高一数学充分条件与必要条件、第一章 集合与简易逻辑的复习知识精讲

高一数学充分条件与必要条件、第一章 集合与简易逻辑的复习

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1. 充分条件与必要条件

2. 第一章 集合与简易逻辑的复习

二. 本周重、难点：

1. 关于充要条件的判断

2. 本章综合知识的应用

【典型例题】

[例1] 判断下列各组命题中p是q的什么条件？

（1）p：0ab，q：022ba

（2）p：0xy，q：yxyx

（3）p：0m，q：方程02mxx有实根

（4）p：012axax的解集为R，q：40a

解：

（1）p是q的必要不充分条件

（2）p是q的充分不必要条件

（3）p是q的充分不必要条件

（4）p是q的必要不充分条件

[例2] 已知：p：02082xx，q：01222axx，若p是q的充分而不必要条件。求正实数a的取值范围。

解：

p：10x或2x 又 ∵ 0a ∴ q：ax1或ax1

由题意qp但/qp如图 则有101210aaa 解得30a

∴ 实数a的取值范围是30a

[例3] 已知p是r的充分条件，而r是q的必要条件，同时又是S的充分条件，q是S的必要条件。

（1）S是p的什么条件？

（2）p是q的什么条件？

（3）其中有哪几对条件互为充要条件？

解：

qSSrrqrp ∴ ∴（1）S是p的必要条件

（2）p是q的充分条件

（3）r与S，r与q，S与q三对分别互为充要条件

[例4] 当且仅当m取何整数值时，关于x的方程。

0442xmx ① 0544422mmmxx ②的根都是整数

解：

方程①有实根的充要条件是：01616m解得1m

方程②有实根的充要条件是：0)544(41622mmm解得45m

∴ 145m

由m为整数知：1m，0，1

当1m时，方程①为0442xx它没有整数根

当0m时，方程②为052x它也没有整数根

当1m时，方程①、②的根都是整数

[例5] 设a、b、c为ABC的三边，求证：方程0222baxx与0222bcxx有公共根的充要条件是90A

证明：

（1）充分性 ∵ 90A ∴ 222cba

∴ 0222baxx可化为：02222caaxx

0)]()][([caxcax ∴ cax1，cax2

同理：0222bcxx可化为：02222accxx

0)]()][([acxacx ∴ cax3，acx4

∴ 两方程有公共根ca

（2）必要性

设两方程有公共根 则02022222bcba ∴ 0)(22ca

又 ∵ 0 若0代入任一方程得02b即0b这与已知b是三角形的边长0b相矛盾

∴ ca

把ca代入上面方程组与任何一个式子，均可得222cba

∴ 90A

[例6] 设1a、1b、1c、2a、2b、2c均为非零实数，不等式01121cxbxa和22xa

022cxb的解集分别为M和N，那么“212121ccbbaa”是“M=N”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分与不必要条件

解：对于022xx和022xx有221111，但其解集分别为}21|{xx和1|{xx或}2x不相等，∴ 充分条件不成立

又对于012xx的解集为，0422xx的解集为，412111 ∴ 必要条件不成立 ∴

212121ccbbaa是M=N的既不充分也不必要条件。

[例7] 已知：11xax的解集为1|{xx或}2x，求a

解：

原不等式化为：011)1(xxa ∴ 同解于0)1](1)1[(xxa

由已知解集为：1|{xx或}2x得01a

∴ 0)1](1)1[(xxa 即0)1)(11(xax ①

又解集为1|{xx或}2x的不等式为0)1)(2(xx ②

比较①、②得211a 解得121a ∴ 21a

[例8] 已知集合}6553|),{(2ppxxyyxAp其中]100,1[|{xxBp，}Nx，求所有集合pA的交集A。

解：

由65532ppxxy ∴ 0)653()5(2yxpx

∴

0653052yxx 解得105yx

可知所有pA（]100,1[p，Np）中的抛物线都过定点（5，10）

∴ 所有pA的交集)}10,5{(A

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题：

1. 设全集为U，下面三个命题中，真命题的个数是（ ）

（1）若BA，则UBCACUU)()(

（2）若UBA，则)()(BCACUU

（3）若BA，则BA

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 设}1|{xxA，}0)2)((|{xaxxB且}2|{xxBA，则a的取值范围是（ ）

A. 1a B. 1a C. 1a D. 1a

3. 032aaxax对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A.（4，0） B. ),0()4,( C. ),0[ D. )0,(

4. “BAx”的充要条件是（ ）

A. Ax有Bx B. Ax或Bx

C. Ax且Bx D. Ax或Bx

二. 填空题：

1. 已知},35|{*NxxaaA，},27|{*NyybbB，则BA中的最小元素是 。

2. 方程0)1(2mxax的解集为A，方程0)1(2axmx的解集为B，若}2{BA，则BA 。 3. xx3212的解集是 。

4. “到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是 。

三. 解答题：

1. }04|{2xxxA，}01)1(2|{22axaxxB若BBA，求a的值。

2. a为何值时，02)1()23(22xaxaa的解是一切实数？

3. 求证：一元二次方程02cbxax（0a）最多有两个不相等的根。

试题答案

一. 1. D 2. A 3. C 4. D

二. 1. 23 2. }1,1,2{ 3. }53|{xx 4. 圆的切线到圆心的距离等于半径

三. 1. 解：由042xx得01x，42x ∴ }4,0{A ∵ BBA

∴ AB 若B0则012a ∴ 1a

当1a时，}0{B，当1a时，B=A

若B4，则01)4()1(2)4(22aa ∴ 1a或7

当7a时，}12,4{}017)17(2|{22xxxB

此时BBA不成立

若B，则0)1(4)1(422aa得1a

综上所述1a或1a

2. 解：（1）由0232aa得1a或2a

1a时，原不等式为02恒成立

2a时，原不等式为02x 2x 它的解不是Rx

（2）当0232aa时

①：1a或2a ②：1a或715a

∴ 1a或715a

3. 证明：假设方程有三个互不相等的根1x、2x、3x

则

①－②：0)(21bxxa ④

①－③：0)(31bxxa ⑤

④－⑤：0)(32xxa

∵ 0a ∴ 032xx 即 32xx

这与假设21xx3x矛盾 ∴ 原方程最多只有两个不相等的根