高中数学：2.1.1《指数与指数幂的运算2》学案(新人教A版必修1)河北地区专用

2019-2020学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算（1）学案新人教A 版必修1 学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材） 复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，记作 ； 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，记作 .小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的 ；3327=，那么3就叫27的 ；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 . 依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >,n *∈N .简记：n a . 例如：328=，则382=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？例如：3273=，3273-=-, 记：n x a =.当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是 ，记：n a ±.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即00n =.试试：4b a =，则a 的4次方根为 ；3b a =，则a 的3次方根为 .新知：像n a 的式子就叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.试试：计算22(3)、334、(2)n n -.反思： 从特殊到一般，()n n a 、n n a 的意义及结果？ 结论：()n n a a =. 当n 是奇数时，n n a a =；当n 是偶数时，(0)||(0)n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1） 33()a -； （2） 44(7)-；（3）66(3)π-； （4） 22()a b -（a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1）532-； （2）36a .推广：npn mp m a a = （a ≥0）.※ 动手试试练1. 化简526743642++---.练2. 化简6323 1.512⨯⨯.三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质：① 若1a >，则1n a >；② 若01a <<，则01n a <<. 其中n ∈N *.学习评价※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 44(3)-的值是（ ）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？3. 对比()n n n ab a b =与()nn n a a b b=，你能把后者归入前者吗？。

2.1.1指数与指数幂的运算课前预习· 预习案【自主学习】1．次方根定义表示两个结论2．根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，其中①根指数为：；②被开方数为： .(2)性质：① (且)；②3．分数指数幂的概念分数指数幂4．无理数指数幂(1)无理数指数幂，是无理数)是一个确定的 .(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.5．有理数指数幂的运算性质(1) (，，).(2) (，，).(3) (，，). 【预习评价】1．9的平方根为A.±3B.±9C.3D.92．是实数，则下列式子中可能没有意义的是A. B. C. D.3．化为分数指数幂为A. B. C. D.4．已知，则 .5．计算： .6．计算： .知识拓展· 探究案【合作探究】1．次方根的定义定义中的取值范围是 .2．次方根的定义当为奇数时，在“且)”中，的实数值有几个？3．次方根的定义当为偶数时，在“且，)”中，的实数值有几个？4．根式的性质求值与化简中常用到与，那么它们的含义是什么？5．根式的性质成立吗？呢？6．根式的性质成立的条件是什么？7．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)观察互化公式，指出根式的根指数与被开方数分别对应分数指数幂的什么位置？8．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)请你根据所学知识思考上述互化公式是否适用于或?9．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？10．有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质是否适用于或?11．有理数指数幂的运算性质公式，，)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制?【教师点拨】1．对与的两点说明(1)已暗含有意义，根据是奇数还是偶数可知的取值范围.(2)中的可以是全体实数，的值取决于是奇数还是偶数.2．对次方根的两点说明(l)次方根的存在：任何实数都存在奇次方根；负数没有偶次方根，非负数才存在偶次方根.(2)次方根的个数：任何实数的奇次方根只有一个；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；零的次方根只有一个零.3．对有理数指数幂运算性质的两点说明(1)用分数指数幂进行根式运算，顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算.(2)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.4．对分数指数幂与根式互化的两点说明(1)分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新写法.(2)根式与分数指数幂本质上是具有相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算.【交流展示】1．已知，则的四次方根可表示为 .2．-2013的五次方根是 .3．若，则化简的结果是 .4．化简：.5．设，将表示成分数指数幂，其结果是 .6．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1). (2).7．化简的结果是A. B. C. D.8．化简： . 【学习小结】1．求解次方根的注意事项(l)当为大于1的奇数时，对任意有意义，它表示在实数范围内唯一的一个次方根.(2)当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个次方根，另一个是.2．根式化简的依据及应遵循的三个原则(1)化简依据：①且)；②(2)遵循原则：①被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.②被开方数是带分数的要化成假分数.③被开方数中不能含有分母；使用化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.3．有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.4．根式与分数指数幂互化的关键与技巧(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用公式，，，).(2)技巧：当表达武中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简，提醒：对含有多个根式的化简，要注意每一步的等价性，特别要注意字母的取值范围.5．利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的.(2)无括号先做指数运算.(3)负指数幂化为正指数幂的倒数.(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.【当堂检测】1．设，,，则，，的大小关系是A. B. C. D.2．若，则是 .3．计算下列各式：(1) .(2).(3) .4．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1).(2).(3).(4).5．已知，求的值.答案课前预习· 预习案【自主学习】1．x(1)R(2)a≥0(1)负数(2)02．（1）①n②a(2)①a②a|a|3．(2)①②(3)①0 ②负4．(1)实数5．(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r【预习评价】1．A2．C3．A4．5．6．－1知识拓展· 探究案【合作探究】1．定义中的n必须是大于1的正整数，即n＞1且n∈N*.答案n＞1且n∈N*2．因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的奇次方不同，所以当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，故x的实数值只有一个.3．因为两个相反数的偶次方相等，所以当n为偶数时，正数的n次方根有两个，故x的实数值有两个.4．(1)表示实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，a∈R.(2)表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定. 5．不一定成立，如，而成立.6．等式成立的条件是n为奇数，或n为偶数且a≥0.7．根式的根指数与被开方数指数分别对应分数指数幂的分母与分子.8．均不适用，原因如下：(1)若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即无研究的价值.(2)若a＜0，不一定成立.如＝意义，故为了避免上述情况规定了a＞0.9．引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即(a＞0，m，n∈N*且n＞1).10．(1)若a＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a≠0.(2)若a＜0，(a r)s＝a rs，也不一定成立，如，所以a＜0不成立.因此不适用于a＝0或a＜0的情况.11．成立，且不需要限制m＞n.证明如下：.【交流展示】1．2．3．1－2a4．＝2+.5．6．(1). (2).7．C8．x z－2【当堂检测】1．D2．3．(1)－3 (2)π－3 (3)2.4 4．(1).(2).(3).(4)5．因为，所以。

n
an
a
n
=a；
=|a|=
a(a a(a
0) 0)
3、分m 数指数幂的定义P51
annam (a0 ,m ,n N *且 ,n 1 )
am n1m(a0,m,nN*且 ,n1) 4、有理指a数n幂的运算性质:P51
am an amn (m, nQ)
(am )n amn(m, nQ)
(ab)n an bn (nQ)
1、n次方根的概念P49：
如果xn =a，则x为a的n次方根。
当n为奇数时，记： x n a 当n为偶数，a≥0时，记：x n a
负数没有偶次方根
2、根式的定义与运算性质:P49
a 式子 n
叫做根式 , 其中a为被开方数,n为根指数
①当n为任意正整数时，(n a)n a.
②当n为奇数时，n 当n为偶数时，
(3)(3 25 125) 4 25 6 5 5
(4) a2 (a 0) a 3 a2
6 a5
例2. 已知x+x-1=7,求下列各式的值：
1
1
3
3
(1)x2x2,(2)x2x2.
3
3
3
18
(3)
x2 x2
x 2 x2
2 3
2 5
例3． 写出使下列等式成立的x的取值范围：
3
(1)3
x13
则(1
2
xy)3
___
y
5、无理数指数幂的意义(见课本第52到53页)
一般地，无理数aα（α是无理数）是一个确定的实数； 有理指数幂的运算性质同样适用与无理指数幂。
以后不做特别说明, 认为式子中的字母取正值
三、讲解范例：

2.1.1 指数与指数幂的运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容 二、三维目标1．知识与技能（1）理解n 次方根与根式的概念； （2）正确运用根式运算性质化简、求值； （3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的概念，进而学习根式的性质. 3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力 三、教学重点教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质 四、教学难点教学难点：根式概念的理解 五、教学策略发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.六、教学准备回顾初中时的整数指数幂及运算性质，0,1(0)n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠七、教学环节 教学教学内容师生互动 设计意图环节提出问题回顾初中时的整数指数幂及运算性质.,1(0)na a a a a a a=⋅⋅⋅⋅⋅=≠0无意义1(0)nna aa-=≠;()m n m n m n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.老师提问，学生回答.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a＞0①1051025255()a a a a===②884242()a a a a===③1212343444()a a a a===④5105102525()a a a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)a a a==>12(0)b b b==>5544(0)c c c==>即：*(0,,1)mn m na a a n N n=>∈>老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成为此，我们规定正数的分数指数幂的学生计算、构造、猜想，允许交流让学概念意义为： *(0,,)m nmna a a m n N =>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n m m m ma a a a a =⋅⋅⋅⋅>讨论，汇报结论．教师巡视指导． 生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．深化 概念由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈（3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈若a ＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 57——P 58.即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.让学生讨论、研究，教师引导．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25.当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示)所以，25是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：32的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈应用 举例例题例1（P 56，例2）求值238；1225-；51()2-；3416()81-.例2（P 56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）3.a a ；322a a ⋅；3a a .分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.学生思考，口答，教师板演、点评． 例1解： ① 223338(2)=2323224⨯===；② 1122225(5)--=通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指解：117333222.a a a a aa +=⋅==；232223a a a a ⋅=⋅28233aa +==；31442133332()a a a a a a a =⋅===.课堂练习：P 59练习 第 1，2，3，4题补充练习：1. 计算：142121(2)()248n n n ++-⋅的结果； 2. 若3103,384,a a ==1310733[()]n aa a -⋅求的值.12()121555⨯--===；③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==. 例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：1332.a a a a =⋅17322aa +==；232223a a a a ⋅=⋅28233aa +==；31433a a a a a =⋅=421332()a a ==.练习答案：1.解：原式=4421262222n n n +---⋅⋅=92=512；2.解：原式=1373[(128)]n -⨯=332n -⨯.数幂的求值，提高运算能力．归纳总结1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.先让学生独自回忆，然后师生共同总结．巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．课后作业作业：2.1 第二课时习案学生完成巩固新知提升能力八、板书设计第二章基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算九、教学反思通过本堂课的学习，同学们能够完成相关习题。