量子力学答案第十一章

第十章 全同粒子

10.1 两个自旋为23的全同粒子组成一个体系，问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？

解 231S，232S，体系的可能S值为

21SSS，121SS，221SS，…，21SS

于是

031221323232121212121SSSSSSSSSS

当S给定时，zS可取12S个值，故

3S时，zS取7个值0123

2S时，zS取5个值012 164

1S时，zS取3个值01

0S时，zS取1个值 0

于是，总共应有16个状态。

对每个粒子而言，因232,1S，其在z方向投影可取4123212l个值，即zS1，21,232zS，故每个粒子可能有4个态，即对第一个粒子有

)1(21，)1(21，)1(23，)1(23

对第二个粒子亦有

)2(21，)2(21，)2(23，)2(23

由它们可组成16个彼此独立的可能组合：

)1(S=)1(21)2(21， )2(S=)1(21)2(21

)3(S=)1(23)2(23， )4(S=)1(23)2(23 165 )2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(232121232323232321232321212121212123232121232321)10()9()8()7()6()5(SSSSSS

)2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(232121232323232321232321212121212123232121232321)6()5()4()3()2()1(AAAAAA

第一、二组是对称态共10个，第三组是反对称态共6个，在这些态中，zSˆ的本征值列表如下：

S zS 2ˆS本征值2)1(SS zSˆ本征值Sm

3 3

2

1

0

-1 212 3

2



0

- 166

-2

-3 -2

-3

2 2

1

0

-1

-2

26 2



0

-

-2

1 1

0

-1 22 

0

-

0 0 0 0

10.2一个体系由三个全同的玻色子组成，玻色子间无相互作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，问体系的可能状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

解 设两个单粒子态为，

4)!12(!3)!133()!1(!)!1(单态数粒子数单态数粒子数态数

列表如下

状态

 

Ⅰ

(1) (2) (3)

Ⅱ

(1) (2) (3) 167

(1) (3)

(2) (3) (2)

(1)

Ⅲ

(1)

(2)

(3) (2) (3)

(3) (1)

(1) (2)

Ⅳ

(1) (2) (3)

波函数为

)3()2()1(IΨ

)}1()3()2()2()3()1()3()2()1({31IIΨ

)}2()1()3()1()3()2()3()2()1({31IIIΨ

)3()2()1(IVΨ

10.3 两个质量为m的粒子以频率2分别作一维谐振动，二粒子间以引力)(yxC相互作用，其中C为一常数，求粒子的能级和波函数。 168

解 设两粒子的坐标分别为x和y，则此二粒子体系的薛定谔方程为

0])(212121[22222222222yxCyMxMEMyx （1）

引进 )(21yx，)(21yx （2）

即 )(21x，)(21y （3）

又令 EM22，M，M （4）

则薛定谔方程变成

0][22222222

（5）

式中 2222222)(][MMCM （6）

则 MC22 （7）

用分离变数法解方程（5），令

)()(),(21 （8）

代入（5）式后用)()(21除全式得 169 22222222212111dddd

因而有

21222222212212120)(0)(dddd

)11()10()9(

将（4）、（6）式代入（9）、（10）、（11）式可将（9）、（10）、（11）式化成

2122222222121222120)21(0)21(EEEMEMddMEMdd

)11()01()9(

现（9）、（01）两式都是一维谐振子的方程，其能量分别为

),21(),21(21nEmE

)13()12(

代入（11）式得二粒子体系的总能量

)21()21(nmEmn （14）

波函数分别为 170 )()(2211mmHeN （15）

)()(2212nnHeN （16）

代入（8）式得二粒子体系的总波函数

)()(),(221221nmnmHHeNN

（17）

10.4 两个自旋为21的粒子间有磁相互作用，设它们的质量很大，动能可以忽略，210ˆˆˆSSH，求这个体系的所有能量本征值、简并度及本征函数。

解 体系的哈密顿算答为

)23ˆ(2ˆ22210SSSH

其中 21ˆˆˆSSS

故体系0ˆH的本征态即2ˆS的本征态，其本征值为

2023)1([2SSE

当1S时，体系3度简并，本征函数分别是

)2()1(2121)1(S， )2()1(2121)2(S，

)]1()2()2()1([2121212121)3(S

本征值 2043E 171

当0S时，不简并，本征函数为

)]1()2()2()1([2121212121A

本征值 2043E

10.5 有两个质量都是m，自旋都是21的全同粒子，处于宽度为a2的一维无限深势阱中，忽略两个粒子间的相互作用，求描写这两个粒子体系的能量本征值和本征函数。并写出基态和第一激发态波的具体形式，指出它们的简并度。

解 由于不考虑两粒子的相互作用，故体系的总能量为

)(8222122221nnaEEE， ,3,2,1,21nn

体系的波函数为

)()(zSx

对于全同费米子体系，波函数应是反对称的，即

)()(zASSx， A是单态

或 )()(zSASx， S是三重态

)()()(21xxxnnS

)]()()()([21)(12212121xxxxxnnnnS 21nn

)]()()()([21)(12212121xxxxxnnnnA，

基态121nn， 172

0)(xA

)(2sin)(2sin1)(21axaaxaaxS

)1()2()2()1(21)(21212121xA

)(2sin)(2sin21)()(21axaaxaaSxzAS

)]1()2()2()1([21212121

第一激发态11n，22n

)()(zASSx

)](sin)(2sin)(sin)(2[sin211221axaaxaaxaaxaa

)]1()2()2()1([21212121

)()(zSASx是三重态

)(sin)(2[sin21212,1axaaxaa

)]2()1([)](sin)(2sin212112axaaxa

)(sin)(2[sin21213axaaxaa 173

)](sin)(2sin12axaaxa

)]1()2()2()1([21212121

第十一章 宏观量子效应

11.1 证明速度算符ˆ满足以下对易关系：

yxzxzyzyxBcqiBcqiBcqi222ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ

证 根据定义 )(1)(1ˆΑΑΡqiq