能带理论

能带理论维基百科，自由的百科全书（重定向自能带）晶体硅的能带结构示意图能带结构示意图三种导电性不同的材料比较，金属的价带与传导带之间没有距离，因此电子（红色实心圆圈）可以自由移动。

绝缘体的能隙宽度最大，电子难以从价带跃迁至传导带。

半导体的能隙在两者之间，电子较容易跃迁至传导带中。

能带理论（英语：Electronic band structure）是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。

是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。

它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。

自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能（不过仍然非常耗时，一次典型的能带结构自洽计算在普通工作站上往往需要花几个小时甚至一周多的时间才能完成）。

能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。

∙∙∙固体材料的能带结构由多条能带组成，能带分为传导带（简称导带）、价电带（简称价带）和禁带等，导带和价带间的空隙称为能隙（即右边第二副图中所示的）。

能带结构可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。

材料的导电性是由“传导带”中含有的电子数量决定。

当电子从“价带”获得能量而跳跃至“传导带”时，电子就可以在带间任意移动而导电。

一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“能隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电，而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。

一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。

因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。

对于理想晶体，其原子服从晶格排列，具有周期性，因而可以认为离子实的势场也具有周期性。

晶体中的电子在一个周期性等效势场中运动，其波动方程为：其中为周期性等效势场，为波函数，为普朗克常数，为质量，为微分算符，为能量[编辑]近自由电子模型能带理论认为，固体内部的电子，不是被束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。

第二章 能带理论 *能带：在完整的晶体中运动的的电子，其能谱值是一些密集的能级组成的带，这种带称能带。

能带与能带之间被能量禁区分开。

其中，0K 时完全空着的最低能带称导带，完全被电子占满的最高能带称价带，二者间的能量禁区称禁带。

*能带理论：又称固体能带理论。

是关于晶体中电子运动状态的一种量子力学理论。

其预言晶体中电子能量总会落在某些限定范围或“能带”中。

晶体的电学、光学和磁学等性质都与电子的运动有关，在研究这些问题时，都要用到能带理论。

能带理论成功地解释了金属、半导体和绝缘体之间的差别，解释了霍耳效应现象。

半导体物理学就是建立在能带理论基础之上的。

随着实验技术的发展，人们通过回旋共振、电光、磁光、光谱等手段已成功地测定了许多晶体的电子能带结构。

特别是近年来由于计算机技术的广泛应用，在理论上已可以对电子的能带结构进行更为精确的计算。

尽管如此，由于能带理论毕竟是经过许多简化后的近似理论，所以其只适于有序晶体，并且即使对于有序晶体，当其结构较为复杂时，能带理论处理起来往往也显得有些困难。

§2-1 晶体的薛定谔方程及其近似解一．薛定谔方程。

晶体由大量原子周期性排列构成，原子由原子核和核外电子组成。

由于内层电子不参与晶体的物理过程，因此可认为晶体是由原子最外层电子和失去电子的离子组成的。

若用i r r r r ,,,321表示电子的位矢、用 j R R R R ,,,321表示失去电子的离子的位矢，则晶体定态薛定谔方程为：ψψE H =（2-1）式中ψ为波函数，E 为能量本征值，H是哈密顿算符，且：V u u u T T H eZ Z e Z e+++++= （2-2） 式中 )2(22i ii i e m T T ∇-==∑∑为全部电子的动能算符，m 为电子质量，2222222ii i iz y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇为第i 个电子的拉普拉斯算符。

)2(22ααααα∇-==∑∑M T T Z为全部离子的动能算符，αM 为离子质量，2α∇为第α个离子的拉普拉斯算符。

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。

本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。

电子结构的能带理论和化学键的形成电子结构是描述原子、分子或者固体中电子的分布和定向性的理论框架。

能带理论是电子结构中最重要的理论之一，它通过描述材料中电子能量的分布来解释物质的导电性、光学性等性质。

而化学键的形成则是通过对分子中电子的定向配对来实现的。

本文将探讨电子结构的能带理论以及其与化学键形成的关系。

1. 能带理论能带理论由Bloch和Wigner等人在20世纪30年代提出，它描述了电子在晶格周期性势场中运动的性质。

根据这个理论，晶体中的电子行为可以通过能量-动量关系来描述。

在能带理论中，最重要的概念是能带和禁带。

能带是指具有连续能量范围的电子状态，而禁带则是指能带之间的能量范围，在这个范围内电子是禁止存在的。

导带是能带中能量最高的那一段，而价带则是能带中能量最低的那一段。

根据这个理论，材料的导电性取决于导带中是否存在电子。

2. 能带理论与化学键能带理论不仅可以用来解释固体材料的导电性，还可以用来解释化学键的形成。

在分子中，由于原子核周围电子的电荷分布不均匀，形成了局部的电势能场。

这个电势能场会导致电子在分子中运动时具有一定的定向性。

化学键的形成可以通过能带理论来解释。

在分子中，原子之间会发生电子的相互作用，形成了分子的轨道。

这些分子轨道中的电子会填充到分子的价带中。

当原子之间形成共价键或者离子键时，其价带中的电子将呈现出一定的局部化性质，即分子轨道主要局限在原子附近。

能带理论还可以解释金属中的金属键。

金属中的原子之间形成了一种称为金属键的化学键。

在金属中，大量自由电子可以自由移动，形成了金属的导电性。

金属的导电性可以通过能带理论中导带的存在来解释。

3. 电子结构的其他影响因素除了能带理论和化学键的形成，电子结构还受到其他因素的影响。

其中包括晶格畸变、外加电场以及自旋等。

晶格畸变会改变晶格结构，进而改变材料的导电性。

由于晶格畸变会破坏晶体中的周期性势场，从而影响能带结构。

这种影响可以通过调控晶格结构来实现。

能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。

前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。

能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。

每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。

为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。

能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。

致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。

被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。

价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。