专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

专题1：递推公式求通项公式1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a n D ．不存在2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅=L ，则35a a +=等于（ ）A.1661B.925C.1625D.1531 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（ ） A ．2-=n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112++=n n a n D ．4tan πn a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．数列}{n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n aA ．2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．122-n8．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ）A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 9．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 10．数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=L *()n N ∈，则=n a __________. 11．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。

如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。

找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。

下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。

类型一：1()nna a f n 或1()n na g n a 分析：利用迭加或迭乘方法。

即：112211()()+()nnnnna a a a a a a a ……或121121n n n nna a a a a a a a ……例1.(1)已知数列na 满足11211,2nna a a nn，求数列n a 的通项公式。

（2）已知数列n a 满足1(1)1,2nn n a a s ，求数列n a 的通项公式。

解：（1）由题知：121111(1)1nna a nnn n nn 112211()())n n n n na a a a a +(a -a a (1)111111()()()121122n n nn ……312n（2）2(1)n n s n a 112(2)nn s na n两式相减得：12(1)(2)n nna n a na n 即：1(2)1n na n n a n 121121n n nn n a a a a a a a a (121)121nn n n……n类型二：1(,(1)0)nn a pa q p q pq p 其中为常数，分析：把原递推公式转为：1(),1nnq a tp a t p其中t=，再利用换元法转化为等比数列求解。

例2.已知数列n a 中，11,123n n a a a ，求n a 的通项公式。

解：由123nn a a 可转化为：132(3)n na a 令3,nn b a 11n+1n则b =a +3=4且b =2b n b 1是以b =4为首项，公比为q=2的等比数列11422n n bn即123n na 类型三：1()(nn a pa f n 其中p 为常数)分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()f x 是多项式或指数幂的形式。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- . 例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=nn a证明：由已知得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--nn n ∴213-=nn a .例 2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N+=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

数列培优教程通项公式及递推关系一.概述各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解.特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈.这里总结出几种求解数列通项公式的方法.方法1：归纳猜想方法2：化为等差数列或等比数列二.类型与例题类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解. 例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a . 变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解. 例2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a .变式1：已知正项数列{}n a 满足11a =，1221(2)(1)0,n n n n n a n a a a +++-++=则它的通项公式为A.11n a n =+ B. 21n a n =+ C. 12n n a += D. n a n =变式2：已知数列{}n a 满足11a =，12,n n n a a +=求它的通项公式.例3.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a . 变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项 、 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）. 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. {}变式:已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）.（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） .解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p qa n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中nn n q a b =），得：q b q p b nn 11+=+再待定系数法解决. 例5.已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a . 变式:设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132nii T =<∑ 例6.设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--．（Ⅰ）证明对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-； （Ⅱ）假设对任意n ≥1有1->n n a a ，求0a 的取值范围．类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）.例7.数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式.例8.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求n a .变式1:已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；变式2.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式.(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解.例9.已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .变式1: 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n变式2:已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列. 例10.设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .变式:已知数列｛n a ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令11,n n n b a a +=-+求证数列{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列{}的通项；n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在试求出λ 不存在,则说明理由.类型8 rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解. 例11.已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a变式1:已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 变式2:已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… ⑴证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；⑵设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；类型9 )()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1.例12.已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式.变式:1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n ，不等式a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！2、已知数列{a }满足2,1≥=n a 时，a a a a 2=-，求通项公式.3、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式.4、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． 类型10 hra qpa a n n n ++=+1解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列.例13.已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.例14.已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？变式:数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S类型11 q pn a a n n +=++1或n n n pq a a =⋅+1解法：这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解. 例15.（I ）在数列}{n a 中，n n a n a a -==+6,111，求n a （II ）在数列}{n a 中，n n n a a a 3,111==+，求n a类型12双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解. 例16.已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b .当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3111--+=n n n b a b ，求n a ,n b .变式.设点n A (n x ，0)，1(,2)n n nP x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，nx 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P+的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．类型13周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期.例17.若数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________.变式:已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23例18.1231,,,2n a a a a =-依次写出数列：的法则如下：如果为自然数且未出现过，n +1n n +1n 6则用递推公式a =a -2，否则用递推公式a =a +3，则a =_________1. 例1.na n 123－＝； 变式：⑴33＝a ，135＝a ；⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+--+=+.n ],2)1(3[21n ],2)1(3[212222为奇数时为偶数时；－１１n n nnn a 2. 例２. ｎ＝32n a变式１：Ｂ变式２：⎪⎩⎪⎨⎧=-.n ,2n ,222为奇数时为偶数时；１n nn a3.例３.136-ｎ＝n a ；变式：2!ｎ＝n a4. 例４.321-+ｎ＝n a ；变式：12-ｎ＝n a5.例5.ｎｎ＝)31(2)21(3-⋅n a ；变式：21＝a ；ｎｎ＝24-n a6. 例6.(Ⅱ))31,0(7. 例7. ])32(1)[(31---+ｎ＝a b a a n8. 例8. 1)31(4347---ｎ＝n a ; 变式1：12-ｎ＝n a .变式2：⑶ｎ＝2)21n (-n a .9. 例9.⑴2121-+-=n n n a a ;⑵3230+=n n a变式1. 35-n a n ＝;变式2. ｎｎ＝)1(4)21(6---⋅n a10. 例10. 132--⋅n a n ｎ＝;变式:(Ⅱ) 2)21(3-+⋅n a n ｎ＝;(Ⅲ)2-=λ11. 例11. 1212--n n a ＝; a 22-＝变式2:⑵12n 3-=nT ⑶1312n -=-n a12.例12. 2n 3--=n a ; 变式1:⑴1n )3(21n-⋅+=n a ;变式2: 121-ｎ＝n a ;变式3: 231-ｎ＝n a变式4: 12+ｎ＝n a13. 例13. na )51(2132n -⋅++-=14. 例14.⑴ 5＝n a ;⑵)4(58≤-n a n ｎ＝⑶78+ｎ＝n a ⑷时＝4,3,1,31-a . 变式: )42(31+n n b ＝;)72(61+nn n b a ＝15. 例15.16.变式: 解：（I ）由题意，得2111(1,0),:7A C y x x b =-+。

6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）1．（2022·湖北）在数列{}n a 中，111,72n n a a a n +=-=-，则数列{}n a 中最大项的数值为___．2．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅，则n a =_______.3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +-=-，n *∈N ，则n a =______． 4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列{}n a ，11a =，且()111n n a a n n +=-+，*n ∈N .求数列{}n a 的通项公式 ；5．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+，求数列{}n a 的通项公式 .6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+，则98S =______．1．（2022·浙江）已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈，则数列{}n a 的通项公式是______2．（2022·上海）若数列{}n a 的首项11a =，且112(2)n n n a a n --=⋅≥，则数列{}n a 的通项公式为_______.3．（2022·江苏）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S = 4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于 5．（2022·安徽）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，则{}n a 的通项公式为___________. 1．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．2．（2022·湖北）数列{}n a 中，已知11S =，22S =且1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ），则此数列{}n a 的通项公式为__________.3．（2022·上海市七宝中学）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*1103n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为__________．题组一 累加法题组二 累乘法题组三 公式法4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =．求数列{}n a 的通项公式5．（2022·天津·静海一中）已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =，，且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+，,求2a 的值，并证明：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列；6．（2022·全国·单元测试）数列{}n a 满足112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N ．求{}n a 的通项公式； 7．（2022·四川）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈． (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式．8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ：9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn 是正项数列{an }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．10．（2022·海南·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S，14a =，1224n n S a n +=+-．求数列{}n a 的通项公式；1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．21n a n =+ C ．2n a n = D ．1n a n=2．（2022·江西）已知数列{}n a 满足：11a =，1122n n n a a --=+（2n ≥，n N ∈），则n a =___________.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式n a =______．题组四 构造等差数列4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________.1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n - B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n na a n a +=∈+，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________.4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =且121n n a a +=+，若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立，则实数λ的取值范围为___________.题组五 构造等比数列6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）1．（2022·湖北）在数列{}n a 中，111,72n n a a a n +=-=-，则数列{}n a 中最大项的数值为___． 【答案】10【解析】当2n ≥时()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()9211251n n =-+-+++()()1925 12n n --+=+()2286410n n n =-+-=--+，所以当4n =时，数列{n a }中最大项的数值为10.故答案为：10.2．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅，则n a =_______.【答案】212n -【解析】因为数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅，所以当1n ≥时，111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+⋅⋅⋅+-+()()2123212143222232214n n n n --+-=++⋅⋅⋅++=⨯+=-.所以212n n a -=，*2,N n n ≥∈，因为12a =，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为212n n a -=，*N n ∈故答案为：212n -3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +-=-，n *∈N ，则n a =______． 【答案】222,n n n N *-+∈.【解析】因为121n n a a n +-=-，n *∈N ， 所以当1,n n N *>∈时，有123n n a a n --=-， 因此有：11222211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+，即2(231)(1)(23)(25)(27)111222n n n a n n n n n -+-=-+-+-+++=+=-+，当1n =时，适合上式，所以222,n a n n n N *=-+∈，故答案为：222,n n n N *-+∈.题组一 累加法4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列{}n a ，11a =，且()111n n a a n n +=-+，*n ∈N.求数列{}n a 的通项公式 ； 【答案】1n a n=【解析】(1)因为()111n n a a n n +=-+，所有1111(1)1n n a a n n n n+-=-=-++，当2n ≥时，211121a a -=-，321132a a -=-，……，1111n n a a n n --=--，相加得1111n a a n -=-，所以1n a n =，当1n =时，11a =也符合上式，所以数列{}n a 的通项公式1n a n=5．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+，求数列{}n a 的通项公式 .【答案】1312n n a n -=--【解析】根据题意，可得到1132n n n a a -+-=-，2132n n n a a --∴-=-，31232n n n a a ----=-，……2131 2.a a -=-=将以上()-1n 个式子累加可得，2313(1)(2221)n n n a a n ---=--++⋯++, 2n ≥11a =，11123231212n n n a n n --∴-=--=---，又 11a =满足，所以1312n n a n -=--6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+，则98S =______．【答案】1465119800【解析】依题意，11(23)n n n n n a a a a +++=-，则1123n n n n a a n a a ++-+=，故11123n nn a a +-=+， 21115a a -= ，32117a a -= ，43119a a -= ，…，11121n n n a a --=+， 累加可得，111(215)(1)2n n n a a ++--=()()31n n =+- ， ()()()13132nn n n n a =+-+=+ ()2n ≥ ，当n =1时，113a = 也成立，故1111(2)22n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，9811111111131114651123243598100229910019800S ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：1465119800. 1．（2022·浙江）已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈，则数列{}n a 的通项公式是______【答案】2(1)n a n n =+【解析】∵*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈∵()12n n na n a +=+，即12n n a na n +=+，∵()32121123123451n n a a a n nn a a a n n --⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅≥+，∵2(1)n a n n =+.n=1也适合故答案为：2(1)n a n n =+. 2．（2022·上海）若数列{}n a 的首项11a =，且112(2)n n n a a n --=⋅≥，则数列{}n a 的通项公式为_______.【答案】(1)22n n n a -=【解析】 数列{}n a 中，11a =，()1122n n n a a n --=⋅≥，∴112n n n aa --=，∴321121n n n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⋯⨯211222n -=⨯⨯⨯⋯⨯12(1)2n ++⋯+-=(1)22n n -=．故答案为：(1)22n n n a -=． 3．（2022·江苏）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S = 【答案】2n n ⋅B【解析】由题得111(1)(1),,,2121n n n nn n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++（2n ≥）所以122,1n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯，所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n nS n n n =⨯+⋅=⋅+.故选：B 4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于 【答案】(n ＋1)3【解析】当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(Sn ＋1)＝()221nn a n ++，得4(Sn－1＋1)＝()211n n a n-+，两式相减，得4an ＝()221nn a n ++－()211n n a n-+，题组二 累乘法即()3311nn n a a n -+=，所以an ＝123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⨯1a ,an ＝()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-＝(n ＋1)3， 经验证n ＝1时也符合，所以an ＝(n ＋1)35．（2022·安徽）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，则{}n a 的通项公式为___________. 【答案】()12n n n a +=【解析】根据题意，数列{}n a 中，11a =，*2()3n n n S a n N +=∈，23n n n S a +=∵，1113n n n S a --+=∵， ∵-∵可得：1(2)(1)33n n n n a n a a -++=-，变形可得：111n n a n a n -+=-， 则12112113(1)()()()()()()11212n n n n n a a a n n n n a a a a a n n ---++=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=--； 1n =时，11a =符合(1)2n n n a +=；故答案为：(1)2n n n a +=． 1．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．【答案】2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，211312112a S ==⨯-⨯+=，当2n ≥时，()()()22132********n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦经检验当1n =时不符合，所以2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，2．（2022·湖北）数列{}n a 中，已知11S =，22S =且1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ），则此数列{}n a 的通项公式为__________.【答案】*21122n n n a n N n -=⎧=∈⎨≥⎩，，，【解析】由1121,2a S S ===得：2211a S a =-= 1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ）题组三 公式法()112n n n n S S S S -+=∴--（2n ≥且n ∈+N ）即12n n a a +=（2n ≥且n ∈+N ）∴数列{}n a 是第二项起公比为2的等比数列， 22n n a -∴=（2n ≥且n ∈+N ）又211a a =不满足上式， *21122n n n a n N n -=⎧∴=∈⎨≥⎩，，，3．（2022·上海市七宝中学）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*1103n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【解析】由1103n n S a +-=得：()1103n n n S S S +--=，即14n n S S +=，又111S a ==，∴数列{}n S 是以1为首项，4为公比的等比数列，14n n S -∴=；当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⋅；经检验：11a =不满足234n n a -=⋅；故答案为：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =．求数列{}n a 的通项公式 【答案】21n a n =-【解析】(1)∵1141,1n n n S a a a +=⋅+=，∵1122413S a a a =+⇒=．当2n ≥时，1141n n n S a a --=+，∵11144n n n n n n S S a a a a -+--=-，∵()114n n n n a a a a +-=-，∵0n a ≠，∵114n n a a +--=．∵数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵212a a -=，∵{}n a 为等差数列，通项公式为21n a n =-．5．（2022·天津·静海一中）已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =，，且2*121n n nS a n N n +=⋅∈+，,求2a 的值，并证明：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列；【答案】234a =，证明见解析 【解析】(1)证明：因为114a =，且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+，．令1n =，有1121314S a a ===⋅，解得234a =， 由2121n n n S a n +=⋅+，有()()211221n n n S a n n --=⋅≥-， 两式相减有()()221122121n n n n n a a a n n n +-=⋅-⋅≥+-，化简整理得()122121n n a a n n n +=≥-+， 又1114a =，2134a =，所以1121214n n a a n n +==⋅⋅⋅=-+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列．6．（2022·全国·单元测试）数列{}n a 满足112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N ．求{}n a 的通项公式； 【答案】21n a n n=+(1,)n n ≥∈N 【解析】由212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=，当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-， 两式相减得()2211n n n a n a n a -=--， 则()()111n n n a n a -+=-， 因为112a =，所以0n a ≠， 所以()1121n n a n n a n --=≥+， 则2113a a = 3224a a=111n n a n a n --=+， 以上各式相乘得：()121n a a n n =+，所以()212n a n n n=≥+， 当1n =时，上式也成立， 所以21n a n n=+；7．（2022·四川）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈． (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1)12a =；(2)2n a n =.【解析】(1)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，得22211(113)3(11)0a a -+--+=，即21160a a +-=，解得：13a =-(舍)或12a =.(2)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，得2(3)()0n n S S n n +--=，即2n S n n =+或3n S =-（舍） 当1n =时，12a =．当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=．验证1n =时上式成立，2n a n ∴=．8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ： 【答案】121,3a a ==；21n a n =-；【解析】因()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=，取1n =和2n =得：12112312()222()3()6a a a a a a a a +-=⎧⎨++-+=⎩， 即211224a a a a -=⎧⎨+=⎩，解得121,3a a ==，由()()111n n nS n S n n +-+=+得：111n n S S n n +-=+，数列{}n S n 是首项为1111S a ==，公差1d =的等差数列，则n S n n =，即2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =满足上式，因此，21n a n =-，所以121,3a a ==，数列{n a }的通项公式21n a n =-.9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn 是正项数列{an }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 【答案】(1)3(2)a n ＝2n ＋1【解析】(1)由所给条件知，当n ＝1时21111113424S a a a ==+- ，整理得()()21111230,310a a a a --=-+= ，由于10a > ，得13a = ；(2)由条件得2423n nn S a a =+-① ，()21114232n n n S a a n ---=+-≥② ，∵- ∵得2211422n n n n n a a a a a --=-+- ，整理得：（an ＋an －1）（an －an －1－2）＝0，因为：an ＋an －1＞0，∵an －an －1＝2（n ≥2），{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，()12121n a a n n =+-=+ ，故21n a n =+ .10．（2022·海南·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，1224n n S a n +=+-．求数列{}n a 的通项公式；【答案】31nn a =+【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，1224n n S a n +=+-， 当2n ≥时，1226n n S a n -=+-，两式相减可得11122224(26)2n n n n n n n a S S a n a n a a -++=-=+--+-=-+， 即132n n a a +=-，可得113(1)n n a a +-=-，即1131n n a a +-=-， 当1n =时，12224a a =+-，所以210a =，所以2111013141a a --==--， 所以数列{}1n a -是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=，即31nn a =+，所以数列{}n a 的通项公式31nn a =+.1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n = B ．21n a n =+ C ．2n a n = D ．1n a n=【答案】B题组四 构造等差数列【解析】因为数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则20a ≠，30a ≠，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a ≠， 由122n n n a a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以，11112n n a a +-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为12，111122n n n a -+∴=+=，因此，21n a n =+. 故选：B.2．（2022·江西）已知数列{}n a 满足：11a =，1122n n n a a --=+（2n ≥，n N ∈），则n a =___________.【答案】12n n -⋅ 【解析】由题设，()1112222n n n n a a n --=+≥，即()1112222n n n n a a n ---=≥，而1122a =， ∵{}2n n a 是首项、公差均为12的等差数列，即11(1)2222n n nn a =+-=， ∵n a =12n n -⋅.故答案为：12n n -⋅3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】23n n +【解析】∵()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，∵()113312n n n n a a n --=+≥，即()113312n n n n a a n ---=≥．又11a =，1133a ⋅=，∵数列{}3n n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，∵()33112nn a n n =+-⨯=+，∵数列{}n a 的通项公式23n n n a +=．故答案为：23nn +. 4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；【答案】()213nn a n =-⋅．【解析】由11323n n n a a ++=+⨯，得：111123333n n n n n n a a ++++⋅=+，∵11233n n n na a ++-=， 即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∵213n n a n =-，得()213n n a n =-⋅． 5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________. 【答案】121n - 【解析】因为11a =，213a =，()11123n n n n n a a a a a +-+=-，显然0n a ≠，所以111123n n n n n n a a a a a a ++--=-，同除11n n n a a a -+得11231n n n a a a -+=-，所以1111112n n n n a a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭，所以1111211n n n n a a a a +--=-，所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列，所以1111222n n n n a a -+-=⨯=，所以132212111111111111n n n n n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211222212112nn n n ---=++++==--所以121n na =- 故答案为：121n - 1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n- B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 【答案】A【解析】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列．所以1422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n n na =-． 故选：A2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 【答案】1117344n -⋅- 【解析】由已知可得1732n n a a +=+，设()13n n a x a x ++=+，则132n n a a x +=+，所以，722x =，可得74x =，所以，177344n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且171144a +=，题组五 构造等比数列由题意可知，对任意的n *∈N ，704n a +≠，则174374n n a a ++=+， 所以，数列74n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，且该数列的首项为114，公比为3，所以，1711344n n a -+=⋅，因此，1117344n n a -=⋅-.故答案为：1117344n -⋅-. 3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n na a n a +=∈+，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________. 【答案】2234n n +--【解析】数列{}n a 满足*111,()23n n n a a a n N a +==∈+，整理得：1123n n n n a a a a +++=，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又1134a +=，故13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以1113422n n n a -++=⋅=，所以1231n n a +=-，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和24(12)323412n n n T n n ++--==-- 故答案为：2234n n +--4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =且121n n a a +=+，若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立，则实数λ的取值范围为___________.【答案】3λ≤【解析】由题设112(1)n n a a ++=+，112a +=，则{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12n n a +=，则21nn a =-，12(12)2212n n n S n n +-=-=---，则1222n n S n n ++=+-在N n *∈上递增，所以2min (2)2123n S n +=+-=，要使2n S n λ≤+恒成立，则3λ≤.故答案为：3λ≤。

专题07 求数列的通项公式【考点1】已知前你n 项和，求通项公式的步骤(1) 、当n ＝1时，a 1＝S 1；(2) 、当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 【考点2】已知数列的前几项，求通项公式如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或 (－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决. 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决. 【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列； 当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列； 当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．三、解法解密 二、考点再现一、核心先导若数列{}n a 满足1n n a a an b ++=+，则数列{}{}221,n n a a -都是公差为a 的等差数列，若数列{}n a 满足()10,0,1n t n n a a a b a b b ++⋅=⋅≠≠≠，则数列{}{}221,n n a a -都是公比为b 的等比数列.题型一:公式法例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，若253,6a a ==，则11a =___________. 例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列{}n a 中，3a ，4a ，7a 成等比数列. (1)求n a ；(2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)25n a n =-【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．题型二:累加法与累乘法(一) 、用累加法求数列的通项公式例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列{}n a 满足111,2(,1)n n a a a n n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =________．【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】利用累加法即可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，把以上1n -个式子相加，得()()()()()213243124621n n a a a a a a a a n -++++++++---=--……， 即()()122212n n a n a +---=，所以2211nn n a an n =-+=-+.故答案为：2n n 1-+.【变式训练3-1】、在数列{}n a 中,112a =,12141n n a a n +-=-,则该数列的通项公式n a = ． 【分析】题目已知条件是1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）形式,用叠加原理求解.【解析】因为121111()4122121n n a a n n n +-==---+,所以运用累加法即可得到：1122111111111()()()[(1)()()](1)23352321221n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=-+-++-=----,所以11143(1)22142n n a a n n -=+-=--,故应填4342n n --． 【点评】当1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）满足一定条件时,可用1()n n n a a a -=-+12()n n a a ---+…211()a a a -+来求通项n a ,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为21d n n =-或21d n n =+是常数,实际上21d n n =-或21d n n=+是个变量,n 变化d 随之改变.【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列{}n a 中，16a =，前5项的和为590S =，数列{}n b 满足11b =，()*12N n n n b b n +-=∈．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)()6N*n a n n =∈，()*21N n n b n =-∈；(2)()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式可得6d =，进而可得()6N*n a n n =∈，再利用累加法可求n b ，即得； （2）由题可得()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩，然后利用分组求和法即得.(1)设公差为d ，由题设可得5456902d ⨯⨯+=， 解得6d =，所以()6N*n a n n =∈； 当2n ≥时，2123221111222222n n n n n b b b b b b b b ----=⎫⎪-=⎪⇒-=++⋅⋅⋅+⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎭，∴122112nn n b -==--，当1n =时，11b =（满足上述的n b ），所以()*21N n n b n =-∈．(2)∵()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩．当4n ≤时，()()21271361222nn n T c c c n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦ ()()212761212nn n -++=-- 213422n n n +=+-+．当5n ≥时，()()561234222313761nn n T c c c n ⎡⎤=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()54212463234122n n n ---+=+--1223466n n n +=--+．综上所述：()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩． (二) 、用累乘法求数列的通项公式例4、（2022·安徽黄山·一模）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20211232020a a a a a =+++⋅⋅⋅+___________.【答案】10111010【解析】 【分析】利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，利用错位相减法可求得122020+++a a a ，即可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则()1221n n n a a n ++=+，所以，当2n ≥时，()()132112121232421223n n n n n a a a a a n a a a n--+⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+⋅， 12a =也满足()112n n a n -=+⋅，所以，对任意的N n *∈，()112n n a n -=+⋅.令122020S a a a =+++，则012201922324220212S =⨯+⨯+⨯++⨯，可得1220192020222322020220212S =⨯+⨯++⨯+⨯，上述两个等式作差得()20191220192020202020202122222202122202122020212S --=++++-⨯=+-⨯=-⨯-，所以，202012202020202a a a S +++==⨯，因此，2020202120201232020202221011=202021010a a a a a ⨯=+++⋅⋅⋅+⨯. 故答案为：10111010. 例5、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列{}n a 中，112a =，且满足1(1)n n na n a +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设112n n n b a λ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)2n na = (2)1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用累乘法求得n a . （2）由10n nb b 分离常数λ，结合函数的性质求得λ的取值范围.(1)依题意0n a ≠，故11n n a n a n ++=，从而11n n a n a n -=-，2n ≥， 故3212112n n n a a a a na a a a -⋅==，2n n a =， 当1n =时，上式也符合，所以2n n a =. (2)由（1）知，112221n n n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，则1422021n n n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立， 即4221maxn n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭， 又()()4222221123n n n n n n n-==++++++， 因为函数()20y x x x=+>在区间()0,2上单调递减， 在()2,+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，23n n++取得最小值6， 即4221n n -++取得最大值13，故实数λ的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【变式训练5-1】、数列{}n a 中，前n 项和为n S ， 2nn na S = (1)求数列{}n a 的通项公式；学=科网 (2)令2112n n n n n S S b S S ++++=+，证明： 12223n n b b b n <+++<+.【解析】(1) 2nn na S =， ()()11122n n n a S n ---=≥，两式相减得： ()1122n n n n a na a --=-， 整理得： ()()121n n n a n a --=-， （叠乘法）因为()1132n n a n n a n --=≥-，所以3221a a =， 4332a a =，…， 112n n a n a n --=-， 相乘得21na n a =-，且当n =1、2时，满足此式， 所以()21n a n a =-.(2) ()()()()()()22222112212122n n n a n na b n na n n a +++=++++ 22n nn n +=++， 因为n b 2>，所以122n b b b n +++>；222211211222n n nb n n n n n n +=++=++-+⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ 12111112213242nb b b n n n +++⎛⎫=+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ 11122123212n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭.【变式训练5-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且32n n a S n =+. (1)求数列{}n a 的通项公式： (2)证明：12123nn S S S ++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)()12n n n a +=(2)证明见解析 【分析】（1）利用n a 与n S 关系可推导得到111n n a n a n -+=-，利用累乘法即可求得n a ；题型三:已知前n 项和，求通项公式例6、（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）已知数列{}n a 中，前n 项的和为n S ，且34n n S a =- (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)如果123123n n a a a a ++++<92-823n⎛⎫⨯⎪⎝⎭恒成立，求n 最小值. nna ++，解不等式即可， nna ++12()23n n -++⨯32)312n -++⨯212()32()]3n -+++n⎫⎪⎭，【变式训练6-1】、（2022·四川资阳·一模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3232S a =+，且12n n a S a =+．(1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足11231232n nna b b b b +++++=-，求{}n b 的前n 项和n T ． 2q为公比的等比数列，2得13a a +122n -=⋅=n nna b ++=3131n n b b --+++=，2n ≥12，符合b 1212222n nn b ++=+++121231222n n n 012111112222n n n T T --==++++-题型四:构造法例7、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S . 【答案】(1)证明见解析； (2)121n n a +=-，224n n S n +=--. 【解析】 【分析】 （1）证明出1121n n a a ++=+，即可证得结论成立； （2）由（1）的结论并确定数列{}1n a +的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法可求得n S . (1)证明：因为数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈，则()1121n n a a ++=+，且114a +=，则218a +=，3116a +=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a +>，所以，1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +为等比数列. (2)解：由（1）可知，数列{}1n a +是首项为4，公比为2的等比数列，则111422n n n a -++=⨯=，所以，121n n a +=-，因此，()()()()()23412341212121212222n n n S n ++=-+-+-++-=++++-()222122412n n n n +-=-=---.【变式训练7-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+ 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案； （2）根据错位相减法求和即可. (1)解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21nn a =-(2) 解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+A 组 基础巩固1．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（ ） A ．19 B ．18C ．17D ．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出1,a d ，从而可求出12a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩， 所以1211161117a a d =+=+=， 故选：C.2．（2022·全国·模拟预测（文））在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a =（ ）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．（2022·广西·模拟预测（文））在等比数列{}n a 中，124a a +=，若1a 、22a +、3a 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B4．（2010·山西临汾·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差是2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．6- B ．4- C ．8- D ．10-【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可. 【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列， 所以2314a a a =，即()()()2222224a a a +=-+， 解得26a =- ， 故选：A5．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足652317a S a a ==，，则12a =（ ）A ．28B ．30C ．32D ．35【答案】D【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项的值,进而代入即可求解.【详解】设公差为d 且0d >，由652317a S a a ==，，得()()111115172510230a d a a d a d a d d d +=⎧=⎧⎪+=++⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩， 故1211123335a a d =+=+=， 故选：D6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ）A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+-，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+-，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．故选：D ．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））设数列{}n a 满足11,1n n n a a a ++=-且112a =，则2022a =（ ）A ．2-B ．13-C ．12D ．38．（2020·云南·昆明一中模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．1【答案】C【分析】先求出1a 23,a a ，由2213a a a 解得即可；【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，当1n =时，可得1113a a S +==，可得13a a =+，当2n ≥时，113n n S a --=+，则()1113323n n n n n n a S S a a ---==-=⋅-++所以213123236,2318a a --=⋅==⋅=因为{}n a 为等比数列， 所以2213a a a ，即()66183a ⨯=+解得1a =-，经检验符合题意. 故选：C ．9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【分析】根据条件求出1,a d 即可.【详解】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ， 所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=， 故选：C10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列{}n a 满足：①先单调递减后单调递增：②当3n =时取得最小值．写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式n a =_________．【答案】()()2*3N n n a n =-∈【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设()()2*3N n a n n =-∈，则()212n a n +=-，()()2122325n n a a n n n +-=---=-，当120152,n n n n a a +-=-≤<≤，数列单调递减，当1503,2n n n a a n +-=->≥，数列单调递增，即1234a a a a >><<⋅⋅⋅， 可得当3n =时数列取得最小值，故答案为：()()2*3N n n a n =-∈11．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若33a =，39S =，则{}n a 的公比为______．12．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差1d =，且3a ，5a ，6a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S ．13．（2022·河南·模拟预测（理））若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<． ()2112(1)2(2)21a a a n n ++-+=-+-+++222(1)2n n -+⋅-=12=<； 111=-， 2311111111111112231n n a a a a n n ⎛⎫++=++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭12n=-<12na ++<； 21n n -+.B 组 能力提升14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列且公比2q .数列{}n a 和数列{}n b 的前n 和分别为n S 和n T ，且满足222n n T S +=，则等差数列{}n a 的通项公式为_____________. 【答案】42n a n =-【分析】分别令1,2,3n =，得到224468222T S T S T S+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，设{}n a 的公差为d ，化简得到114275634740a d a d -=⎧⎨-=⎩，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令1,2,3n =得，222244446868222222T S T S T S T S T S T S ⎧+==-⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，根据等比数列求和公式，得到2141613,15,63T b T b T b ===，故12141832152632b S b S b S =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩428225(2)221(2)S S S S -=-⎧⇒⎨-=-⎩，设{}n a 的公差为d ，则1111462105108282422142a d a d a d a d +-=+-⎧⎨+-=+-⎩，化简得111427562347404a d a a d d ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，42n a n =-故答案为：42n a n =-15．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列{}n a 满足31352,4a a a a +=+=，则79a a +=___________. 16．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列{}n a 为等比数列，1272a a +=，2336a a +=，则4a =______. 【答案】6【分析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得到11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩，能求出1a 和q ，即可求出答案【详解】解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得1211223117236a a a a q a a a q a q +=+=⎧⎨+=+=⎩即11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩， 易得10q +≠，所以两式相除，解得12q =， 将12q =代入1(1)72a q +=可得148a =，所以3416a a q ==， 故答案为：617．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列{}n a 满足12a =，()*121N n n n a a a n ++++=∈，则其前2020项和为___________. 【答案】675【分析】利用分组求和法求得正确答案. 【详解】12a =，121n n n a a a ++++=()()()2020123456720182019202016731675S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++⋯⋯+++=+⨯=故答案为：67518．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch ）于1904年提出的一种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花．雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”．不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第0级的等边三角形边长等于1，则第4级的雪花曲线周长等于______．19．（2020·全国·模拟预测（文））记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n 为正整数），则数列{}n a 的通项公式为________．故答案为：21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 20．（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放n a 个物体堆成的堆垛，则1210111a a a +++=__________． 【答案】2011【分析】由累加法即可求得n a ，再利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题可知：1231,3,6a a a ===，即有()12n n a a n n --=≥， 所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++(1)12342n n n +=+++++=，当n=1成立 所以1222(1)1n a n n n n ==-++，所以121011122222222223341011a a a +++=-+-+-++- 22021111=-=. 故答案为：201121．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(23)n ++-符合上式，∴n b =2,36,n n -=⎧=⎨-⎩C 组 真题实战练22．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．23．（2021·全国·高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.24．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【答案】A【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 5＝5，S 5＝15，∴1145{545152a d a d +=⨯+=⇒111a d =⎧⎨=⎩⇒a n ＝n. ∴11n n a a +⋅＝()11+n n ＝111n n -+，S 100＝112⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1123⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋11100101⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1－1101＝100101. 25．（2014·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出． 解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4． 故选C ．考点：等比数列的前n 项和．26．（2014·天津·高考真题（文））设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．-2C ．12D ．12-【答案】D 【分析】把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题． 27．（2010·湖北·高考真题（文））已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A ．12+ B ．12- C ．322+ D ．322-【答案】C【详解】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a 的各项均为正，所以21q =+，222910787878322a a a q a q q a a a a ++===+++．故选C ．考点：等差数列与等比数列的性质．28．（2015·浙江·高考真题（理））已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <>【答案】B【详解】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念29．（2019·全国·高考真题（理））记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．30．（2019·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.31．（2008·四川·高考真题（文））设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a = ___________． 21⎤++++⎦)1+ 故应填【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；抓住1n n a a +=32．（2014·广东·高考真题（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____.【答案】5.【详解】试题分析：由题意知21534a a a ==，且数列{}n a 的各项均为正数，所以32a =，()()()223512345152433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==，()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===．考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．33．（2015·安徽·高考真题（理））已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 . 2q ，项和1n a S =等比数列的性质；2.等比数列的前34．（2014·江苏·高考真题）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是_______. 【答案】4【详解】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为100q a >>，．∵8642a a a =+，∴7511123=+a q a q a q ，化为4220q q --=，解得22q =．∴261254124a a q a q ===⨯=．故答案为4．考点：等比数列的通项公式.35．（2015·全国·高考真题（理））n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 1n （Ⅱ））根据数列的递推关系，利用作差法即可求11n a +，利用裂项法即可求数列121n +++本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．36．（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．37．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 113n n --+++121111333-⎫+++⎪⎭n ，230121*********323333n n n -⎫⎛⎫++++-++++=⎪ ⎪⎭⎝⎭0101233--+++113---n n 2111111212233-----+++n n ， ⑧ 311212233---+++nn ． ⑨211133-⎫++-⎪⎭n 123--⨯n n ． 03<⨯nn．113n n --+++3213n n -+++2111133333n n n n =++++-1)323n nn-⋅，3(134n n --1n b c ++=：导函数法 23+++=nx x x )()(1'1n x x ⎡⎤⎤-⎣⎦1-++=n nx1-n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 38．（2014·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121113 (2)n a a a +++<. 【答案】（1）证明见解析，113322n n a -+=；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n-. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1na =31(1)23n -32<，+1n a 32<. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力。