山东省济宁市高二数学周练(26)新人教A版

2022-2023学年高中高二下数学普通考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 落在平静水面上的石头，使水面产生同心圆形波纹，在持续的一段时何内，若外围圈波的半径（单位：）与时间（单位：）的函数关系是．则在末，扰动水面面积的变化率为（ ）A.B.C.D.2. 山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有（ ）A.种B.种C.种D.种3. 已知数列的前项和，则( )A.B.C.D.4. 若函数在处有极值，则，的取值为( )A.，或，B.，r m t s r =8t 2s 72π/sm 2144π/sm 2256π/sm 2512π/sm 214161820{}a n n =−2n S n n 2+=a 1a 31234f(x)=+a +bx +x 3x 2a 2x=110a b a=−3b=3a=4b=−11a=4b=−11bC.，D.以上答案都不正确5. 已知函数的定义域为，且满足，其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.6. 已知 为等比数列，若 ，则( )A.B. C.或D.或7. 如图，给条线段的个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A.B.C.D.8. 若，，，则，，的大小关系为 A.B.a=−3b=3f(x)R f(x −2)=−f(−x)f (x)′x <−1(x +1)[f(x)+(x +1)f (x)]<0′f(1)=4xf(x −1)<8(−∞,−2)(2,+∞)(−2,2)(−∞,−2)∪(2,+∞){}a n =2,=8a 3a 5+=a 7a 8−3296−3296−9632754244896120ln a =−1=e b 2–√3c =ln 3a b c ()a >c >bb >c >ac >b >aC.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 等差数列中，，，是数列的前项和，则 A.B.是中的最大项C.是中的最小项D.10. 用数字，，，，，组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是( )A.可组成个不重复的四位数B.可组成个不重复的四位偶数C.可组成个能被整除的不重复四位数D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为11. 已知等差数列的前项和为，，公差，则下列结论正确的为( )A.B.，均为的最大值C.D.当时，的前项和为，则12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )A.当时，B.函数 有个零点C.的解集为D.，都有卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）c >b >aa >b >c{}a n =11a 5=−10a 12S n {}a n n ()+=1a 1a 16S 8{}S n S 9{}S n ||<||a 8a 9012345360156963852310{}a n n S n ||=||a 5a 11d <0=0a 8S 7S 8S n >0S 16d =−2{||}a n n T n =76T 12f (x)R x <0f (x)=(x +1)e x x >0f (x)=(1−x)e xf (x)2f (x)>0(−1,0)∪(1,+∞)∀,∈R x 1x 2|f ()−f ()|<2x 1x 2f(x)f'(x)f(x)=2xf'(1)+ln x f(x)(1,f(1))13. 已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为________．14. 已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②；③使得最大的值是；④数列中最大项为；⑤，其中正确的命题的序号是________.15. 已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是________.16. 一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发，每次只爬一格，沿向上或向右方向爬至点，则爬行方法共有________种．（用数字作答）四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 从包括，两人的个人中选出人排成一排．（1）若任意选人，有多少种不同的排法？（2）若，两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？（3）若，两人都在内且，不相邻，有多少种不同排法？（4）若排头和排尾不允许站，正中间（第三位）不允许站，有多少种不同的排法？ 18. 首项为的等差数列，满足成等比数列，且．求的通项公式；记数列的前项和为，若，求的值． 19. 已知函数＝．（1）求曲线＝在点（）处的切线方程；（2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由． 20. 已知数列的前项和为，．证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；设，求数列的前项和． 21. 已知函数.f(x)f'(x)f(x)=2xf'(1)+ln xf(x)M (1,f(1))S n {}a n n >>S 6S 7S 5d <0>0S 11>0S n n 12{}S n S 12||>||a 6a 7f (x)=ax ln x −+a 12x 2a O (0,0)(5,2)A B 755A B A B A B A B 2{}a n ，，a 1a 2a 4≠a 1a 2021(1){}a n (2){}(n ∈)1a n a n−1N ∗n T n =T n 5052021n f(x)(x +a)ln x −(a +1)(x −1)y f(x)1,f(1)a f(x)(0,+∞)a {}a n n S n =2−3n(n ∈)S n a n N ∗(1){+3}a n {}a n (2)=b n n 3a n {}b n n T n f(x)=(x −2)−a(x −1+e(a ∈R)e x 12)2(1)f(x)若是的极小值点，求实数的取值范围；若，证明：当时,. 22. 设集合表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为；②对任意，，都有．（1）若函数，证明是奇函数；并当，，求，的值；（2）设函数（为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若＝，讨论函数＝的零点个数．(1)x =1f(x)a (2)a =e m ≥2⋅f(x)>m(ln x −)+2x x x −1x 2Ωf(x)f(x)(−1,1)x y ∈(−1,1)f(x)∈Ωf(x)f(m)f(n)a g(x)Ωh(x)(k ≥0)y h[h(x)]−2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学普通考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用变化率的定义，即可得出结论．【解答】解：在末，扰动水面面积的变化率为．故选：．2.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分有物理无历史，无物理有历史，无物理无历史讨论即可.【解答】解：当选择的科目有物理无历史时，有种情况；当选择的科目无物理有历史时，有种情况；当选择的科目无物理无历史时，有种情况，小明不同的选科情况有种.故选.3.【答案】B2s π⋅=256π162C =6C 24=6C 24=4C 346+6+4=16B【考点】数列递推式【解析】数列的前项和，所以， ，可得.【解答】解：∵，，∴.故选．4.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】求导数，利用函数在＝处有极值，得到两个条件＝和＝，然后利用方程组求解，．【解答】解：由题意，得函数的导数为：，因为函数在处有极值，所以，且，即解得或当，时，，，所以函数有两个相等的解，不是极值点，且函数没有极值，所以不满足条件；当，时，，，所以函数有两个不相等的解，是极值点，即满足条件．故选.5.【答案】{}a n n =−2n S n n 2==1−2=a 1S 1−1=−=3−0=3a 3S 3S 2+a 1a 3==1−2=a 1S 1−1=−=3−0=3a 3S 3S 2+=2a 1a 3B x 110f(1)10f (1)′0a b f(x)=+a +bx +x 3x 2a 2f (x)′=3+2ax +b x 2f(x)=+a +bx +x 3x 2a 2x=110f (1)′=0f(1)=10{3+2a +b =0,1+a +b +=10,a 2{ a =−3,b =3{ a =4,b =−11,a=−3b=3f (x)′=3−6x +3x 2Δ=−4×3×3=062f (x)′x =1a=4b=−11f (x)=3+8x −11′x 2Δ=−4×3×(−11)=196>082f (x)′x =1BD【考点】导数求函数的最值【解析】由题意设，求出后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出在上递增，由条件和图象平移判断出：函数的图象关于点中心对称，由奇函数的图象可得：函数是奇函数，令，判断出的奇偶性和单调性，再等价转化不等式，求出不等式的解集．【解答】由题意设，则，∵当时，，∴当时，，则在上递增，∵函数的定义域为，且满足，故，即，其图象关于点中心对称，∴函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令，∴是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，∵，∴∴不等式化为：，即，解得：或∴不等式的解集是，故选：．6.【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】由条件求得，，可得公比，再由，运算求得结果．【解答】解：∵为等比数列，设公比为，则，g(x)=(x +1)f(x)g'(x)g(x)(−∞,−1)f(x −1)(0,0)f(x −1)h(x)=g(x −1)=xf(x −1)h(x)g(x)=(x +1)f(x)g'(x)=f(x)+(x +1)f'(x)x <−1(x +1)[f(x)+(x +1)f'(x)]<0x <−1f(x)+(x +1)f'(x)>0g(x)(−∞,−1)f(x)R f(x −2)=−f(−x)f(x +1−2)=−f(−x −1)f(−1+x)=−f(−1−x)(−1,0)f(x −1)(0,0)f(x −1)h(x)=g(x −1)=xf(x −1)h(x)R (−∞,0)h(x)(0,+∞)f(1)=4h(2)=2f(1)=8xf(x −1)<8h(x)<h(2)|x |>2x >2x <−2(−∞,−2)∪(2,+∞)D =1a 4=2a 5q ==2a 5a 4⋅⋅=(⋅⋅)q a 3a 6a 7a 2a 5a 8{}a n q ==2，==8a 3a 1q 2a 5a 1q 41∴，．∴，∴当时，；当时，∴或.故选．7.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解析 法一：第一步先涂三点，这三点的颜色必须各异，不同的涂色方法种数是；第二步涂两点，各有种，所以不同的涂色方法种数有，故选．法二：第一步先涂三点，这三点的颜色必须各异，不同的涂色方法种数是；第二步除两点，假设已涂的三种颜色顺序分别为，未使用的颜色为，那么可涂的颜色分别为涂，可以选择中的一种颜色，共种方法；涂，可以选择中的一种颜色，共种方法，所以不同的涂色方法种数有，故选．8.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵，，∵，，=a 112=4q 2q =±2q =2+=+=×+×=32+64=96a 7a 8a 1q 6a 1q 712261227q =−2+=+=×(−2+×(−2=32−64=−32.a 7a 8a 1q 6a 1q 712)612)7+=a 7a 8−3296C B ，C ，E A 34A ，D 2×2×2=96A 34C A ，B ，E A 34C ，D A ，B ，E 1，2，34C ，D C 1D 2，42C 4D 1，22(2+2)=96A 34C ln a =−1∴a ==e −11e =e b 2–√∴b =ln =ln =ln 22–√21212c =ln 3，，，，，令，，令，得，当 时，，单调递减，当时，，单调递增，∴为最大值，而，，，综上，．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】暂无【解答】解：，故正确．，，解得，，所以中无最小项，故错误．，，，故正确，错误．故选．10.【答案】B,C【考点】排列、组合及简单计数问题3c =ln 3∴c =ln 33∴a =ln e e b =ln 22c =ln 33f (x)=ln x x (x >0)(x)==f ′x −ln x 1x x 21−ln x x 2(x)=0f ′x =e x >e (x)<0f ′f (x)0<x <e (x)>0f ′f(x)f(e)b ====ln 223ln 26ln 236ln 86c ====ln 332ln 36ln 326ln 96∴c >b a >c >b A +=+=1a 1a 16a 5a 12A =+4d =11a 5a 1=+11d =−10a 12a 1=23a 1d =−3{}S n C =−3n +26a n =2>0a 8=−1<0a 9B D AB排列、组合的应用进行简单的合情推理【解析】【解答】解：，首位为非数，剩下的三位全排列，即个，故错误；，①在末位，有种，②不在末位，有种，所以共有种，故正确；，四个相加能被整除的四个数为，，，，它们排列出来的数一定可以被整除，所以共有种，故正确；，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，因而第个数字是前两位为的最小数，即为，故错误．故选.11.【答案】A,B,D【考点】等差数列的性质等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得.又∵ ，．且，，则，即，故正确；∵，，，均为的 最大值，故正确；，故错误；当 时， ，则 ，∴，故正确．A 0×=300≠360C 15A 35AB 0=60A 350=96C 12C 14A 2460+96=156B C 3(0,1,2,3)(0,1,3,5)(0,2,3,4)(0,3,4,5)(1,2,4,5)34⋅+=96C 13A 23A 44CD 1=60A 3520=12A 2421=12A 2485232301D BC d <0>a 5a 11||=||a 5a 11∴≠a 5a 11∴=−a 5a 11>0a 5∴+4d =−(+10d)a 1a 1+7d =0a 1=0a 8A =0a 8d <0∴S 7S 8S n B =(+)S 16162a 1a 16=8(+)=8<0a 8a 9a 9C d =−2+7d =0a 1=14a 1=++⋯+−T 12a 1a 2a 8−−−a 9a 10a 11a 12=(+)−82a 1a 8(+++)a 9a 10a 11a 12=4(14+0)+(2+4+6+8)=56+20=76D ABD故选．12.【答案】C,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，函数是定义在上的奇函数，当时，，所以当时，，则，本选项错误；，因为函数是定义在上的奇函数，所以，令，得是函数的一个零点，由奇函数性质得是函数的另一个零点，故函数 有个零点，本选项错误；，当时，令，解得，当时，令，解得，综上可知， 的解集为，本选项正确；，当时，，所以时，，时，，在上单调递减，在 上单调递增；当时，取最小值，且时，，所以，即；当时，，在上单调递增，在上单调递减，当时，取最大值，且时，，所以，所以，所以的值域为.所以 都有，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】ABD A f (x)R x <0f (x)=(x +1)e x x >0f(−x)=−f(x)=(−x +1)e −x f(x)=(x −1)e −x B f (x)R f(0)=0f (x)=(x +1)=0e x x =−1f(x)x =1f (x)3C x <0f (x)=(x +1)>0e x −1<x <0x >0f (x)=−f (−x)=−(1−x)>0e −x x >1f (x)>0(−1,0)∪(1,+∞)D x <0(x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′−2<x <0(x)>0f ′f (x)(−∞,−2)(−2,0)x =−2f (x)−e −2x <−2f (x)<0f (x)<f (0)=1−<f (x)<1e −2x >0(x)=(2−x)f ′e −x f (x)(0,2)(2,+∞)x =2f (x)e −2x >2f (x)>0f (x)>f (0)=−1−1<f (x)≤e −2f (x)(−1,]∪[,1)−e −2e −2∀,∈R x 1x 2|f ()−f ()|<2x 1x 2CD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】对，两边求导后令，可求得，即切线斜率，在等式中令求得，据点斜式即可求得切线方程．【解答】解：对，两边求导得.令得，解得，所以，所以在点处的切线方程为，即.故答案为：.14.【答案】①②③⑤【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将由第六项和第七项的正负判定．【解答】解：①，因为，所以，，所以，，所以，即，所以，故①正确；②，因为，所以，故②正确；③，因为，则，，故③正确；④，因为，，，x +y +1=0f(x)=2xf'(1)+ln x x =1f'(1)x =1f(1)f(x)=2xf'(1)+ln x f'(x)=2f'(1)+1x x =1f'(1)=2f'(1)+1f'(1)=−1f(1)=2×(−1)+0=−2M y −(−2)=−(x −1)x +y +1=0x +y +1=0,S 11S 12>>S 6S 7S 5−<0S 7S 6−>0S 6S 5<0a 7>0a 6>a 6a 7−<0a 7a 6d <0>0a 6==11>0S 11(+)×11a 1a 112a 6>S 7S 5−=+>0S 7S 5a 6a 7=6(+)=6(+)>0S 12a 1a 12a 6a 7d <0>0a 6<0a 7S所以当时，，递减，故数列的最大项不可能是，故④错误；⑤，且，所以，故⑤正确.故答案为：①②③⑤.15.【答案】【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数的零点函数在某点取得极值的条件函数的图象【解析】1【解答】解：易得令 ，得，即．设，），则，当时，；当时，或，所以函数在区间和）上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．n ≥7<0a n S n {}S n S 12>0，<0a 6a 7+>0a 6a 7||>||a 6a 7a <0(x)=a (1+ln x)−x.f ′(x)=0f ′a(1+ln x)−x =0a =(x >0,x ≠)x 1+1nx 1e g(x)=(x >0x 1+ln x x ≠1e (x)=g ′ln x (1+ln x)2(x)>0g ′x >1(x)<0g ′0<x <1e <x <11e g(x)(0,)1e (,11e (1,+∞)f (x)=ax ln x −+a 12x 2y =a g(x)=(x >0,x ≠)x 1+ln x 1e g(x)=x 1+ln x由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以.故答案为：.16.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】根据题意，由原点出发，沿向上或向右方向爬至点，需要向上走步，向右走步，一共走步；可以在步中任选步向上，剩下的步向右，有种情况．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】从人中任选人来排队共有种不同的排法；先从，两人中任选人有，再从剩余的人中任选人有种不同的方法，共有种不同的排法，因，都在内种不同结果，，使用插空法共有种不同排法，第一类：所选人无、，有种不同排法；第二类：所选人有无，有种不同排法；第三类：所选人无有，有种不同排法；第四类：所选人有、，若排中间时，有，若不排中间时，有a <0a =1a =1(x)=f ′ln x −x +1≤0f (x)a <0a <021O (0,0)(5,2)257725×1C 2775A B 152A B A 5A B 5A B 5A B 5A B A A，共有种不同排法；综上，共有种不同排法．【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】解：设数列的公差为，则由题意，，∴或者，又∵，∴，∴，∴．，∴ …… ，由得．【考点】等比数列的性质等差数列的通项公式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：设数列的公差为，则由题意，，∴或者，又∵，∴，∴，∴．6001560(1){}a n d =(+3d)(+d)a 12a 1a 1⇒=d d 2a 1d ==2a 1d =0≠a 1a 2021d ≠0d =2=+(n −1)2=2n a n a 1(2)1a n a n+1==14n (n +1)(−)141n 1n +1=[(1−)+(−)+T n 14121213+(−)]1n 1n +1=n 4(n +1)=n 4(n +1)5052021n =2020(1){}a n d =(+3d)(+d)a 12a 1a 1⇒=d d 2a 1d ==2a 1d =0≠a 1a 2021d ≠0d =2=+(n −1)2=2n a n a 1−)111，∴ …… ，由得．19.【答案】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）若在具有单调性，则或恒成立，分，两种情况讨论，即可求得满足条件的的取值集合．【解答】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，(2)1a n a n+1==14n (n +1)(−)141n 1n +1=[(1−)+(−)+T n 14121213+(−)]1n 1n +1=n 4(n +1)=n 4(n +1)5052021n =2020f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}f'(1)f(1)f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0a >0a f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．20.【答案】证明：∵，∴，则，∴，∴，∵时，，∴，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列；∴，∴；解：，则，令，则，两式相减可得，∴，∴．【考点】等比关系的确定等比数列的通项公式数列递推式数列的求和【解析】（1）根据，求得，整理可得，即可证明数列是等比数列，从而可求出数列的通项公式；（2）分组，再利用错位相减法，即可求数列的前项和．【解答】x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}(1)=2−3n S n a n =2−3(n +1)S n+1a n+1−=S n+1S n =2−2−3a n+1a n+1a n =2+3a n+1a n +3=2(+3)an+1a n n =1==2−3a 1S 1a 1=3a1+3=6a 1{+3}a n 62+3=6⋅=3⋅a n 2n−12n =3⋅−3a n 2n (2)==n ⋅−nb n n 3a n 2n =(1⋅+2⋅+...+n ⋅)−(1+2+...+n)T n 21222n'=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 21222n 2'=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 22232n+1−'=1⋅+1⋅+1⋅+...+1⋅−n ⋅T n 2122232n 2n+1=−2−n ⋅2n+12n+1'=(n −1)⋅+2T n 2n+1=(n −1)⋅+2−T n 2n+1n(n +1)2=−a n+1S n+1S n =2+3a n+1a n +3=2(+3)a n+1a n {+3}an {}a n {}b n n T n (1)=2−3n S =2−3(n +1)S +1+1证明：∵，∴，则，∴，∴，∵时，，∴，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列；∴，∴；解：，则，令，则，两式相减可得，∴，∴．21.【答案】解：的定义域为当时，，则令，得当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增；此时是的极小值点，符合题意；当时，令，得或.当时，则,所以当时，,所以在上单调递增；当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极小值点，符合题意；当时，当时，，所以在上单调递增，不是的极值点.当时，则所以当时，,所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极大值点，不符合题意.综合，得.证明：由可知当时，在上单调递增；又，所以当时，；当时，；所以当或时，都有.要证不等式对任意都恒成立，即证对任意都恒成立.设，则.(1)=2−3n S n a n =2−3(n +1)S n+1a n+1−=S n+1S n =2−2−3a n+1a n+1a n =2+3a n+1a n +3=2(+3)a n+1a n n =1==2−3a 1S 1a 1=3a 1+3=6a 1{+3}a n 62+3=6⋅=3⋅a n 2n−12n =3⋅−3a n 2n (2)==n ⋅−n b n n 3a n 2n =(1⋅+2⋅+...+n ⋅)−(1+2+...+n)T n 21222n '=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 21222n 2'=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 22232n+1−'=1⋅+1⋅+1⋅+...+1⋅−n ⋅T n 2122232n 2n+1=−2−n ⋅2n+12n+1'=(n −1)⋅+2T n 2n+1=(n −1)⋅+2−T n 2n+1n(n +1)2(1)f(x)x ∈R,(x)=(x −1)(−a)f ′e x ①a 0x ∈R −a >0e x (x)=0f ′x =1x <1(x)<0f ′f(x)(−∞,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)②a >0(x)=0f ′x =1x =ln a ()1˙0<a <e ln a <1x <ln a (x)>0f ′f(x)(−∞,ln a)ln a <x <1(x)<0f ′f(x)(ln a,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)(ii)a =e (x)=(x −1)(−e)f ′e x x ∈R (x) 0f ′f(x)R x =1f(x)( iii )a >e ln a >1x <1(x)>0f ′f(x)(−∞,1)1<x <ln a (x)<0f ′f(x)(1,ln a)x >ln a (x)>0f ′f(x)(ln a,+∞)x =1f(x)①②a ∈(−∞,e)(2)(1)a =e f(x)(0，+∞)f(1)=00<x <1f(x)<0x >1f(x)>00<x <1x >1>0f(x)x −1⋅f(x)>m(ln x −)+2x x x −1x 2x ∈(0,1)∪(1,+∞)>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)g(x)=−x(x >0)ln x x (x)=g ′1−ln x −x 2x 2h(x)=1−ln x −,h(1)=02h(x)(0，+∞)设且在上单调递减，所以方程的唯一解为，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以当时，.当时，对任意都恒成立.所以当时，不等式对任意都恒成立.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：的定义域为当时，，则令，得当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增；此时是的极小值点，符合题意；当时，令，得或.当时，则,所以当时，,所以在上单调递增；当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极小值点，符合题意；当时，当时，，所以在上单调递增，不是的极值点.当时，则所以当时，,所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极大值点，不符合题意.综合，得.证明：由可知当时，在上单调递增；又，所以当时，；当时，；所以当或时，都有.要证不等式对任意都恒成立，h(x)=1−ln x −,h(1)=0x 2h(x)(0，+∞)(x)=0g ′x =10<x <1(x)>0g ′g(x)(0，1)x >1(x)<0g ′g(x)(1，+∞)x >0g(x) g(1)=−1m ≥2mg(x)+2=m(−x)+2<−m +2 0ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)m ≥2>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)(1)f(x)x ∈R,(x)=(x −1)(−a)f ′e x ①a 0x ∈R −a >0e x (x)=0f ′x =1x <1(x)<0f ′f(x)(−∞,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)②a >0(x)=0f ′x =1x =ln a ()1˙0<a <e ln a <1x <ln a (x)>0f ′f(x)(−∞,ln a)ln a <x <1(x)<0f ′f(x)(ln a,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)(ii)a =e (x)=(x −1)(−e)f ′e x x ∈R (x) 0f ′f(x)R x =1f(x)( iii )a >e ln a >1x <1(x)>0f ′f(x)(−∞,1)1<x <ln a (x)<0f ′f(x)(1,ln a)x >ln a (x)>0f ′f(x)(ln a,+∞)x =1f(x)①②a ∈(−∞,e)(2)(1)a =e f(x)(0，+∞)f(1)=00<x <1f(x)<0x >1f(x)>00<x <1x >1>0f(x)x −1⋅f(x)>m(ln x −)+2x x x −1x 2x ∈(0,1)∪(1,+∞)m(−x)+2f(x)即证对任意都恒成立.设，则.设且在上单调递减，所以方程的唯一解为，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以当时，.当时，对任意都恒成立.所以当时，不等式对任意都恒成立.22.【答案】对题中条件取＝＝，得＝，再取＝，得＝＝，即函数在，内为奇函数，所以（）＝＝＝，又（）＝＝，解得＝，＝．（由函数＝）是奇函数，得＝＝＝，则＝，此时＝）＝，且＝有意义，①由，则对于任意实数，（1），有＝•）＝，（）＝，所以＝（），②由＝＝，得＝，令＝，则＝，作出图像：>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)g(x)=−x(x >0)ln x x (x)=g ′1−ln x −x 2x 2h(x)=1−ln x −,h(1)=0x 2h(x)(0，+∞)(x)=0g ′x =10<x <1(x)>0g ′g(x)(0，1)x >1(x)<0g ′g(x)(1，+∞)x >0g(x) g(1)=−1m ≥2mg(x)+2=m(−x)+2<−m +2 0ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)m ≥2>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)x y 0f(0)0y −x f(x)+f(−x)f(0)2f(x)(−1f f(m)+f(−n)f(m)−f(n)1f f(m)+f(n)4f(m)f(n)g(x)lg(a−g(0)lga 0lg1a 8g(x)lg(1−lg g(0)6>6x g(x)+g(y)lg+lg lg g lg g(x)+g(y)g y h[h(x)]−24h[h(x)]2t h(x)h(t)2由图可知，当时，对应有个零点，当时，只有一个，当时，，，＝，由＝＝），得在时，三个分别对应一个零点，在时，，个，共个，综上所述，当时，当或时，当时，函数＝有个零点．【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答k ≤73k >1t 8<k ≤11<k +4≤<−221−1<<3t 2t 3≥7k +1−(k+<k ≤5t 0<k ≤k +2≤15k >1k ≤0<k ≤50<k ≤y h[h(x)]−26。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。