数列通项公式与递推公式

1 / 3

怎样由递推关系式求通项公式

一、基本型：

（1）an=pan-1+q（其中pq≠0 ，p ≠1，p、q为常数）型:

——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.

利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x，即a1n+ x = pan+ q + x a1n+ x = p(an+

pxq)， 令x =pxq ∴x =1pq 时，有a1n+ x = p(an+ x )，从而转化为等比数列 {an+

1pq} 求解．

例1. 已知数列na中, 11a,121(2)nnaan,求na的通项公式. -1

练1．已知数列{an}中，a1=1，an= 21a1n+ 1，n N，求通项an．an= 2 －2n1 ，n∈N

练2.已知数列na中, 11a,121(2)nnaan,求na的通项公式. 21nna

二、可化为基本型的数列通项求法：

（一）指数型：an=can-1+f(n)型

1、a1=2,an=4an-1+2n(n≥2),求an.

2、a1=-1,an=2an-1+4〃3n-1(n≥2),求an.

3、已知数列na中，1a=92，113232nnnaa （n≥2），求na.∴ na=13)21(2nn

（二）指数（倒数）型

1、a1=1,2an-3an-1=(n≥2),求an.

2、a1=,an+1=an+()n+1,求an.

（三）可取倒数型：将递推数列1nnncaaad(0,0)cd,

1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{an}的首项135a，1321nnnaaa，12n，，．

（Ⅰ）求{an}的通项公式； 332nnna

2、已知数列na*()nN中, 11a,121nnnaaa,求数列na的通项公式. 2 / 3

高考数学复习考点题型专题讲解

专题10 数列的递推关系与通项

1.求数列的通项公式是高考的重点内容，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，

但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求

解.

2.利用数列的递推关系求数列的通项，常见的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)构

造法(包括辅助数列法，取倒数法，取对数法等).

类型一 利用a

n与S

n的关系求通项

1.已知S

n求a

n的步骤

(1)先利用a

1＝S

1求出a

1.

(2)用n

－1替换S

n中的n

得到一个新的关系，利用a

n＝S

n－S

n－1(n

≥2)便可求出当n

≥2

时a

n的表达式.

(3)对n

＝1时的结果进行检验，看是否符合n

≥2时a

n的表达式，若符合，则数列的通

项公式合写；若不符合，则应该分n

＝1与n

≥2两段来写.

2.S

n与a

n关系问题的求解思路

(1)利用a

n＝S

n－S

n－1(n

≥2)转化为只含S

n，S

n－1的关系式，再求解.

(2)利用S

n－S

n－1＝a

n(n

≥2)转化为只含a

n，a

n－1的关系式，再求解. 例1 (1)已知数列{a

n}为正项数列，且4S

1

a

1＋

2＋4S

2

a

2＋

2＋…＋4S

n

a

n＋

2＝S

n，求数列{a

n}的通项

公式；

(2)已知数列{a

n}的各项均为正数，且S

n＝1

2





a

n＋1

a

n，求数列{a

n}的通项公式.

解 (1)由题知4S

1

a

1＋

2＋4S

2

a

2＋

2＋…＋4S

n

a

n＋

2＝S

n，①

则4S

1

a

1＋

2＋4S

2

a

2＋

2＋…＋4S

n－1

a

n－1＋

2＝S

n－1(n

≥2，n

∈N*

)，②

由①－②可得4S

n

a

n＋

2＝a

n，

即4S

n＝a2

n＋2a

n，n

≥2，n

∈N*

，

在已知等式中令n

＝1，

得4S

1

a

1＋

2＝S

1，

则4S

1＝a

1(a

1＋2)，③

满足上式，所以4S

n＝a2

n＋2a

n，④

则4S

n－1＝a2

n－1＋2a

n－1(n

≥2)，⑤

④－⑤可得4a

n＝a2

n＋2a

n－a2

n－1－2a

n－1⇔2(a

如何由递推公式求通项公式

高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要

求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从

特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为

熟悉的目的。

下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。

类型一：

1()

nnaafn或1

()n

na

gn

a

分析：利用迭加或迭乘方法。即：

112211()()+()

nnnnnaaaaaaaa……

或12

1

121nn

n

nnaaa

aa

aaa……

例1.(1) 已知数列na满足11

211

,

2nnaaa

nn，求数列na的通项公式。

（2）已知数列

na满足

1(1)

1,

2n

nna

as，求数列na的通项公式。

解：（1）由题知：

1

21111

(1)1nnaa

nnnnnn

112211()())

nnnnnaaaaa+(a-aa……

1111111

()()()

121122nnnn……

31

2n

（2）2(1)

nnsna

112(2)

nnsnan

两式相减得：

12(1)(2)

nnnananan

即：

1(2)

1n

nan

n

an

12

1

121nn

n

nnaaa

aa

aaa……

12

1

121nn

nn……

n

类型二：1(,(1)0)

nnapaqpqpqp其中为常数，

分析：把原递推公式转为：

1(),

1nnq

atpat

p其中t=，再利用换元法转化为等比

数列求解。

例2.已知数列na中，

11,123

nnaaa，求na的通项公式。

解：由123

nnaa可转化为：

132(3)

nnaa

令3,

nnba

11n+1n则b=a+3=4且b=2b

nb

1是以b=4为首项，公比为q=2的等比数列

11

422nn

bn

即1

23n

na

类型三：1()(

nnapafn其中p为常数)

分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()fx是多项式或指数幂的形式。

（1）()fx是多项式时转为1(1)()

nnaAnBpaAnB，再利用换元法转为等

比数列

（2）()fx是指数幂：1

数学

篇思路探寻

求递推数列的通项公式问题是一类难度系数较大的问题，侧重于考查同学们的运算和推理能力.求递推数列的通项公式问题中的递推式多种多样,解答这类问题的关键是合理整合递推式,将问题转化为简单的、易于求解的数列问题.本文主要分析三类递推数列通项公式的求法.一、an+1=qan-1+d型递推数列对于形如an+1=qan-1+d（q≠1,d≠0）的递推数列问题，我们一般采用待定系数法进行求解.在解题时，要先设出待定系数m，使an+1+m=q(an−1+m)，然后将其与原递推式中对应项的系数相比较，建立含有待定系数的方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值，就能构造出一个等比数列{}an+m，再根据等比数列的通项公式就可以求出数列{}an的通项公式.例1.在若数列{}an中，a1=1，an+1=12an+1()n∈N+，求an.解：令an+1+m=12()an+m，则m=-2，所以{}an-2是首项为-1，公比为12的等比数列，所以an-2=-æèöø12n-1，即an=-æèöø12n-1+2.该递推式属于an+1=qan-1+d型，因此我们需从an+1=12an+1入手，运用待定系数法进行求解.二、an+1=can+f()n型递推数列当遇到形如an+1=can+f()n（c≠0）型的数列递推式时，一般要先将递推式变形为an+1f()n=canf()n+1的形式，然后令anf()n=bn，得到bn+1=cqbn+1q，这样便将问题转化求an+1=qan−1+d型递推数列的通项公式.运用待定系数法构造出等比数列便可解答出来.例2.在数列{}an中，a1=1，an+1=3an+2n()n∈N+，求an.解：由an+1=3an+2n得2∙an+12n+1=3∙an2n+1，令bn=an2n，则bn+1=32bn+12.由待定系数法得bn+1+1=32(bn+12)，令cn=bn+1，则cn+1=32cn，所以{}cn是首项为c1=b1+1=32，公比为32的等比数列，所以cn=æèöø32n，bn=æèöø32n-1，即an=2n∙bn=32-2n.我们先通过换元，把分散的条件联系起来，让隐含的条件显露出来，将问题转化为求an+1=qan−1+d型递推数列的通项公式.再运用待定系数法便可求出数列的通项公式.三、an+1∙an=can+1+dan型递推数列对于形如an+1∙an=can+1+dan（c≠0，d≠0）递推数列，在求其通项公式时，我们先要在递推式的两边同时除以an+1·an，得到can+dan+1=1，将问题转化为an+1=qan−1+d型递推数列问题，再运用待定系数法求解即可.例3.已知数列{}an满足：an≠0，且an=3an-1an-1+3()n≥2，a1=12，求数列的通项公式.解：在递推式an=3an-1an-1+3的两边取倒数得1an=1an-1+13，所以数列{}an是首项为1a1=2、公差为13的等差数列，所以1an=2+()n-1∙13=13()n+5，所以an=3n+5.我们先在递推式的两边取倒数，便可构造出首项为1a1=2、公差为13的等差数列，再根据等差数列的通项公式求得数列的通项公式.虽然求递推式数列的通项公式问题的难度较大，但是我们只要掌握方法，善于整合数列的递推式，将问题转化为等比、等差数列问题进行求解，问题便能迎刃而解.在解题时，要抓住关键，重点分析数列的递推式，将其合理进行变形，如引入待定系数、取倒数、换元等，构造出等差、等比数列，根据等差、等比数列的通项公式进行求解.（作者单位：湖北省襄阳市南漳县第一中学）谈谈三类递推数列通项公式的求法石磊