第46卷 第2期华北理工大学学报(自然科学版)V o l .46 N o .22024年04月J o u r n a l o fN o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )A pr .2024收稿日期:2023-11-01 修回日期:2024-03-20基金项目:河北省数据科学与应用重点实验室项目(10120201),唐山市数据科学重点实验室项目(10120301).第一作者:李丽红,女,硕士,教授,研究方向:数据挖掘㊁三支决策㊂E -m a i l :22687426@q q .c o m. 通讯作者:李航,女,硕士研究生,研究方向:粒计算㊁三支决策㊂E -m a i l :1907017729@q q.c o m. D O I :10.3969/j.i s s n .2095-2716.2024.02.014文章编号:2095-2716(2024)02-0124-09基于云模型的三支决策方法及应用李丽红1,2,3,李航1(1.华北理工大学理学院,河北唐山063210;2.河北省数据科学与应用重点实验室,河北唐山063210;3.唐山市数据科学重点实验室,河北唐山063210)关键词:云模型;条件概率;综合损失函数;三支决策;水资源承载力摘 要:针对决策过程中的随机性㊁模糊性和不确定性,将云模型与 三分而治 的思想进行结合,提出一种融合云模型的三支决策模型㊂首先构建评价指标体系,利用熵权法计算指标权重;其次,确定每个等级的取值范围,根据云模型隶属度函数确定隶属度;然后构造条件概率以及综合损失函数,从而得到三支决策规则,实现三个域的划分㊂将模型应用于长江经济带水资源承载力分析,并根据决策结果进行分析㊂中图分类号:O 225 文献标识码:A为了对粗糙集上㊁下近似划分得到的三个区域提供合理的语义解释,姚一豫提出了三支决策的概念[1],三支决策是将整体分为3个独立的部分,对不同的部分分别采取接受㊁延迟㊁拒绝决策,能有效的对复杂问题进行求解㊂近年来三支决策理论和应用被学者广泛研究[2-3]㊂在三支决策中,损失函数由决策者直接评估或实验得出,条件概率通常通过信息系统所隐含的粗略隶属度来计算,该过程中的主观性和随机性给决策带来了新问题㊂利用损失函数特征优化模型㊁结合现有理论求解条件概率和损失函数得到最佳阈值等被学者广泛研究[4-5]㊂P A N 等[6]提出一种新的区间值三支决策理论来解决不确定环境下的多准则决策问题,将阈值和条件概率转化成区间值,为不同决策情形下的对象提供新的决策规则㊂徐健锋等[7]通过研究损失函数之间的逻辑关系,根据4种不同的损失函数分布情况获得一种阈值确定方法㊂李召等[8]根据区间值模糊事件概率度量估计条件概率,在直觉模糊信息下定义新的三支决策规则㊂云模型是由李德毅院士提出的一种定量与定性转化模型,其基本方法是通过云发生器实现定性概念与定量数值的双向转化,可以刻画决策过程中存在的随机性㊁模糊性以及两者之间的关联性[9]㊂目前云模型已在模糊评估㊁决策分析㊁智能控制等众多方面被广泛应用[10-12]㊂针对水资源承载力评价问题,C a o 等[13]给出了一种基于云模型和证据推理方法的评价模型,利用云模型实现指标值与关联度的转换,通过证据推理方法得到评价指标的可靠度分布函数和水资源承载力等级概率分布,构建了水资源承载力评价方法;牛莉霞等[14]提出一种基于可拓学和云模型的水资源承载力综合评价模型㊂相较于其他评价方法云模型具有处理不确定性和模糊性㊁可视化等优点,能够更全面㊁准确地指导决策;将云模型应用到三支决策中,可以弱化条件概率和损失函数选取的主观性,减小决策代价损失㊂基于此,本文将评价等级界限转化为云模型形式,通过级别特征值估计条件概率,通过云模型隶属度信息构造各对象的综合损失函数,构建一种新的三支决策模型,最后将此模型应用到长江经济带水资源承载力评价中,提出优化建议㊂1相关理论1.1 三支决策三支决策是在传统的二支决策基础上加入 延迟决策 选项,将不能立即做出决策的部分划分到边界域延迟决策,可以提高决策准确性㊂定义1[15]:假设U =x 1,x 2, ,x n {}为有限非空论域,基于条件集C ,三支决策通过映射f 将U 划分成3个彼此相互独立的区域:L -域㊁M -域㊁R -域,即: f :U ңL ,M ,R {}(1)定义2[15]:假设U =x 1,x 2, ,x n {}为有限非空论域,给定一个评价函数v (x ),并设定一阈值对α,β(),其中β<α㊂通过评价值与设定阈值将论域U 划分为正域(P O S (X ))㊁边界域(B N D (X ))㊁负域(N E G (X ))这3个决策区域㊂具体规则如下:如果v (x )<β,则对象被划分到负域;如果β£v (x )£α,则被划分到边界域;如果v (x )>α,则被划分到正域㊂三支决策过程如下图1所示㊂图1 三支决策过程设状态空间Ω={X ,¬X }表示对象x 的两种不同状态,集合A ={a P ,a B ,a N }表示对x 采取的3种不同行为,a P ㊁a B ㊁a N 分别表示对象x 属于㊁不一定属于和不属于集合X 的行为㊂决策损失代价函数如表1所示㊂表1 损失代价函数X¬Xa P λP P λP N a B λB P λB N a NλN PλNNλP P ㊁λB P ㊁λN P 分别表示当x 属于X 时,采取行为a P ㊁a B ㊁a N 产生的损失;λP P ㊁λB P ㊁λN P 分别表示当x 不属于X 时,采取行为a P ㊁a B ㊁a N 产生的损失㊂P r (X |[x ])是条件概率,对于x 来说,采取决策行为时的期望代价为:R (a P |[x ])=λP P P r (X |[x ])+λP N P r (¬X |[x ])R (a B |[x ])=λB P P r (X |[x ])+λB N Pr (¬X |[x ])R (a N |[x ])=λN P P r (X |[x ])+λNN Pr (¬X |[x ])ìîíïïïï根据贝叶斯理论,最小代价决策规则如下:(P )若R (a P |[x ])£R (a B |[x ])且R (a P |[x ])£R (a N |[x ])成立,则x ɪP O S (X );(B )若R (a B |[x ])£R (a P |[x ])且R (a B |[x ])£R (a N |[x ])成立,则x ɪB N D (X );(N )若R (a N |[x ])£R (a P |[x ])且R (a N |[x ])£R (a B |[x ])成立,则x ɪN E G (X )㊂由于P r (X |[x ])+P r (¬X |[x ])=1,且λP P £λB P £λN P ,λNN £λB N £λP N ,则决策规则可简化为:(P 1)若P r (X |[x ])⩾α成立,则x ɪP O S (X );521 第2期 李丽红,等:基于云模型的三支决策方法及应用(B 1)若β<P r (X |[x ])<α成立,则x ɪB N D (X );(N 1)若P r (X |[x ])£β成立,则x ɪN E G (X )㊂其中,α㊁β的取值为α=λP N -λB N (λP N-λB N )+(λB P -λP P )㊁β=λB N -λNN(λB N -λNN )+(λN P -λB P )㊂1.2 云模型云模型由李德毅院士提出,用于处理模糊信息和不确定性问题㊂云模型将模糊概念和随机性相结合,能够更好地描述和处理不确定性信息㊂定义3[9]:设U 为定量论域,C 为论域U 上的定性概念,若x ɪU 为C 的一次随机实现,x 对C 存在一个隶属度μɪ0,1[]为有稳定分布的随机数:μx ():U ң0,1[],则x ,μx ()()在论域U 上的分布称为云,且每个x ,μx ()()称为一个云滴㊂E x ,E n ,H e 为云的数字特征,称为云模型(E x ,E n ,H e ),其中期望E x 是定性概念的中心值,表示整个云的重心,熵E n 则代表不确定性程度,它不仅能反映云滴的离散程度,还可以反映可接受的云滴范围,超熵H e 表示熵的不确定性,即熵的熵,反映了云的厚度㊂若随机变量x 满足x ~R N E x ,y (),y ~R N En ,H e (),且隶属度函数满足指数形式 μx ()=e x p -x -E x ()22y2{}(2)则所有云滴构成的分布为正态云模型㊂正态云模型是最重要的云模型㊂正向云发生器[9]是由云的数字特征(E x ,E n ,H e )产生大量云滴,即定量的数值㊂算法如下:(1)生成以E n 为期望,H e 为方差的一个正态随机数E n ';(2)生成以E x 为期望,E n'为方差的一个正态随机数x ;(3)计算隶属度y =e x p -x -E x ()22E n'2{},一个x ,y ()即为一个云滴;(4)重复步骤(1)~(3),直至产生N 个云滴㊂2决策过程2.1 确定指标权重熵权法是一种客观的多指标决策方法,用于确定不同指标的权重[16]㊂该方法通过计算每个指标的信息熵来确定其权重,以此来反映不同指标对决策结果的贡献程度㊂信息熵越小则权重越大㊂熵权法计算步骤如下:(1)首先确定要分析的指标集合,然后收集指标相关的数据,并构建初始数据矩阵㊂在水资源承载力评价中,假设一共有n 个评价对象,每一个对象有m 个指标,以x i j 表示第i 个对象的第j 个指标值,初始数据矩阵如下:x 11x 12x 1m x 21x 22 x 2m ︙︙︙︙x n 1x n 2 x n m æèçççççöø÷÷÷÷÷采用下式分别对评价指标集正向㊁负向指标数据进行归一化处理㊂为使标准化后的数值不为0,所以在标准化时后面加0.0001,标准化后数据的取值范围为0.0001,1.0001[]㊂x 'i j=x i j -x m i n (j )x m a x (j )-x m i n (j )+0.0001(3)621 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷x 'i j =x m a x (j )-x i j x m a x (j )-x m i n (j )+0.0001(4)其中x m a x (j )表示所有对象中第j 个指标的最大值;x m i n (j )表示第j 个指标的最小值㊂(2)计算第j 个指标的信息熵为 e j =-1l n n ðni =1P i j l n P i j (5)其中P i j =x 'i jðni =1x'i j(6)(3)计算差异系数为 d j =1-e j(7)(4)计算各指标的权重为 w j =d jðmj =1dj,ðmj =1w j =1(8)则各评价指标的权重向量为W =w 1,w 2, ,w m ()㊂2.2 计算指标隶属度参考水资源承载力相关研究,将水资源承载力水平划分为I ~V 等级:I 级(最低)㊁I I 级(较低)㊁I I I 级(中间)㊁I V 级(较高)和V 级(最高)㊂确定每个等级的具体取值范围㊂其中,正向指标的指标值越大越好;负向指标的指标值越小越好㊂设每个指标所对应的每个评价等级的最大值㊁最小值分别为X m a x ,X m i n ,根据下式计算出评价指标等级界限云模型的3个数字特征:E x =X m a x +X m i n ()/2E n =X m a x -X m i n ()/6H e =λìîíïïïï(9)其中,λ是一个常数,本文λ取0.1㊂利用正向云发生器生成隶属度矩阵,将评价指标等级界限云模型的E n 和H e 作为期望和方差,然后生成正态分布随机数E n '~N (E n ,H e 2)㊂将每个指标的实际值x i j 作为一个云滴x i j ,y i j ()输入系统,利用公式(2)计算相应的指标隶属度,从而得到隶属度矩阵 U =μ11μ12 μ1p μ21μ22 μ2p ︙︙︙︙μm 1μm 2μm p æèçççççöø÷÷÷÷÷(10)2.3 估计条件概率结合各指标的权重和隶属度,计算相对于各个等级的综合隶属度D k ,并采用加权平均法计算级别特征值D ',如式(11)所示㊂ D k =ðmi =1w i U D '=ðp k =1k D k /ðpk =1D k ìîíïïïïï(11)721 第2期 李丽红,等:基于云模型的三支决策方法及应用其中k 为评价等级,k =1,2,3,4,5㊂当D 'ɪD -,D +[]时,根据级别特征值D '估计条件概率为: P r X x []()=D '-D -D +-D -(12)2.4 计算综合阈值与决策规则生成文献[17]将多准则决策问题转化为多个三支决策问题,通过构造综合损失函数来计算综合阈值,从而得到三支决策规则㊂将该模型拓展到融合云模型的三支决策问题中,构造决策所需的综合阈值,主要步骤如下:(1)确定评价指标等级隶属度的正㊁负理想解:当指标为正向指标时,μ+=0,0,0,0,1(),μ-=1,0,0,0,0();当指标为负向指标时,μ+=1,0,0,0,0(),μ-=0,0,0,0,1()㊂(2)通过隶属度μi j 构造某个指标下评价对象的损失函数矩阵:λμi j ()=λP P λP N λB P λB N λN P λNN æèçççöø÷÷÷=0d μi j ,μ+()σd μi j ,μ-()σd μi j ,μ+()d μi j ,μ-()0æèçççöø÷÷÷(13)其中,σ为决策风险系数,满足0£σ<0.5;d μi j ,μ+()㊁d μi j ,μ-()为欧氏距离㊂(3)结合指标权重,构造评价对象在指标集下的综合损失矩阵: λi()=0ðjw jd μi j,μ+()ðj σw j d μi j ,μ-()ðj σw j d μi j ,μ+()ðjw j d μi j ,μ-()0æèççççççöø÷÷÷÷÷÷(14)(4)计算三支决策的综合阈值: αi =1-σ()ðjw j d μi j,μ+()1-σ()ðjw jd μi j,μ+()+ðjσw j d μi j ,μ-()(15) βi =ðjσw jd μi j,μ+()ðjσw jd μi j,μ+()+1-σ()ðjw jd μi j,μ-()(16)根据条件概率和综合阈值,结合(P 1)~(N 1)可以得到三支决策规则,从而将对象划分到3个域中㊂3应用算例与结果分析以长江经济带11个省市为研究区域,2009~2018年11个省市的总体水资源承载水平为研究内容,参考已有研究选取以下16个指标,构建长江经济带水资源承载力评价体系,其中,正向指标取值越大越好;负向指标取值越小越好㊂水资源承载力评价体系如表2所示㊂表3为每个指标的各个评价等级的标准值㊂利用公式(9),将评价指标等级取值范围转化为正态云模型的形式,如表4所示㊂表2 水资源承载力评价指标体系目标层系统层指标层指标性质水资源系统(S 1)人均水资源量(m 3/人)A 1正农业用水占比(%)A 2负生活用水占比(%)A 3正821 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷续表2目标层系统层指标层指标性质人均库容量(m 3/人)A 4正生态系统(S 2)生态环境用水占比(%)B 1正污水处理率(%)B 2正万元G D P 化学需氧量排放量B 3负水资源承载力建成区绿化覆盖率(%)B 4正森林覆盖率(%)B 5正湿地总面积占国土面积比重B 6正造林面积(万公顷)B 7正社会经济系统(S 3)人均G D P (万元)C 1正第一产业占G D P 比值(%)C 2负第二产业占G D P 比值(%)C 3负万元G D P 用水量C 4负农业灌溉亩均用水量C 5负表3 评价指标取值等级划分评价指标指标性质评价等级及标准值II II I II VVA 1正80~500500~10001000~20002000~30003000~5500A 2负60~10055~6050~5530~500~30A 3正0~44~55~77~1010~100A 4正0~200200~400400~600600~800800~2200B 1正0~11~22~33~55~10B 2正0~4040~5050~8080~9595~100B 3负3~72~31~20.5~10~0.5B 4正0~2020~3030~3535~4040~50B 5正0~1010~2020~4040~5050~100B 6正0~22~44~66~88~74B 7正0~66~1717~2828~4848~72C 1正1~3.53.5~66~8.58.5~1111~13.5C 2负20~1513~1510~135~100~5C 3负52~5648~5244~4840~440~40C 4负145~370115~14585~11555~8520~55C 5负800~1000600~800400~600200~4000~200表4 水资源承载力等级界限云模型评价指标I I II I II VVA 1(290,70,0.1)(750,83.33,0.1)(1500,166.67,0.1)(2500,166.67,0.1)(4250,416.67,0.1)A 2(80,6.67,0.1)(57.5,0.83,0.1)(52.5,0.83,0.1)(40,3.33,0.1)(15,5,0.1)A 3(2,0.67,0.1)(4.5,0.17,0.1(6,0.33,0.1)(8.5,0.50,0.1)(55,15,0.1)A 4(100,33.33,0.1)(300,33.33,0.1)(500,33.33,0.1)(700,33.33,0.1)(1500,233.33,0.1)B 1(0.5,0.17,0.1)(1.5,0.17,0.1)(2.5,0.17,0.1)(4,0.33,0.1)(7.5,0.83,0.1)B 2(20,6.67,0.1)(45,1.67,0.1)(65,5,0.1)(87.5,2.5,0.1)(97.5,0.83,0.1)B 3(5,0.67,0.1)(2.5,0.17,0.1)(1.5,0.17,0.1)(0.75,0.08,0.1)(0.25,0.08,0.1)B 4(10,3.33,0.1)(25,1.67,0.1)(32.5,0.83,0.1)(37.5,0.83,0.1)(45,1.67,0.1)B 5(5,1.67,0.1)(15,1.67,0.1)(30,3.33,0.1)(45,1.67,0.1)(75,8.33,0.1)B 6(1,0.33,0.1)(3,0.33,0.1)(5,0.33,0.1)(7,0.33,0.1)(41,11,0.1)B 7(3,1,0.1)(11.5,1.83,0.1)(22.5,1.83,0.1)(38,3.33,0.1)(60,4,0.1)C 1(2.25,0.42,0.1)(4.75,0.42,0.1)(7.25,0.42,0.1)(9.75,0.42,0.1)(12.25,0.42,0.1)C 2(17.5,0.83,0.1)(14,0.33,0.1)(11.5,0.5,0.1)(7.5,0.83,0.1)(2.5,0.83,0.1)C 3(54,0.67,0.1)(50,0.67,0.1)(46,0.67,0.1)(42,0.67,0.1)(20,6.67,0.1)921 第2期 李丽红,等:基于云模型的三支决策方法及应用续表4评价指标II II I II VVC 4(257.5,37.5,0.1)(130,5,0.1)(100,5,0.1)(70,5,0.1)(37.5,5.83,0.1)C 5(900,33.33,0.1)(700,33.33,0.1)(500,33.33,0.1)(300,33.33,0.1)(100,33.33,0.1) 以指标A 1作为示例,5个等级的云模型图如下图2所示:图2 指标A 1的等级云模型图将数据带入公式(2)计算,得出各年份水资源承载力评价指标隶属度矩阵,以2018年江苏省为例,隶属度矩阵如下:U =0.01670.00780000000.081600000.02060.01090.242600000.695600000000.00520.0749000.00010.9922000000.534600.89160.00010000000.47140.40990.00050000000.00010.21790000.00150.0548000.08160.00090.00120000.00030.1120000.10340.00060éëêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúW =0.04650.05910.06410.07250.07520.02930.03890.0378(0.04130.18800.05640.09530.05050.06490.04400.0364)根据公式(11)计算出各个年份所有省市的综合隶属度和级别特征值㊂为排除数据的偶然性,提高决策结果的可靠性和普遍性,计算2009-2018年各省市级别特征值的平均值D ',结果如表5所示㊂由此可见D 'ɪ2,4[],故条件概率计算公式为P r X x []()=D '-22㊂在本文中令σ=0.3,根据式(13)~(16)计算得到031 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷2009-2018年各省市决策的综合阈值,结果如表6所示㊂表5 2009-2018年各省市级别特征值的平均值地区平均级别特征值地区平均级别特征值地区平均级别特征值上海3.943江苏2.832浙江3.373安徽2.599江西2.688湖北2.841湖南2.815重庆2.742四川2.499贵州2.200云南2.610表6 2009-2018年各省市的条件概率和综合决策阈值地区P r Xx []()αiβi 地区P r Xx []()αiβi 上海0.97150.67930.2801湖南0.40750.68500.2854江苏0.41600.68850.2887重庆0.37100.68450.2850浙江0.68650.68200.2826四川0.34950.69860.2986安徽0.29950.68940.2896贵州0.10000.72890.3305江西0.34400.68610.2864云南0.20500.69260.2927湖北0.42050.71700.3176根据三支决策规则,进而得到2009-2018年各省市总体水资源承载力分类结果:P O S (X )={上海,浙江},B N D (X )={江苏,安徽,江西,湖北,湖南,重庆,四川},N E G (X )={贵州,云南}㊂由此可见,上海㊁浙江的水资源承载力水平较高,能良好有效的对水资源进行开发利用;贵州㊁云南的水资源承载力水平较低,为提高水资源承载能力,结合评价指标所属等级的隶属度分析,贵州省需要优化的指标为生态环境用水占比(B 1)㊁万元G D P 化学需氧量排放量(B 3)㊁湿地总面积占国土面积比重(B 6)㊁万元G D P 用水量(C 4)和农业灌溉亩均用水量(C 5),云南省需要优化的指标为人均水资源量(A 1)㊁生态环境用水占比(B 1)㊁湿地总面积占国土面积比重(B 6)㊁万元G D P 用水量(C 4)和农业灌溉亩均用水量(C 5);对于边界域内的这些省市水资源承载力等级为中等,需要延迟决策㊂将本文所得的实验结果与文献[18]中的可拓序贯三支决策模型结果进行比较,验证模型的有效性㊂对比可知,两种评价模型的结果基本一致,说明了该模型的可行性和有效性㊂其中在对江西㊁重庆水资源承载力划分时存在差异,可能与决策风险系数σ的取值有关㊂4结论云模型可以定量描述指标隶属度,反映概念的模糊性和数据的离散程度㊂将云模型与三支决策理论融合,通过云模型评价法估计条件概率并构造各对象的综合损失函数,降低三支决策的主观性和误分类率;将模型进行应用,验证了模型的有效性㊂下一步要将本文模型推广至序贯三支决策㊂参考文献:[1] 刘盾,梁德翠.广义三支决策与狭义三支决策[J ].计算机科学与探索,2017,11(03):502-510.[2] Y A O Y Y.T h r e e -w a y d e c i s i o n sw i t h p r 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s h a nH e b e i063210,C h i n a)K e y w o r d s:c l o u d m o d e l;c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y;c o m p r e h e n s i v e l o s s f u n c t i o n;t h r e e-w a y d e c i s i o n;w a t e r r e s o u r c e s c a r r y i n g c a p a c i t yA b s t r a c t:A i m i n g a t t h e r a n d o m n e s s,f u z z i n e s s a n d u n c e r t a i n t y i n t h e d e c i s i o n-m a k i n g p r o c e s s,a t h r e e-w a y d e c i s i o nm o d e lw a s p r o p o s e db y c o m b i n i n g t h ec l o u d m o d e lw i t ht h ei d e ao f"t h r e e-d i v i d ea n dr u l e".F i r s t l y,t h e e v a l u a t i o n i n d e x s y s t e m w a s c o n s t r u c t e d,a n d t h e e n t r o p y w e i g h tm e t h o dw a s u s e d t o c a l c u l a t e t h e i n d e xw e i g h t.S e c o n d l y,t h e v a l u e r a n g e o f e a c h l e v e l w a s d e t e r m i n e d,a n d t h em e m b e r s h i p d e g r e ew a s d e t e r m i n e da c c o r d i n g t o t h em e m b e r s h i p d e g r e e f u n c t i o n o f c l o u dm o d e l.T h e n,c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y a n d c o m p r e h e n s i v e l o s s f u n c t i o nw e r ec o n s t r u c t e dt oo b t a i nt h r e ed e c i s i o nr u l e sa n d p a r t i t i o nt h r e ed o m a i n s. T h em o d e lw a sa p p l i e dt ot h ea n a l y s i so f t h ec a r r y i n g c a p a c i t y o fw a t e rr e s o u r c e s i nt h eY a n g t z eR i v e r E c o n o m i cB e l t,a n d t h e a n a l y s i sw a sm a d e a c c o r d i n g t o t h e d e c i s i o n r e s u l t.。
