成都石室中学2023~2024年度下期高2024届三诊模拟数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟 ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 在ABC 中，“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）A 9x =B. 6y =C. 乙的成绩的中位数为28D. 乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4. 用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（ ）A. 1项B. 21k -项C. 12k +项D. 2k 项.5. 已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 B. ()f x 的周期为πC. (1π,4是()f x 的一个对称中心D. ()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增6. 物理学家本·福特提出定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 107. 已知函数2()2ln f x x x =+的图象在()()()()1122,,,A x f x B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则12x x +的取值可以为（ ）A.14B. 1C. 2D.1038. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直9. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（ ）A.316B.1316C.716 D. 916 10. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C的的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POFQOFS S = （ ）A.B. 3-C.D.11. 如图，射线l 与圆()()22111C x y -+-=∶，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A ，B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，其导函数()L α'的解析式为（ ）A. ()L α=' B. ()L α='C. ()L α=' D. ()L α='12. 若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数底数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ B. 3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (),0∞-D. 30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若复数12z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=________________. 14. 已知a 是1，2的等差中项， b 是 1， 16的等比中项， 则ab 等于_________ ； 15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y 均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，若的()21f =，()510f =，则()724f =________________.16. 某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 6cm 12cm ､､，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于__________.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17. 如图，在四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．（1）求sin sin BACABC∠∠的值；（2）设AC =3，求2AB ．18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值;（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内株数为X ，求 X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多 1株高度低于23cm 的概率.19. 已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-.20. 已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.（1）证明：四面体ABCD 的体积为定值；（2）已知P β∈，且P ，A ，B ，C ，D的球面上.当PA ，PB 与平面α的夹角均为θ时，求cos θ.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）我们称圆心在椭圆CC 的“环绕圆”.过原点O 作椭圆C 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C 于,A B 两点，若直线,OA OB 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半的轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23 已知函数()1f x x =-．()1解不等式()()246f x f x ++≥；()2若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．参考答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合M 中的元素，即可求解集合M 的个数. 【详解】由{}{},,M a b c a ⋂=可得：{}a M ⊆，a M ∈，,b c M ∉.又因为{},,,M a b c d ⊆， 所以{}M a =或{},M a d =.故选：B2. 在ABC 中，“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先将CA CB AB +< 等价变形为CA CB CB CA +<- ，两边平方后得0CA CB ⋅<u u u r u u u r，且,,A B C 三点不共线，即可做出判断..【详解】“CA CB AB +< ”等价于“CA CB CB CA +<-”，所以22222222CA CB CA CA CB CB CB CA CA CA CB CB ⋅-+=++<+⋅-= ，从而0CA CB ⋅<u u u r u u u r，在ABC 中，显然,,A B C 三点不共线，即两个向量CA CB,不能方向相反，则ACB ∠是钝角，则必要性成立， 若ACB ∠是钝角，则0CA CB ⋅<u u u r u u u r，则CA CB AB +< ，则充分性成立，则“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的充要条件.故选：C ．3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）A 9x =B. 6y =C. 乙的成绩的中位数为28D. 乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差【答案】C 【解析】【分析】结合茎叶图的数据分布特点，以及统计数据的极差、平均数、中位数、方差，依次分析选项，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，甲得分的极差为31，30831x +-=，解得：9x =，A 正确；对于B ，乙的平均数为()11225262031245x y =⨯+++++=乙，解得6y =，B 正确；对于C ，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数是26，C 错误；对于D ，甲的平均数()1813283239245x =⨯++++=甲，与乙的平均数相同，但根据茎叶图可得乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D 正确； 故选：C ．.4. 用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（ ）A. 1项B. 21k -项C. 12k +项D. 2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 项数，进而作差即得结论． 【详解】因为()1111232n f n =++++ ， 所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项， 则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项， 所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项， 故选：D5. 已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 B. ()f x 的周期为πC. (1π,4是()f x 的一个对称中心D. ()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得()12sin214f x x =+，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案． 【详解】由函数()1111sin cos sin 22sin 214244f x x x x x =+=+=⋅+， 由此可作出()f x 的函数图象，如图所示， 对于A 中，由()()()111π2sin 2π12sin 212sin 21444f x x x x f x -=⋅-+=⋅-+=⋅-≠， 所以()f x 关于直线π2x =不对称，所以A 错误； 的对于B 中，由()()()11π2sin 2π12sin 2144f x x x f x +=⋅++=⋅+=，所以B 正确； 对于C 中，由函数()f x 图象可知，()f x 不存在对称中心，所以C 错误； 对于D 中，因为π344f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，所以D 错误. 故选：B.6. 物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可. 【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n kk k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ， 而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =． 故选：C ．7. 已知函数2()2ln f x x x =+的图象在()()()()1122,,,A x f x B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则12x x +的取值可以为（ ）A.14B. 1C. 2D.103【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得12122222x x x x +=+，再由10x >、20x >、12x x ≠，即可得到121=x x ，最后由基本不等式求出12x x +的范围，即可判断.【详解】由2()2ln f x x x =+，则()22f x x x='+， 则()11122f x x x '=+，()22222f x x x '=+， 依题意可得12122222x x x x +=+且10x >、20x >、12x x ≠， 所以121=x x ，所以122x x +>=， 经验证，当1x 、2x 分别取3、13时12103x x +=满足题意. 故选：D8. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B 【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB ，CD 的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C两点重合，所以AB与CD相交，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．9. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A.316B.1316C.716D.916【答案】C【解析】【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.【详解】设甲船到达泊位的时间为x，乙船到达泊位的时间为y，则01 01xy≤≤⎧⎨≤≤⎩，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则14x y-≤，画出不等式组010114xyx y≤≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪-≤⎪⎩表示的平面区域，如图中的阴影部分，33171244216S =-⨯⨯⨯=阴影， 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为=671S P S =阴影. 故选：C10. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C 的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POF QOFS S = （ ）A.B. 3-C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得点C 的坐标，消参得其轨迹方程，然后与双曲线的渐近线方程联立求得点P 和Q 的纵坐标，从而把面积比转化为坐标绝对值比即可求解.【详解】由于向量OC mOA nOB =+，点()()1,0,2,3A B -，所以()2,3C m n n -+，因为40m n --=，所以点()4,3C n n -，则点C 的轨迹为3(4)y x+=， 与双曲线2212x y -=其中一条渐近线y x =，联立3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得Q y =联立3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得P y =，因此1212P POF P QOFQ Q OF y S y S y OF y ⋅====⋅ 故选：D11. 如图，射线l 与圆()()22111C x y -+-=∶，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A ，B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，其导函数()L α'的解析式为（ ）A. ()L α=' B. ()L α=' C. ()L α=' D. ()L α=' 【答案】C【解析】【分析】连接OC ，设EF 的中点为D ，连接CD ，确定π4COD ∠α=-，表示出π)4|CD |α=-，即可求得弦长()L α的表达式，利用求导公式，即可得答案.【详解】由圆()()22111C x y -+-=∶可得4(11),|πC ,|OC COA ∠=∴=， 连接OC ，设EF 的中点为D ，连接CD ，则CD EF ⊥，由π,4AOB COA α∠∠==，可得π4COD ∠α=-，故ππsin())44|CD ||OC |αα=-=-，则EF ===== 即()()L L αα='=∴ 故选：C 12. 若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (),0∞-D. 30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合可行域可知当0a =时，不成立，所以可以把()()324e ln ln 0x a y x y x +--=化为322e ln y y a x x⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设y t x =，根据可行域求出t 的取值范围；构造函数，利用导数求出函数的最小值，建立不等式求实数a 的取值范围．【详解】画出不等式组23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩表示的平面区域，如图所示，()1,4A ，()3,3B ，()4,6C ，可知当0a =时，原式不成立，所以()()324e ln ln 0x a y x y x +--=可转化为322e ln y y a x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 设y t x =，根据可行域可知14t ≤≤，()322e ln t t a-=-， 设()()22e ln f t t t =-，（14t ≤≤），则()()14e 2ln 22e 2ln 2f t t t t t t '=+-⋅=+-，()2224e 24e t f t t t t +''=+=， 因为14t ≤≤，所以()0f t ''>恒成立，则()f t '单调递增，且()e 0f '=，所以当[)1,e t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减，当(]e,4t ∈时，()0f t '>，()f t 单调递增，又()10f =，()e 2e f =-，()()()4242e ln 442e ln 40f =-=-<，所以()[]2e,0f x ∈-， 所以32e 0a-≤-≤，解得32e a ≥， 故选：B. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若复数12z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=________________.【答案】12+ 【解析】 【分析】根据复数的性质计算即可.【详解】因为12z =，所以21111(((2222z z ⋅=-⋅⋅++.故答案为：12. 14. 已知a 是1，2等差中项， b 是 1， 16的等比中项， 则ab 等于_________ ；【答案】6±【解析】【分析】根据等差和等比中项的定义求,a b ，即可求解.【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1，16的等比中项，所以211616b =⨯=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±.15. 已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y 均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()21f =，()510f =，则()724f =________________.【答案】2167【解析】【分析】通过赋值得到(3),(4)f f 的值，之后猜想()f n 的表达式，利用数学归纳法证明，之后代入()f n 表达式即可求得答案.【详解】令5,2x y ==即可求出()34f =，令2,5x y ==即可求出()47f =，()()2323x y f x f f y +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()()()62363233423133f f f f f +⨯⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 的结合()21f =，()34f =，()47f =，()510f =，()613f =可猜想()()31235f n n n =--=-. 下面用数学归纳法证明：当()*6N n n ≤∈时，由上述知()35f n n =-成立.假设当()*,N n k n k ≤∈时有()35f n n =-，则当1n k =+时，不妨设6k ≥，()()()()()()125132533253k k f k f f k f k f k ⎛⎫++-+=--=--- ⎪⎝⎭()()()()()33352355315k k k =-----=+-.所以()35f n n =-成立，所以()724372452167f =⨯-=.故答案为：2167.16. 某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 6cm 12cm ､､，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于__________.【解析】 【分析】用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线，本题水面到达杯底的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则BD 是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴，12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，记BD 与12O O 的交点为12F O O ，的中点为E ，由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，由垂径定理知EO 垂直平分MN ，再求椭圆的离心率即可.【详解】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则6,8,12.AB CD BC BD ===是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴.12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，则12O O BH ====，BD ====，记BD 与12O O 交点为12,F O O 的中点为E ，则12OE O O ⊥，12122123::4:3,7FO FO O D O B FO O O ===， 221212121312714EF EO FO O O O O O O =-=-=， 1212222311:::1:6,14762O O O O OE O B EF FO OE O B =====， 由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，()121722EM O D O A =+=.由垂径定理知EO 垂直平分MN，OM ON ===记椭圆的离心率为e ，长半轴长､短半轴长､半焦距为a b c ､､，则222222222311,4c a b b e e a a a -===-=-==. 三、解答题（本题共6道小题，共70分）17. 如图，在四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．的（1）求sin sin BAC ABC∠∠的值； （2）设AC =3，求2AB ．【答案】（1（2）15-【解析】【分析】（1）根据对称的性质和已知条件可得AD ‖BC ，则CAD ACB ∠=∠，45ACB CAD ∠=∠=︒，再利用正弦定理可求得结果；（2）在ACD 中利用正弦定理可求出CD ，再在ABC 中利用余弦定理可求得结果.【小问1详解】因为C 点关于直线BD 的对称点在直线AD 上，所以DB 平分ADC ∠，所以ADB CDB ∠=∠，因为CBD CDB ∠=∠，所以ADB CBD ∠=∠，BC =CD ，所以AD ‖BC ，所以CAD ACB ∠=∠，因为30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒，所以45ACB CAD ∠=∠=︒，所以sin sin sin 45sin sin sin 60BAC BC CD CAD ABC AC AC ADC ∠∠︒=====∠∠︒． 【小问2详解】因为在ACD 中，由正弦定理得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠,所以3sin 45sin 60CD =︒︒3=，所以CD =CB =，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AB CB CA CB CA ACB =+-⋅⋅∠2233cos 4515=+-⨯︒=-．18. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值;（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求 X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多 1株高度低于23cm 的概率.【答案】（1）0.125；（2）分布列见解析，()65E X =； （3）26125【解析】【分析】（1）根据频率和为1，即可求解a ；（2）首先确定高度在[)15,17和[)17,19的株数，再按照超几何分布，即可求解；（3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【小问1详解】依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，所以X 可取0，1，2.所以()3335C 10C 10P X ===，()213235C C 3231C 105P X ⋅⨯====，()123235C C 3132C 1010P X ⋅⨯==== 所以X 的分布列为：X 01 2P110 35310所以()13360+1+2=105105E X =⨯⨯⨯ 【小问3详解】从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在[]21,25为事件M ，至多1株高度低于23cm 为事件N ，则()321131111C 2222P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22312331113113C ×+C 255105125P MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()()1326125|11252P NM P N M P M ===. 19. 已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-. 【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导分析()f x '的符号，讨论()f x 的单调性，即可求解.（2）先对()g x 求导，结合导数与单调性及极值的关系，得到12b a =-，再结合要证不等式构造函数()ln 2ln 24h a a b a a =+=+-，求导并结合单调性与最值即可证明.【小问1详解】函数2()ln f x ax x =-的定义域为(0,)+∞，求导得2121()2ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，由()0f x '<，得0x <<，由()0f x '>，得x >，即函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.【小问2详解】函数2()()ln g x f x bx ax x bx =+=-+的定义域为(0,)+∞， 求导得1()2g x ax b x=-+'， 由1x =是()g x 的极值点，得(1)210g a b =-+='，即12b a =-，212(12)1(21)(1)()212ax a x ax x g x ax a x x x+--+-=-+-=='， 而0a >，则当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减，当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增， 所以当1x =时，()g x 取得极小值.设()ln 2ln 24,0h a a b a a a =+=+->，求导得1()4h a a'=-， 当10a 4<<时，()0'>h a ，当14a >时，()0h a '<， 则函数()h a 在1(0,)4上单调递增，在1(,)4+∞上单调递减，因此1()()1ln404h a h ≤=-<，所以2+ln 12ln 2b a ≤-.20. 已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.（1）证明：四面体ABCD 的体积为定值；（2）已知P β∈，且P ，A ，B ，C ，D 的球面上.当PA ，PB 与平面α的夹角均为θ时，求cos θ.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）四面体ABCD 补成一个斜三棱柱，这个斜三棱柱的体积为定值，则四面体ABCD 的体积为定值.（2）首先判断球心O 的位置，然后判断出P 点的轨迹，然后求得sin θ的值，进而求得cos θ的值. 【详解】（1）如图，平移线段AB 使得A 与C 重合，并将四面体ABCD 补成一个斜三棱柱.则该斜棱柱的底面积122sin 602S =⨯⨯⨯︒=，高1h =，所以该斜棱柱的体积为定值. 此斜棱柱恰好可以分为两两底面积相同，高相同的三个三棱锥. 于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的13.所以四面体ABCD 的体积为13V Sh ==.（2）设球心是O ，并设O 与平面α，平面β的距离分别是1h ，2h .由OA OB OC OD ====可知，O 在A ，B 的中垂面和C ，D 的中垂面的交线上. 设AB 的中点是M ，CD 的中点是N .则由勾股定理得12OM ON ==. 注意到1211h h OM ON =+≤+=，所以O ，M ，N 共线，且MN ⊥平面α. 因为P β∈，且PA ，PB 与平面α的夹角均为θ，所以PA PB =.而P ，A ，B ，C ，D 均在球O 上，所以P 在以N 为圆心，CD 为直径的圆上.所以PA PB ===于是sin h PA θ==，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以cos θ==. 21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）我们称圆心在椭圆CC 的“环绕圆”.过原点O 作椭圆C 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C 于,A B 两点，若直线,OA OB 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的取值范围.【答案】（1）22154x y +=（2）(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】分析】（1）根据条件可得225,4a b ==即可得椭圆方程； （2）先设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，由题意得环绕圆方程，由直线与圆相切及同解方程可得12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，结合圆心()00,x y 在椭圆C 上得2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭，由0x 的范围可得最终答案. 【小问1详解】由题意，得c a =1222a b ⋅⋅=，又222a b c =+， 解得225,4a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22154x y +=.【小问2详解】【设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，“环绕圆”的圆心D 为()00,x y .由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为()()22001x x y y -+-=. 因为直线1:OA y k x =与“环绕圆”1，化简得()222010*******x k x y k y --+-=. 同理可得()222020*******x k x y k y --+-=.所以12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，所以22001220110,Δ0,1y x k k x --≠>=-. 又因为“环绕圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，所以代入椭圆方程22154x y +=中，可得220154x y +=，解得2200445y x =-. 所以2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭. 又因为2005x ≤≤且2010x -≠，所以20110x -≤-<或20014x <-≤.所以20111x ≤--或201114x ≥-，所以2011111x -≥-或20111114x -≤--， 所以20111435x ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭或201111454x ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭. 所以12k k 的取值范围是(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭. 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2【解析】【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，极坐标方程先根据公式化为直角坐标方程，再化为参数方程即可.（2）利用参数方程，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质确定点P 到直线l 的距离的最小值即可. 【小问1详解】因为直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ，曲线1C的极坐标方程为ρ=， 消去参数，直线l0y -+=，曲线1C 的普通方程为：226x y +=，所以1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.【小问2详解】由（1）有：1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由题意知，曲线2C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以可设点()cos P θθ，又直线l0y -+=，故点P 到直线l的距离为：d 所以当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，mind =，即点P 到直线l[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数()1f x x =-．()1解不等式()()246f x f x ++≥；()2若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．【答案】（1）4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）用分段讨论法解绝对值不等式．（2）由综合法证明不等式，注意因式分解的应用22221a b a b --+= ()()2211a b --．试题解析：（1）由()()246f x f x ++≥得：2136x x -++≥， 当3x <-时，2136x x -+--≥，解得3x <-；当132x -≤≤时，2136x x -+++≥，解得32x -≤≤-； 当12x >时，2136x x -++≥，解得43x ≥；综上，不等式的解集为4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）证明：()()11f ab f a b ab a b >-+⇔--， 因为1a <，1b <，即21a <，21b <，所以221||ab a b ---= 2222212a b ab a ab b -+-+-= 22221a b a b --+= ()()22110a b -->，所以221|||ab a b --，即1ab a b ->-，所以原不等式成立.【点睛】解绝对值不等式常用方法一是数形结合，二是分段讨论，也就是找到每个绝对值的零点再分段讨论．。
