高中数学常见题型解法归纳 不等式的证明方法

高中数学常见题型解法归纳 不等式的证明方法

【知识要点】

不等式的证明常用的有六种方法（不等式证明六法：比综分放数反）

一、比较法

包括比差和比商两种方法.

比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.

如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.

二、综合法

证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.

三、分析法

证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.

用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明„„”.

一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.

四、放缩法

证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.

放缩的常见技巧：

①添加或舍去一些项，如：221,(1),1aannnnn

②将分子或分母放大或缩小，如：22111111,(1)1(1)kkkkkkkk

111kk

③利用基本不等式等，如：(1)(1)2nnnn

五、数学归纳法

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论. 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.

六、反证法

证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.

如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.

【方法讲评】

方法一 比较法

使用情景 一般是两个实数

解题方法 包括比差和比商两种方法.

比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.

如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.

【例1】已知0,0abm，则bmbama.

【方法点评】比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论.

【例2】设,abR，求证：2()abababab

【证明】作商：2222)()(baabbababababaabba

当ab时，1)(2baba

当0ab时，1)(,02,12babababa

当0ba时， 1)(,02,102babababa ∴2)(babaabba

【点评】比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.

【反馈检测1】已知a、b、c是实数，试比较222cba与cabcab的大小．

方法二 综合法

使用情景 一般题设较简单，题目较简单.

解题方法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.

【例3】 设,,abc为正实数，求证：33311123abc+abc≥．

【点评】该题主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.

【反馈检测2】已知,,abc是不全相等的正数，求证：abcbacacbcba6)()()(222222

方法三 分析法 使用情景 一般从题设入手比较难.

解题方法

证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.

【例4】求证: ,,abcR,求证:)3(3)2(23abccbaabba

【点评】用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明„„”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.

【反馈检测3】设,ab为实数，求证：222()2abab

方法四 放缩法

使用情景 一般不方便用其它方法，用放缩法比较简单.

解题方法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的.

【例5】设1223......(1)nSnn， 求证：(1)(2)22nnnnnS ()nN

【证明】11122nnnnnn

112342nnnSn

11123422nnSn12222nnnnn

【点评】由于这是一个数列的问题，所以先要对数列的通项进行放缩.

【例6】设数列na的前n项和为nS，已知11a，2121233nnSannn，*nN.

（1）求数列na的通项公式；

（2）证明：对一切正整数n，有1211174naaa

（2）证明：当117114na时，；

当121115721444naa时，；

【点评】本题的放缩是一个难点，放缩一定要适当，有时需要数列的第一项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前两项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前三项不放缩其他项放缩，„„，才能放缩出要证明的结果.这需要大家平时的训练和积累.

【反馈检测4】已知函数21()ln(1)2fxaxxax(1)a.

（1）讨论()fx的单调性与极值点；

（2）若21()1(1)2gxxxx，证明：当1a时，()gx的图象恒在()fx的图象上方；

（3）证明：2222ln2ln3ln21234(1)nnnnn*(,2)nNn.

方法五 数学归纳法

使用情景 一般是与正整数有关的命题.

解题方法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.

【例7】证明不等式nn2131211(nN)

【证明】(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设nk（1k)时，不等式成立，即1+k13121＜2k，

,1211)1(11)1(21121131211kkkkkkkkkk则

∴当1nk时，不等式成立.

综合(1)、(2)得：当nN时，都有1+n13121＜2n.

【点评】用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.是证明的关键.

【反馈检测5】数列{nx}由下列条件决定：1110,()2nnnaxaxxnNx

（1）证明：对 2n 总有nxa

（2）证明：对 2n 总有1nnxx.

方法六 反证法

使用情景 一般从正面着手比较困难.

解题方法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.

【例7】 已知01a，01b，01c，求证：(1)ab，(1)bc，(1)ca中至少有一个小于等于14.

【点评】如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.

【反馈检测6】已知110,02,,baababab且求证:中至少有一个小于2.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第33讲：

不等式的证明方法参考答案

【反馈检测1答案】见解析

【反馈检测1详细解析】)222222(21222222cabcabcbacabcabcba

2221[()()()]02abbcca，当且仅当cba时，等号成立，

∴222cbacabcab．

【反馈检测2答案】见解析

【反馈检测3答案】见解析

【反馈检测3详细解析】当0ab时，∵220ab，∴222()2abab成立． 当0ab时，用分析法证明如下：

要证222()2abab，只需证22222()()2abab，

即证22221(2)2ababab，即证：222abab，

∵222abab对一切实数恒成立，∴222()2abab成立．

综上所述，对任意实数,ab不等式都成立．

【反馈检测4答案】（1）()fx在(0,1)和(,)a上单调递增，在(1,)a上单调递减.

1x为极大值点，xa为极小值点；（2）见解析；（3）见解析.

（2）当1a时，令()()()1lnFxgxfxxx，

'11()1xFxxx，当1x时，'()0Fx，01x时，'()0Fx，

∴()Fx在(0,1)上递减，在(1,)上递增，∴()(1)0FxF，∴1x时，()0Fx恒成立.

即1x时，()()gxfx恒成立，∴当1x时，()gx的图象恒在()fx的图象上方.