能带理论

能带理论
摘要阐述了能带理论提出的背景以及假设条件，在此基础上，主要给出了两个模型：近自由电子近似模型、紧束缚近似模型。

两者的假设不同，近自由近似模型认为价电子近似自由，晶体的周期性势场微扰很小；紧束缚近似模型认为电子受到原子核作用比较强，将其他原子的作用看做微扰。

两者共同基础是周期性势场中电子共有化运动，由两种模型研究电子的运动状态得出同一结论--能带。

在能带理论的基础上，定性的解释了绝缘体、半导体和导体。

Abstract This paper expounds the background and hypothesis of the theory of band theory,on the basis of it,two models are given:Near-free electron approximation model,tight-binding approximation model.Their assumptions are different,The near - free approximation model considers that the valence electrons are approximately free and the periodic potential of the crystal is very small;The tight-binding approximation model considers electrons are strongly affected by the nucleus,The role of other atoms as perturbation.The common basis of them is the electron co movement in the periodic potential field,It is concluded that the two models can be used to study the motion of electrons. On the basis of band theory, the properties of insulator, semiconductor and conductor are explained qualitatively.
概述（背景、出发点）
能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

我们知道，实际晶体是由大量电子与原子核组成的多粒子体系，若想得到严格的固体电子理论，需求解多粒子体系的薛定谔方程。

数学上求解的困难，使我们并不能严格求解，必须采用近似的方法，即单电子近似法。

利用这种方法求解出来的电子在晶体中的状态区别于自由电子在无限空间分布的准连续能级，也区别于孤立原子的分立能级，而是在一定能量范围内准连续分布能级所组成的能带，即能带理论。

它是在利用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的，初步定性的阐明了晶体中电子的运动规律。

比如，说明晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距等，解决了经典理论所遇到的困难，并极大的推动了半导体技术的发展。

随着后来大型高速电子计算机的应用，使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到了对具体材料复杂能带结构的计算。

能带理论的假设
能带理论是一种单电子近似理论，即把每个电子的运动看做是在等效势场中的运动。

能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个晶体中运动。

称为共有化电子。

我们在讨论共有化电子的时候，假定原子实处在平衡位置，即绝热近似；假定电子处于离子势场和其他电子的平均场中运动，即平均场近似；离子势场和其他电子的平均场是周期性势场，即周期场近似。

则晶体中所有的电子满足相同的薛定谔方程与周期性边界条件，使复杂的多电子体系
问题变成单电子问题，基于单电子的薛定谔方程，加入微扰的讨论，
我们可以近似的求解电子的能级与波函数。

基于以上想法，下文讨论
单电子近似模型与紧束缚模型。

近自由电子近似模型
近自由电子近似模型是能带理论中一个最简单的模型。

由于晶体
中的价电子近似自由，与原子核的相互作用很小，则周期场的起伏很
小可以看做微扰处理。

此模型的基本思想是：认为价电子在一个很弱
的周期场中运动，价电子的行为很接近于自由电子，但是又与自由电
子不同。

因此，我们可以把自由电子看成它的零级近似，将周期场的
影响看成小的微扰进行求解。

借助这个简单的模型，给出周期场中运
动电子本征态的一些基本特点。

通过对微扰的计算，我们可以得出一些重要的结论。

考虑一维晶
格周期场的影响：在零级近似中，电子可以被看成自由粒子，能量本
征值0
E作为k的函数具有抛物线的形式，考虑了周期场的影响之后，k
微扰的结果就是原来较高的能级更高了，原来更低的能级更低了。

所
隔称为带隙，在带隙中不存在间隔。

三维周期场的影响与一维影响类似：对于k取值不在倒格子矢中
垂面或其附近的各相互作用状态之间零级能量差别很大，符合非简并
微扰条件；对于在倒格子矢中垂面或其附近的各相互作用状态，采取
简并微扰，使()k E 函数在倒格子矢中垂面处“断开”，发生突变。

三维与一维的一个重要区别是：不同能带在能量上不一定分隔开，发生能带之间的交叠。

紧束缚近似模型 近自由电子近似模型中将电子处理为周期场中近自由运动的电子，是一种极端的模型，适用于金属中的价电子；紧束缚近似则为另一种极端模型。

它认为电子在一个原子附近时，主要受到该原子的作用，把其它原子的影响看做微扰，由此可得到电子的原子能级与晶体中能带的相互联系。

这实际上是把原子间相互影响看作简并微扰方法，微扰后的状态就是N 个简并态的线性组合，即用原子轨道的线性组合来构成晶体中电子共有化运动的轨道，因而也称为原子轨道线性组合法。

微扰的结果是：每一个k 相应于一个能量本征值（一个能级），对于准连续的N 个k 值，()k E 将形成一准连续的能带。

所以形成固体时原子态将形成一相应的能带。

用公式表示：
()s R ik R s i e R J J k E ⋅-=∑-
-=近邻s 0)(ε
由上述讨论可以知道，一个原子能级i ε对应一个能带，原子的各不同能级，在固体中形成一系列相应的能带，并且愈低的能带愈窄，愈高的能带愈宽。

这是由于能量低的带对应于内层的电子，它们电子轨道小，在不同原子间很少有相互重叠，所以能带窄；反之，能量较高的外层电子轨道，在不同原子间有较多的重叠，形成较宽的能带。

值得注意的是，对于内层电子，能带宽度较小，能级与能带之间有简
单的一一对应关系；对于外层电子，能带较宽，能级与能带之间的对应关系就比较复杂，可以看为由几个相近的原子态组合形成能带。

对于紧束缚近似下能级的计算，我们下面以二维正方晶格为例，讨论二维晶格中能级的特点。

若考虑在x 轴与y 轴最近邻原子之间的距离为a 。

且考虑到近邻原子，根据紧束缚近似下的能带公式可推导出s 态的能量表达式：
()()()a k J a k J J k E y x cos 2cos 21100---=ε
带底：;0,0==y x k k ()10024J J k E --=ε
能带宽度：()()1218J k E k E E =-=∆
图一：只考虑最近邻原子影响的二维坐标图
图二：二维正方晶格能带图
能带理论解释导体、半导体、绝缘体
利用自由电子近似模型和紧束缚模型研究金属中电子运动状态都可以得出同一结论--能带。

前文中提到利用能带理论可区分导体和非导体。

固体中电子的基态按泡利不相容原理由低到高填充能量，若电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部为空的。

最高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带顶与导带底之间的能量范围称为带隙。

这种情况对应绝缘体与半导体。

带隙宽度大的（比如约10eV）为绝缘体，带隙宽度小的（比如约1eV）为半导体。

除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分被电子填充的能带，后者称为导带，对应导体的情况。