中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项(三)

垂径定理和圆周角专题

一、知识梳理

1.圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．

例1：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,那么∠.

例2：如图，圆心角∠100°，那么∠．

例3：〔2007威海〕如图，AB是⊙O的直径，点CDE，，都在⊙O上，假设CDE∠∠∠，那么AB∠∠º．

B

O C A O

A B

C

〔例4〕 A B C

D E O

E F C

D G O

例

例4：〔2007常德〕如图2，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，40EOD，那么DCF．

2.圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。

例5：：如图，•是⊙O•的直径，∠•30•°，那么∠．

例6：〔2007南京〕⊙O中，30C，2cmAB，那么⊙O的半径为cm．

例7：〔2006青岛〕某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，以下图是水平放置的破裂管道有水局部的截面.

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面； _ . . . _D

_C

_B _A _O

BOCA(2)假设这个输水管道有水局部的水面宽＝16，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径.

二、稳固练习

1.〔2007浙江温州〕如图，ACB是⊙O的圆周角，50ACB，那么圆心角AOB是〔 〕

A．40 B. 50C. 80D. 100

2.(2007四川宜宾)：如图，四边形是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，那么∠的度数是〔 〕

A．45°B．60°C．75°D．90°

3.〔2006·陕西省〕△中，∠A＝30°，∠B＝60°，＝6，那么△外接圆的半径为〔 〕

A．32B．33C．3D．3

4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是〔 〕 PODCBA A．30° B．150° C．30°或150° D．60°

1 2021中考数学圆之圆周角定理

1．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．

（1）求证：∠ADC＝∠AOB；

（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的长．

2．如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是的中点．

（1）求证：BC＝DE；

（2）求证：AE是圆的直径；

（3）求圆的面积．

3．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO＝∠BCD；

（2）若tan∠ACO＝，CD＝6，求⊙O的直径．

2

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．

（1）求证：PD∥CB；

（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以边AB为直径作⊙O，交斜边BC于D，E在弧上，连接AE、ED、DA，连接AE、ED、DA．

（1）求证：∠DAC＝∠AED；

（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，当BD＝5，CD＝4时，求DF的长．

6．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点 E．

（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE＝∠BAC；

3 （2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

7．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．

（1）求证：AB为⊙C直径．

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F

（1）求证：BF平分∠DFE；

（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径．

4 9．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D．

中考各省压轴之圆综合问题

（9考点39题）

一．圆周角定理（共3小题）

1．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已

知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（ ）

A． B．6 C． D．

【答案】C

【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长

OF交⊙O于点G，连接OB，

∵EH是⊙O的直径，

∴∠EAH＝90°，

∴tan∠AHE＝，

∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA＝，

∴tan∠AHE＝tan∠CBA＝，

∴＝，

∵AE＝2，

∴AH＝4，

∴EH＝＝2，

∴⊙O的半径为， ∴OG＝OB＝， ∵OG⊥AB于F，

∴AB＝2BF，

根据折叠的性质得，OF＝GF，

∴OF＝OG＝，

∴BF＝＝，

∴AB＝， 故选：C．

2．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交

于点F，则＝（ ）

A． B． C．1﹣ D．

【答案】D

【解答】解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．

∵点E是弧AC的中点，

∴可设AE＝CE＝1，

根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．

∴△ADE是等腰直角三角形，

则AD＝，BD＝AD＝．

所以BE＝+1． 再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，

则EF＝＝﹣1，BF＝2．

所以＝．

方法2：过点C作CO⊥AB于点O，

∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，

∴点O是圆心．

连接OE，BC，OE与AC交于点M，

∵E为弧AC的中点，

易证OE⊥AC，

∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，

∴OE∥BC，

设OM＝1，则AM＝1，

∴AC＝BC＝2，OA＝，

∴OE＝，

∴EM＝﹣1，

∵OE∥BC，

∴＝＝．

故选：D．

3．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，

P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ．

教育资源

教育资源 2019中考数学专题练习-圆周角定理（含解析）

一、单选题

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，连接BD，OD，则∠AOD+∠ABD的度数为（ ）

A. 100° B. 110° C. 120° D. 150°

2.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )

A. 10° B. 20° C. 40° D. 80°

3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）

A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°

4.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是( )

A.30≤x≤60

B.30≤x≤90

C.30≤x≤120

D.60≤x≤120

5.如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（ ）