南通市2015-2016年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若直线l过两点P（1，3）和Q（2，2）,则l的斜率为．2．在△ABC中，若∠A=60°,∠B=45°，BC=3，则AC=．3．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为．4．若直线l上有两个点在平面α内,则下列说法正确的序号为①直线l上至少有一个点在平面α外；②直线l上有无穷多个点在平面α外；③直线l上所有点都在平面α内；④直线l上至多有两个点在平面α内．5．直线x+a2y﹣a=0（a＞0），当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为．6．在数列｛a n｝中,a1=1，a11=3，且任意连续三项的和为9,则a2016=．7．三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC 的体积为V2，则=．8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC，则cosB的值为．9．已知点P1(2，3）、P2(﹣4,5）和A（﹣1,2），则过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程为．10．已知实数x,y满足条件，则y﹣（）x的最大值为．11．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1=0，两个顶点为A(1，2），B（﹣1，﹣1），则顶点C的坐标为．12．等比数列｛a n｝中,a n＞0,a1=256，S3=448，T n为数列{a n}的前n项乘积，则T n当取得最大值时,n=．13．已知正实数x,y满足x﹣y=xy,x﹣4y﹣a=0，则实数a的取值范围为．14．如图，一个箱子的每个面都是矩形且边长都是正整数,若它的对角线PQ=9，则这个箱子的体积最大可能值是．二、解答题（共6小题,满分90分）15．已知直线l1：（m﹣2）x+3y+2m=0，l2:x+my+6=0（1)若直线l1与l2垂直，求实数m的值;(2）若直线l1与l2平行，求实数m的值．16．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD（1）求证：BD⊥PC；(2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证:BC∥l．17．已知等比数列[a n}满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2)若b n=+log2，S n=b1+b2+…+b n,求使S n+35＜0成立的n的最小值．18．为了做好“双11"促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品重新包装，设计方案如下：将一块边长为20cm的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′,△SFF′,△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的礼品袋S﹣EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合,F与F′重合，G与G′重合,H与H′重合（如图所示）,设AE=BE′=x（cm）．(1）求证：平面SEG⊥平面SFH;（2）若电商要求礼品袋的侧面积不少于128cm2，试求x的取值范围；(3)当x=5时,该电商打算将礼品袋S﹣EFGH全部放入一个球形状的包装盒内密封，求包装盒的内径R的最小值．19．在直角坐标系中，已知射线OA:x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0)．过点P(1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A,B．(1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时,求直线AB的方程；(2)当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时,求直线AB的方程．20．已知数列｛a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列｛b n｝是首项为1，公比为q(q＞1）的等比数列．（1）若a5=b5,q=3，求数列{a n•b n｝的前n项和；（2）若存在正整数k（k≥2），使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(共14小题,每小题5分，满分70分)1．若直线l过两点P(1,3）和Q（2,2）,则l的斜率为﹣1．【考点】直线的倾斜角．【分析】根据题意,由两点间直线的斜率计算公式k=,代入数据计算即可得答案．【解答】解：根据题意，P(1，3）,Q（2,2），则k PQ==．即过P(1，3)，Q（2，2）两点的直线l的斜率为：﹣1．故答案为:﹣1．2．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【考点】正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°,BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：23．已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为16．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质，有2x+4y≥2=2，将已知条件x+2y=6代入可得答案．【解答】解：根据基本不等式的性质，有2x+4y≥2=2=2=16,当且仅当2x=4y即x=2y=3时取等号，∴2x+4y的最小值为16．故答案为：16．4．若直线l上有两个点在平面α内,则下列说法正确的序号为③①直线l上至少有一个点在平面α外；②直线l上有无穷多个点在平面α外；③直线l上所有点都在平面α内；④直线l上至多有两个点在平面α内．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据两点确定一条直线，得出直线l上有两点在平面α内，则直线l在平面α内．【解答】解：若直线l上有两个点在平面α内，则直线l在平面α内，所以直线l上所有点都在平面α内．所以正确的命题是③．故答案为：③．5．直线x+a2y﹣a=0(a＞0),当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为1．【考点】直线的截距式方程．【分析】化为截距式、利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：方程可化为+=1，∵a＞0,∴截距之和t=a+≥2，当且仅当a=,即a=1时取等号，故a的值为1．故答案为：1．6．在数列{a n｝中，a1=1，a11=3，且任意连续三项的和为9，则a2016=5．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】a n+a n+1+a n+2=9，a1=1,a11=3，可得:a9=5，a6=5，a3=5．可得：a2016=a3，即可得出．【解答】解:∵a n+a n+1+a n+2=9,a1=1，a11=3，∴1+a2+a3=9,a2+a3+a4=9，可得a4=1，同理可得：a7=a10=1,a9=5．∴a8=3，a6=5，a5=3，a3=5．可得：a2016=a3=5．故答案为：5．7．三棱锥P﹣ABC中，D,E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC 的体积为V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2,∴A到底面PBC的距离不变,底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为:．8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosB的值为．【考点】正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得c=，a=，再由余弦定理可得cosB的值．【解答】解：在△ABC中,∵b﹣c=a,2sinB=3sinC,∴利用正弦定理可得：2b=3c,求得c=，a=．再由余弦定理可得cosB===．故答案为：．9．已知点P1（2，3）、P2（﹣4，5）和A（﹣1,2）,则过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程为x+3y﹣5=0或x=﹣1．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由题意可知过点A且与点P1,P2距离相等的直线有两种情况，当直线与点P1，P2的连线平行时,由两点式求出斜率，再由点斜式写出直线方程,当直线过线段P1P2的中点时,由中点坐标公式求出线段P1P2的中点，然后直接得到直线方程．【解答】解：①当直线与点P1，P2的连线平行时，由直线P1P2的斜率k==﹣,所以所求直线方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+3y﹣5=0；②当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点为(﹣1，4），所以直线方程为x=﹣1．∴所求直线方程为x+3y﹣5=0或x=﹣1，故答案为：x+3y﹣5=0或x=﹣1．10．已知实数x,y满足条件，则y﹣（）x的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=y﹣()x，利用z的几何意义,结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=y﹣(）x，则y=(）x+z，平移曲线y=（）x+z，当曲线y=（）x+z经过点A时，z取得最大值，由,解得,即A（1，1），此时z=1﹣（)1=，故答案为：．11．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y﹣1=0，两个顶点为A（1,2），B（﹣1,﹣1）,则顶点C的坐标为（﹣2。

江苏省重点中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷2江苏省重点中学2015-2016学年度第一学期高一年级期末统测数学试题注意事项：1.本试卷满分是160分，考试时间是120分钟。

2.答卷前，请先务必将自己的班级、姓名、考号写在答题卡上。

试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内。

考试结束后，交回答题卡。

．．．一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上. ．．．．1. 已知全集则2. 函数3)的最小正周期为3. 函数的定义域为．4. 已知角的终边经过点则．若幂函数的图像过点(2,2)，则．计算：． 8．已知，则f((1))的值为▲ ．8. 已知是第二象限角，且，则＝． 139．方程的根，其中则10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当时，，则f(sin▲ ．11. 已知函数，若则．12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是减函数．若，则实数a的取值范围是▲ ．113．已知函数y＝loga(4＋b)(a，b为常数，其中a＞0，a≠1)的图象3x如图所示，则a＋b的值为▲ ．14. 若函数f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，且当时，当2，则． 4二、解答题: 本大题共6小题，共计90分. 请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出．．．．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题14分）已知集合，（1）求若且试写出集合C的所有子集.16. （本题15分）(1)已知，计算-（2）化简：-求； 2（3）已知17．（本题14分）已知函数4)（其中）的振幅为2，周期为．（1）求的解析式并写出的单调增区间；（2）将f(x)的图像先左移4个单位，再将每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图像，求g(x)解析式和对称中心(m,0)，。

218. （本题15分）经市场调查，某种商品在过去50天的日销售量和价格均为销售时间t （天）的函数，且日销售量近似地满足．前30天价格为，后20天价格为． 2（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；（2）求日销售额S的最大值．19．（本题满分16分）探究函数4,x∈(0,+∞)的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：4,(x>0)在区间(0,2)上递减，则在上递增； x4(2)当x= 时，的最小值为 x4(3)试用定义证明在区间(0,2)上递减； x4(4)函数有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？ x(1)若函数解题说明：(1)(2)两题的结果直接填写在答题纸横线上；(4)题直接回答，不需证明.320. （本小题满分16分）定义R在上的单调函数f(x)满足，且对任意都有（1）求f(0)；（2）求证:f(x)为奇函数；（3）若对任意恒成立,求实数k的取值范围. xxx4高一数学期末答案及评分标准一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在下面的横线上．)1．．．．2315 5． 6．6 7．4 8．．3 521210．．．． 14． 324二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．(本题14分)解：（1）分)（2）………………………………………………………(8分)（10分）（14分）集合C的子集有16．(本题15分)解：（1）（5分）（2）-（10分）3…………………………………………………………（15分） 8 （3）17．（本题14分）解：（1）4（4分）)………………………………………………………增区间为（2），分)分) 4对称中心为……（14分）18. （本题15分）解：（1）当时，（2分）当时，（2分） 2345日销售额S与时间t的函数关系为：（7分）（2）若时，所以，当时，（11分） 22若时，（13分）综上，当时日销售额的最大值为6400元………………………（15分）19．（本题满分16分）；…………………………………………………………………………（2分）(2)2；4；………………………………………………………………………（2分）（3）证明略……………………………………………………………………………（14分）（4）有最大值，此时x值为（16分）20. （本小题满分16分）（1）分)（2）证明:令，则有即；所以，所以f(x)为奇函数。

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．） 1．设{}{}|12,|03A x x B x x =-<<=<<，则A B =__________________【答案】（—1，3） 【解析】 试题分析：{|13}AB x x =-<<．考点：集合的运算．2．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3,4}，则(∁uA)∩B = 【答案】{3，4} 【解析】试题分析：{3,4,5}U C A =，(){3,4}U C A B =．考点：集合的运算．3．已知函数(){}22,1,2,3f x x x x =+∈-，则()f x 的值域是 ▲ ． 【答案】{3,8}考点：函数的值域．4．已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = 【答案】－1 【解析】试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．考点：函数的奇偶性．5．某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 【答案】12考点：集合的运算．6．若()2241f x x =+，则()f x 的解析式为 ▲ ． 【答案】2()1f x x =+ 【解析】试题分析：因为22(2)41(2)1f x x x =+=+，所以2()1f x x =+． 考点：7．下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ▲ ．【答案】D 【解析】试题分析：只有D 中对每个x 只有唯一的y 与它对应，因此它是函数的图象． 考点：函数的概念．8．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]-，则(1)y f x =+的值域为 ▲ 【答案】[1,2]- 【解析】试题分析：函数()y f x =的图象向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象，因此它们的值域相同．9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(,1]-∞上是减函数，那么a 的取值范围是 ▲ ．【答案】a ≤－2考点：二次函数的性质．【名师点晴】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调性： 当0a >时，在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增；当当0a <时，在(,]2ba-∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减． 10．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出满足不等式[()][()]f g x g f x >解集是 【答案】{2} 【解析】试题分析：((1))(3)1f g f ==，((1))(1)3g f g ==，((2))(2)3f g f ==，((2))(3)1g f g ==，((3))(1)1f g f ==，((3))(1)3g f g ==，只有2x =是不等式[()][()]f g x g f x >的解．考点：函数的定义．11．设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧≥⎨⎩-，＜，，若()f a a >，则实数a 的取值范围是【答案】a >2或0<a <2 【解析】试题分析：当2a ≥时，2()2f a a a =->，解得2a >，当2a <时，()2f a a a =>，解得02a <<，综上有2a >或02a <<12．函数y的定义域是 ▲ ．【答案】{}01x x x <≠-且考点：函数的定义域．【名师点晴】函数定义域的求法：通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。

2015-2016学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（3.00分）函数f（x）=的定义域是．2．（3.00分）集合{0，1}的子集的个数为．3．（3.00分）求值log345﹣log35=．4．（3.00分）已知角α的终边过点P（2，﹣1），则sinα的值为．5．（3.00分）已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．6．（3.00分）函数f（x）=cos（x﹣），x∈[0，]的值域是．7．（3.00分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）．8．（3.00分）将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为．9．（3.00分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=2，且=，=，则•=．10．（3.00分）已知函数f（x）=﹣log2x的零点为x0，若x0∈（k，k+1），其中k为整数，则k=．11．（3.00分）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，则f[f （）]=．12．（3.00分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是．13．（3.00分）若函数f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2的图象与x轴有交点，则实数m 的取值范围是．14．（3.00分）若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值﹣1的x的值均唯一，则ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知sinx=，其中0≤x≤．（1）求cosx的值；（2）求的值．16．（10.00分）已知向量=（2，﹣1），=（3，﹣2），=（3，4）（1）求•（+）；（2）若（+λ）∥，求实数λ的值．17．（10.00分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：件）近似地满足：f （t）=﹣t+30（1≤t≤20，t∈N*），日销售价格（单位：元）近似地满足：g（t）=（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．18．（10.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，且f（0）=f（）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间．19．（10.00分）已知向量、、，满足||=，||=，•=﹣5，=x+（1﹣x）．（1）当⊥时，求实数x的值；（2）当||取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．20．（10.00分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的“渐近函数”（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数，并求此时实数p的值；（2）若函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，求实数a 的值，并说明理由．2015-2016学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（3.00分）函数f（x）=的定义域是（3，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则x﹣3＞0，即x＞3．∴函数f（x）=的定义域是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．2．（3.00分）集合{0，1}的子集的个数为4．【解答】解：集合{0，1}的子集有：∅，{0}，{1}，{0，1}共4个．故答案为：4．3．（3.00分）求值log345﹣log35=2．【解答】解：log345﹣log35=log39=2．故答案为：2．4．（3.00分）已知角α的终边过点P（2，﹣1），则sinα的值为﹣．【解答】解：∵角α的终边过点P（2，﹣1），∴r=，故sinα==﹣，故答案为：﹣．5．（3.00分）已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【解答】解：由题意可得圆心角大小为α=2（rad），半径为r=3，则扇形的面积为S=r2α==9cm2．故答案为：9．6．（3.00分）函数f（x）=cos（x﹣），x∈[0，]的值域是[，1] ．【解答】解：∵x∈[0，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴当x﹣=﹣即x=0时，函数取最小值，当x﹣=0即x=时，函数取最大值1，故函数的值域为[，1]故答案为：[，1]7．（3.00分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）b＜a＜c．【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．8．（3.00分）将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为y=sin （2x﹣）．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式：y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），故答案为：y=sin（2x﹣）．9．（3.00分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=2，且=，=，则•=﹣4．【解答】解：以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B （3，0），E（3，1），F（1，2）．∴=（3，1），=（﹣2，2）．∴•=﹣6+2=﹣4．故答案为﹣4．10．（3.00分）已知函数f（x）=﹣log2x的零点为x0，若x0∈（k，k+1），其中k为整数，则k=2．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数在定义域上为减函数，∵f（1）=3＞0，f（2）=﹣log22=﹣1=＞0，f（3）=1﹣log23＜0，∴函数f（x）在（2，3）内存在唯一的一个零点x0，∵x0∈（k，k+1），∴k=2，故答案为：2．11．（3.00分）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，则f[f（）]=．【解答】解：函数f（x）=，则f[f（）]=f[ln]==．故答案为：．12．（3.00分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是．【解答】解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴故答案为：13．（3.00分）若函数f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2的图象与x轴有交点，则实数m 的取值范围是（0，+∞）．【解答】解：若f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2的图象与x轴有交点，即f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2=0，有根，即m•4x=3×2x+1+2，则m==+，设t=，则t＞0，则函数等价为m=6t+2t2=2（t2+3t）=2（t+）2﹣，∵t＞0，∴y=6t+2t2=2（t2+3t）=2（t+）2﹣＞0，即m＞0，故答案为：（0，+∞）14．（3.00分）若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值﹣1的x的值均唯一，则ω的取值范围是[，）．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值﹣1时的x的值均唯一，∴≤ω•2π+＜2π+，求得≤ω＜，故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8.00分）已知sinx=，其中0≤x≤．（1）求cosx的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵sinx=，0≤x≤，∴cosx==；（2）∵sinx=，cosx=，∴原式===．16．（10.00分）已知向量=（2，﹣1），=（3，﹣2），=（3，4）（1）求•（+）；（2）若（+λ）∥，求实数λ的值．【解答】解：（1）=（6，2），=2×6﹣1×2=10．（2）（+λ）=（2+3λ，﹣1﹣2λ），∵（+λ）∥，∴4（2+3λ）﹣3（﹣1﹣2λ）=0，解得λ=﹣．17．（10.00分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：件）近似地满足：f （t）=﹣t+30（1≤t≤20，t∈N*），日销售价格（单位：元）近似地满足：g（t）=（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．【解答】解：（1）由题意知，S=f （t）•g（t）=…（4分）（2）当1≤t≤10，t∈N*时，S=（2t+40）（﹣t+30）=﹣2 t2+20t+1200=﹣2 （t﹣5）2+1250．因此，当t=5时，S最大值为1250；…（7分）当11≤t≤20，t∈N*时，S=15（﹣t+30）=﹣15t+450为减函数，因此，当t=11时，S最大值为285．…（9分）综上，S的最大值为1250．答：当t=5时，日销售额S最大，最大值为1250元．…（10分）18．（10.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，且f（0）=f（）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间．【解答】（本题满分为10分）解：（1）由函数图象可得：A=2，又由f（0）=f（），可知函数f（x）一条对称轴为x==，故函数f（x）的最小正周期T=4（﹣）=π．（2）由（1）可得：ω==2，由点（，﹣2）在函数图象上，可得：2sin（×2+φ）=﹣2，解得：φ=2kπ+，k∈Z，又0＜φ＜2π，可得：φ=，f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）．故由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z即可解得函数单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．19．（10.00分）已知向量、、，满足||=，||=，•=﹣5，=x+（1﹣x）．（1）当⊥时，求实数x的值；（2）当||取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）||=，||=，•=﹣5，=x+（1﹣x）；当⊥时，•=•[x+（1﹣x）]=x•+（1﹣x）=0，∴﹣5x+5（1﹣x）=0，解得x=；（2）∵=x2+2x（1﹣x）•+（1﹣x）2=10x2﹣10x（1﹣x）+5（1﹣x）2=25x2﹣20x+5，当x==时，||取得最小值，此时=+，∴•=+•=×10+×（﹣5）=1，且||=1，∴向量与的夹角余弦值为cos＜，＞===．20．（10.00分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的“渐近函数”（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数，并求此时实数p的值；（2）若函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，求实数a 的值，并说明理由．【解答】（1）证明：依题意，令t（x）=f（x）﹣g（x），则t（x）=﹣（x+1）=，∵t′（x）=﹣＜0，∴t（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且t（x）=0，∴0＜t（x）≤t（0）=2，于是函数g（x）=x+1是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数，此时实数p=2；（2）解：记t（x）=f（x）﹣g（x）=﹣ax，则t′（x）=﹣a，∵函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，∴当x∈[0，+∞）时t′（x）＜0，即＜a，令函数q（x）=，其中x∈[0，+∞），当x=0时，q（x）=0；当x≠0时，q（x）===在区间（0，+∞）上单调递增，且q（x）=1，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f ．(x ．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴a ≥1．。