湖南汝城一中2007届高三数学综合考试试题(

2007年湖南高考试卷数学（文史类）（试题卷）注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。

（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。

（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4. 本试卷共5页。

如缺页，考生须声明，否则后果自负。

绝密★启用前数 学（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式2x x >的解集是A ．(),0-∞B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞⋃+∞ 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A ．EF OF OE =+ B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--3. 设()2:400p b ac a ->≠，()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程有实根，则p 是q 的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件4．在等比数列{}()n a n N *∈中，若1411,8a a ==，则该数列的前10项和为 A ．8122- B . 9122- C. 10122- D . 11122-5．在()()1n x n N *+∈的二项展开式中，若只有5xA ．8B . 9 C. 10 D .116．如图1，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是A ．1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与AC 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是8．函数244()43x f x x x -⎧=⎨-+⎩11x x ≤>的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B .2 C.3 D . 49．设12F F 、分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P （c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭圆的离心率是A ．12B . 12C. 12 D . 210. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12S S M k 、、、S 都是的含两个元素的子集，且满 足：对任意的{}{}{}(),,,,1,2,3,,i i i j j jS a b S a b i j i j k ==≠∈、，都有{}()min ,min ,min ,j j i i i i j j a b a b x y b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭表示两个数x 、y 中的较小者.则k 的最大值是A ．10B .11 C. 12 D . 13二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上. 11. 圆心为()1,1且与直线4x y +=相切的圆的方程是 . 12. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3a c C π===，则A= .13. 若232340,,log 9a a a >==则 . 14. 设集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+⋂≠∅，（1）b 的取值范围是 .（2）若(),,x y A B ∈⋂且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .15.棱长为1的正方形1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E 、F 分别是该正方形的棱11AA 、DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 .图2三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分） 已知函数()212sin 2sin cos 888f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求： (Ⅰ)函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.17.（本小题满分１２分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 18.（本小题满分１4分）如图3，已知直二面角45PQ A PQ B C BAP αβαβ--∈∈∈∠=，，，，，直线CA 和平面α所成的角为30. (Ⅰ)证明BC PQ ⊥；(Ⅱ)求二面角B AC P --的大小.19.（本小题满分13分）已知双曲线222x y -=、B 两点，点C 的坐标是（1，0）.（Ｉ）证明CA CB ⋅为常数；（Ⅱ）若动点M CM CA CB CO =++满足（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程.20.（本小题满分13分）设{}()22211,3,0n n n n n n S a n N n a a S n a S a *-∈==+≠是数列的前项和，且，2,3,4,n =.（Ⅰ）证明数列{}2(2)n n a a n +-≥是常数数列；（Ⅱ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}()n b n N*∈中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项.21.（本小题满分13分）已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3-内各有一个极值点. （Ⅰ）求24a b -的最大值；（Ⅱ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式.2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯= 所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是 22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是 1230.90.10.027C ⨯⨯=． 3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ．因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥， 又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BOPQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC⊥．（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥． 过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则AO =3sin 30OH AO ==在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==于是在Rt BOH △中，tan 2BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2． 解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=． 不妨设2AC =，则AO =1CO =．在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(030)A ，，，(001)C ，，．所以(3AB =，，(0AC =，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z -=+=⎪⎩，取1x =，得1n =．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．A BCQα β P O HQ所以1212cos 5||||51n n n n θ===⨯．故二面角B AC P --的大小为． 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+-- 2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得 12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=． 解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可）21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

2007 年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷
数学（文史类）全解全析
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1．不等式 x2 x 的解集是
A． , 0
B. 0,1
C. 1,
D. , 0 1,
【答案】D
【解析】由 x2 x 得 x（x-1）>0，所以解集为 , 0 1,
9
0+2b=9，所以 b=
2 15.棱长为 1 的正方形 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积
是
；设 E、F 分别是该正方形的棱 AA1、DD1 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段
.
【答案】 (x 1)2 ( y 1)2 2
【解析】半径 R= | 1 1 4 | 2 ，所以圆的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 2 2
12. 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 a 1, c
A=
.
π
【答案】
6
3,C ，则 3
3
【解析】由正弦定理得 a c sin A a sin C 2 1 ，所以 A= π
（1） b 的取值范围是
.
（2）若 x, y A B, 且 x 2y 的最大值为 9，则 b 的值
是
.
【答案】（1）[2， ) （2） 9 2
【解析】（1）由图象可知 b 的取值范围是 [2， ) ；（2）
b 2
2
若 x, y A B, 则（x，y）在图中的四边形内，t= x 2 y 在（0，b）处取得最大值，所
足 ： 对 任 意 的 Si ai ,bi , S j a j ,bj i j,i、j 1, 2,3, , k ， 都 有

高考数学试卷第Ⅰ卷一、选择题1．a 是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．51 B ．51-C ．135 D ．135-2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝ A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与b A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为A ．112422=-y xB ．141222=-y x C ．161022=-y xD ．110622=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1B ．－1C ． 2D ．－26．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为22，且位于x y 10,x y 10+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是 A ．（1，1） B ．（－1，1） C ．（－1，－1） D ．（1，－1）7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．51B ．52C ．53 D ．54 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= A ．2B ．2C ．22D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10．2n1(x )x-的展开式中，常数项为15，则n ＝ A ．3B ．4C ．5D ．611．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．812．函数2cos2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是 A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数　学（文史类）试卷注意事项:1．答题前,考生务必将自己地姓名、准考证号写在答题卡和该试卷卷地封面上,并认真核对条形码上地姓名、准考证号和科目。

2．考生作答时,选择题和非选择题均须作在答题卡上,在草稿纸和本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按如下要求答题:（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目地解析标号所在方框涂黑,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹。

（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答无效。

（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。

3．考试结束后,将本试卷卷和答题卡一并交回。

4. 本试卷共5页。

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一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地1．不等式x x >2地解集是A ．)0,(-∞ 　B ．)1,0(C ．),1(+∞ 　D ．),1()(+∞⋃-∞2．若O 、E 、F 是不共线地任意三点,则以下各式中成立地是A ．OE OF EF += B ．OEOF EF -=C ．OE OF EF +-=　D ．OEOF EF --=3．设)0(04:2≠>-a ac b p ,:q 关于x 地方程)0(02≠=++a c bx ax 有实根,则p 是q 地A ．充分不必要条件 　B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等比数列{}()*N n a n ∈中,若81,141==a a ,则该数列地前10项和为A ．8212- B ．9212- C ．10212- D ．11212-5．在()()*1N n x n ∈+地二项展开式中,若只有5x 地系数最大,则A ．8B ．9C ．10　D ．116．如图1,在正四棱柱 1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别是11BC AB 、地中点,则以下结论中不成立地是图1A ．1BB EF 与垂直B ．垂直与BD EF C ．异面与CD EF D ．异面与11C A EF 7．根据某水文观测点地历史统计数据,得到某条河流水位地频率分布直方图（如图2）,从图中可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次地洪水地最低水位是A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米=n图28．函数113444)(2>≤⎩⎨⎧+--=x x x x x x f 地图象和函数x x g 2log )(=地图象地交点个数是A ．1 B ．2 　C ．3 D ．49．设21F F 、分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 地左、右焦点,P 是其右准线上纵坐标为c 3（c 为半焦距）地点,且P F F F 221=,则椭圆地离心率是A ．213- B ．21 C ．215- D ．2210．设集合{}654321，，，，，=M , k S S S 、、、⋯21都是M 地含两个元素地子集,且满 足:对任意地{}{}{}()k j i j i b a S b a S i i j i i i ,,3,2,1,,,,⋯∈≠==、,都有{}()中的较小者、表示两个数y x y x a b b a a b b a j j j j i i i i ,min ,min ,min ⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧则k 地最大值是A ．10 B ．11C ．12D ．13二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把解析填在横线上。