沪教版高中数学14.1《平面及其基本性质》同步练习

平面的基本性质知识梳理1.空间点线面的位置关系基本2.平面的基本性质性质一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内应用基本性质二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

应用基本性质三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

应用3.空间直线的位置关系例题1.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条2.过以下元素可以确定多少个平面？（1）三点_________（2）四点_________（3）五点（任四点都不共面）_________（4）两条相交直线_________（5）三条直线两两相交_________（6）四条线段首尾相连_________（7）四条直线两两平行_________（8）一条直线和直线外两点_________（9）一条直线和直线外不共线三点_________（10）过直线外两点可以做多少条直线的平行线？_________3.两条异面直线上分别取三个点和两个点，这五个点可确定多少个平面？_________4.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（）A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上5.给出结论：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B ∈β，则α∩β＝AB；③若l⊄α，A∈l，则A∉α④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合。

上述命题中，正确结论是_____6.用一个平面去截正方体。

其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是7.画出下列平面内或几何体表面三点围成的截面。

1 / 1 15.1 平面的基本性质练习1.下列命题：①两两相交的三条直线共面；②两条相交直线上的三个点可以确定一个平面；③梯形是平面图形；④一条直线和一个点可以确定一个平面；⑤两条相交直线可以确定一个平面；⑥若点P 不在平面α内，A,B,C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内. 其中正确的有 .2.下列命题中不正确的是 .①若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多点在平面外； ②若点,,A B C AB αα∈∈∈,则C α∈；③若,,,a b l a A l b B αα⊂⊂==,则l α⊂；④若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外。

3.下列推断中，错误的是 .①,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂; ②,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=; ③,,l A l A αα⊄∈⇒∉; ④,A B C A B C αβ∈∈、、、、且A B C 、、不共线,αβ⇒重合.4.下列说法中正确的是 .①空间不同的三点确定一个平面；②空间两两相交的三条直线确定一个平面；③空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形；④和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.5.（08四川理19）下列推理：（,a b 表示直线，,αβ表示平面） ①,A a a A αα∈⊂⇒∈; ②,,A B C A B C αβαβ∈⊂⇒、、、、重合; ③,A a A a αα∈∈⇒⊂; ④//,,,a b a b a b αβαβ⊂⊂⇒、、重合 其中推理正确的是 .6.下列推理中正确的是 .①,P Q PQ ααα∈∈⇒⊂ ②,,AB C AB D AB CD αα⊂∈∈⇒∈ ③,P Q PQ αβαβ∈∈⇒= ④,AB AB A AB αββ⊂⊂⇒=7.一条直线和直线外三点最多能确定的平面个数是 个.8．三条直线两两相交，它们最多可确定平面的个数是 .9.如图，在三棱锥A BCD -中，,,,E F G H 分别是边AB,BC,CD,DA 的中点（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形。

14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上. （直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠（二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα（三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面. 用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面推论3：两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面（四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三1D 1C 1B 1A D CB A F E点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.[说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面α的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业 αFB CDE A练习14.1（1）2练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。

．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论 一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何. 二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣. 三、教学重点及难点三个公理，三个推论. 四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上. （直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）lβαA用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”ABC用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：l ABC设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面；1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上. [说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点. 例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.[说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面α的交点.（公理3和公理2） [说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件； 四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3 五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.1D 1C 1B 1A DCBAFEαFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。