法一：可分类求解：

“只有男队长”的选法为48C；“只有女队长”的选法为48C；“男、女队长都入选”的选法为38C；所以共有248C+38C=196（种）选法.

方法二：间接法：从10人中任选5人有510C种选法.其中不选队长的方法有58C种.

所以“至少1名队长”的选法为510C-58C=196种.

（4）当有女队长时，其他人任意选，共有49C种选法；

不选女队长时，必选男队长，共有48C种选法，而且其中不含女运动员的选法有45C种，所以不选女队长时的选法共有4548CC种选法.

所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849CCC种.

考点三:综合问题

例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有种14422132414PCCC；

（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.

（3）确定2个空盒有24C种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类：

第一类有序不均匀分组有8221134PCC种方法；

5 第二类有序均匀分组有622222224PPCC种方法.

故共有842222222422113424）（PPCCPCCC种.

当堂测试

1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）

A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种

【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有7024151425CCCC种．

解题策略：合理分类与准确分步的策略．

2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）

A.48 种 B.12种 C.18种 D.36种

【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有24331212PCC种选法．（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有222P种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有633P种方法．故共有363322331212PPPCC种选法．

解题策略：①.特殊元素优先安排的策略．

②.合理分类与准确分步的策略．

③.排列、组合混合问题先选后排的策略．

3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）

A.48 B.12 C.180 D.162

【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有12C种方法，②.从3个奇数中选两个，有23C种方法；③.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有13C种方法；④.其他的3个数字进行全排列，有33P种排法，根据乘法原理共有10833132312PCCC种方法．（2）不含0，分步：①偶数必然是2和4 ；②奇数有23C种不同的选法，③然后把4个元素全排列，共44P种排法，不含0 的排法有724423PC种．根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个

4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

合集下载

排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

解析：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种，答案：D.

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种，选B.

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

`

例3.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法有（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种，选B.

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.

高中数学排列组合典型题大全含答案

高中数学排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全

一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用

住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34（3）34

【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，

第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.

【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、38C

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠

军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？

2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？

（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？

4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？

5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？

6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共

(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种

7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？

排列组合知识总结+经典题型

排列组合知识总结+经典题型

第 1 页 共 9 页 排列组合知识总结+经典题型

(1)知识梳理 1．分类计数原理〔加法原理〕：完成一件事，有几类方法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有

2．分步计数原理〔乘法原理〕：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进展正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 第 2 页 共 9 页 4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同

〔1〕规定0! = 1

〔2〕含有可重元素的排列问题.对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =

特别提醒：排列与组合的联络与区别.

联络：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

(2)典型例题

考点一:排列问题

例1.六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

〔1〕甲不站两端；

〔2〕甲、乙必须相邻；

〔3〕甲、乙不相邻；

〔4〕甲、乙之间间隔两人；

〔5〕甲、乙站在两端；

〔6〕甲不站左端，乙不站右端. 第 3 页 共 9 页 考点二:组合问题

例2. 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在以下情形中各有多少种选派方法？

排列组合的21种例题

排列组合的21种例题

高考数学复习 解排列组合题的21种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

2.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 4.解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B. 3.解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种，选B. 2.解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种，选B. 1.解析：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种，答案：D.