最新人教版高中数学必修3第二章《用样本的频率分布估计总体分布》课堂探究

课堂探究 一、样本的频率分布 1.样本的频率分布概念 当总体很大或不便获得总体的频率时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布.根据所抽取样本的大小,分别计算某一事件出现的频率,这些频率的分布规律(取值情况),就叫做样本的频率分布. 2.样本频率分布表的编制方法 为了能直观地显示样本的频率分布情况,通常我们会将样本的容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中,这样的表就叫样本频率分布表. 列频率分布表的步骤: (1)求极差(也称求全距,即一组数据的最大值与最小值的差); (2)决定组距与组数(组距的选择应力求“取整”,如果极差不利于取整即不能被组数整除,可适当增大极差,如在左右各增加适当的范围); (3)决定分点,将数据分组(分组时常对各组数值取左闭右开区间,最后一组取闭区间);

(4)登记频数、计算频率列出频率分布表(样本容量频数频率). 状元笔记: 频率分布表在数量上比较确切,但不够直观、形象,分析数据分布的总体态势不太方便. 【示例】为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了地区内100名年龄为17.5岁～18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg) 56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 57.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 68 55 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 58 76 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5 68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62 65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5 试根据上述数据画出样本的频率分布表. 思路分析：按照步骤获得样本的频率分布表. 解：(1)求最大值与最小值的差. 在上述数据中,最大值是76,最小值是55,它们的差(又称为极差)是76—55＝21.所得的差证明这组数据的变动范围是21. (2)决定组距与组数. 如果将组距定为2,那么由21÷2＝10.5,组数为11,这个组数是适合的.于是组距为2,组数为11. (3)将数据分组. 根据数据的特点,第1小组的起点可取为54.5,第1小组的终点可取为56.5,为了避免一个数据既是起点,又是终点从而造成重复计算,我们规定分组的区间是“左闭右开”的,最后一组取闭区间.这样,所得到的分组是［54.5,56.5),［56.5,58.5),…,［74.5,76.5］. (4)列频率分布表如下. 分组 频数 频率 ［54.5,56.5) 5 0.05 ［56.5,58.5) 8 0.08 ［58.5,60.5) 9 0.09 ［60.5,62.5) 5 0.05 ［62.5,64.5) 13 0.13 ［64.5,66.5) 16 0.16 ［66.5,68.5) 12 0.12 ［68.5,70.5) 11 0.11 ［70.5,72.5) 9 0.09 ［72.5,74.5) 6 0.06 ［74.5,76.5］ 6 0.06 合计 100 1.00 状元笔记: 统计图表是表达和分析数据的重要工具,常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶统计图. 二、频率分布直方图 1.频率分布直方图 利用直方图反映样本的频率分布规律,这样的直方图称为频率分布直方图.在频率分布直方图中,由于各小长方形的面积等于相应各组的频率,所以该图形以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小. 频率分布直方图能够表示大量数据直观的分布的形状,但我们看不到在分布表中的数据模式,从直方图本身得不出原始的数据内容,也就是说,把数据表示成直方图后,原来的数据信息被抹掉了. 同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断. 在编制频率分布表时,分组组数不宜过多,否则,不仅会使计算繁琐,而且组内数据过少以致直方图不能反映出总体分布的规律;但若组数过少,组距就相对太大,直方图可能会掩盖某些细小变化规律,因此,恰当地分组是利用频率分布研究总体分布情况的极其关键的一步,需认真对待,一般地,若样本容量为n,确定分组数k应在(1＋3.3lgn)附近选. 2.画频率分布直方图的步骤 (1)将横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距;

(2)以此线段为底作一矩形,它的高等于该组的组距频率,这样得出一系列的矩形;每个矩形的面积恰好是该组上的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图. 状元笔记: 在反映样本的频率分布方面,频率分布表比较确切,频率分布直方图比较直观,它们起着相互补充的作用. 【示例】下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm) 区间界限 ［122,126) ［126,130) ［130,134) ［134,138) ［138,142) 人数 5 8 10 22 33 区间界限 ［142,146) ［146,150) ［150,154) ［154,158］ 人数 20 11 6 5 (2)画出频率分布直方图; (3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比. 思路分析：根据列样本频率分布表、画频率分布直方图的一般步骤解题. 解：(1)样本频率分布表如下: 分组 频数 频率 ［122,126) 5 0.04 ［126,130) 8 0.07 ［130,134) 10 0.08 ［134,138) 22 0.18 ［138,142) 33 0.28 ［142,146) 20 0.17 ［146,150) 11 0.09 ［150,154) 6 0.05 ［154,158］ 5 0.04 合计 120 1 (2)其频率分布直方图如下:

(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19,所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%. 3.用样本的频率分布估计总体分布 第一类:总体中的个体取不同的数值很少,几何表示为相应的条形图,条形图的高度表示取各个值的频率. 状元笔记: 频率分布条形图是用图形的高来表示取各值时所得频率,条形图越高,表示取值的频率越大. 【示例】抛掷硬币的大量重复试验的结果:试验次数为72 088,正面向上的次数为36 124,反面向上的次数为35 964. (1)频率分布表; (2)画出频率分布条形图. 思路分析：由于试验的结果只有两种,所以一般用条形图表示频率分布. 解：(1)由题意得频率分布表为: 试验结果 频数 频率 正面向上 36 124 0.501 1 反面向上 35 964 0.498 9 (2)记正面向上的结果为“0”,反面向上的结果为“1”,则频率分布条形图为:

抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体,则上表就是从总体中抽取容量为72 088的相当大的样本的频率分布表.尽管这里的样本容量很大,但由于不同取值仅有2个(用0和1表示),所以其频率分布常用频率分布表和条形图表示.其中条形图是用高来表示取各值的频率. 当试验次数无限增大时,两种试验结果的频率值就近似相应的概率,得到概率分布表,除了抽样造成的误差,精确地反映了总体取值的概率近似分布规律.这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布. 试验结果 概率 正面向上(记为0) 0.5 反面向上(记为1) 0.5 【示例】如图是某班数学考试成绩统计图,则成绩良好的学生数占总人数的_________.

思路分析：成绩良好的有16人,总人数为52,∴成绩良好的学生数占总人数的 %311345216.

答案：31% 第二类:总体中的个体取不同值较多甚至无限时,抽样时样本容量就不能太小.例如,如果要抽样调查全国公民的身高情况,那么样本容量就应比调查一个城市的时候大.随着样本容量的增加,作图时所分的组数也在增加,相应的频率折线图(连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图)会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线(如下图所示). 总体密度曲线

频率分布折线图的优点就是它反映了数据的变化趋势,如果样本容量不断增大,分组的组距不断减小,那么折线图就趋向于总体分布的总体密度曲线,总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更精细的信息.实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确. 状元笔记: (1)通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.(2)研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布. 三、茎叶图 与前面提到的图表类似,统计图表还有一种叫做茎叶图. 如:甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下: 甲的得分:15,21,25,31,36,39,31,45,36,48,24,50,37; 乙的得分:13,16,23、25、28,33,38,14,8,39,51. 上述的数据我们可以用下图来表示和评判甲、乙两名运动员的发挥水平,中间数字表示得分的十位数,两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数. 如图中“2|3 5 8”表示乙的得分23、25、28.