第十章 全同粒子
10.1 两个自旋为
2
3的全同粒子组成一个体系，问体系对称的
自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？
解 2
31=
S ，2
32=
S ，体系的可能S 值为
21S S S +=，121-+S S ，221-+S S ，…，21S S -
于是
⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-=-+=-+=-+=+=+0
3122132
3232121212121
S S S S S S S S S S 当S 给定时，z S 可取12+S 个值，故
3=S 时，z S 取7个值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±±0
12
3
2=S 时，z S 取5个值⎪⎩⎪
⎨⎧±±0
12
1=S 时，z S 取3个值⎩⎨⎧±0
1
0=S 时，z S 取1个值 0 于是，总共应有16个状态。
对每个粒子而言，因2
32,1=
S ，其在z 方向投影可取
412
3212=+⨯
=+l 个值，即z S 1，2
1,232±
±=z
S
，故每个粒
子可能有4个态，即对第一个粒子有
)1(2
1χ，)1(2
1
-
χ
，)1(2
3χ，)1(2
3-
χ
对第二个粒子亦有
)2(2
1χ，)2(2
1-
χ
，)2(2
3χ，)2(2
3-
χ
由它们可组成16个彼此独立的可能组合：
)1(S
χ=)1(2
1χ)2(2
1χ， )2(S
χ
=)1(2
1-
χ)2(2
1-
χ )3(S
χ
=)1(2
3χ)2(2
3χ， )4(S
χ
=)1(2
3-
χ
)2(2
3-
χ
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=+=+=-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
)
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1(2
32
12
12
32
32
32
32
32
12
32
32
12
12
12
12
12
12
32
32
12
12
32
32
1)10()9()8()7()6()5(χ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χ
χ
χ
χχχχχχS
S
S
S S
S
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=-=-=-
-
-
-
------
-
-)
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1()
2()1()2()1(2
32
12
12
32
32
32
32
32
1
2
32
32
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
32
32
1
2
12
32
32
1)6()5()4()3()2()1(χ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χχχ
χχχ
χ
χχχ
χ
χ
χ
χχχχχχA
A A A A A
第一、二组是对称态共10个，第三组是反对称态共6个，在这些态
中，z S ˆ的本征值列表如下：
10.2一个体系由三个全同的玻色子组成，玻色子间无相互作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，问体系的可能状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解 设两个单粒子态为αϕ，
β
ϕ
4)!
12(!3)!133()!
1(!)!
1(=--+=
--+=
单态数粒子数单态数粒子数态数
列表如下
