第1章 函数与极限
V.同步练习
第1章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知
2
5fxaxbx
且
183fxfxx
, 则a ；b ；
2.
cos21yx
的周期为 ；
3.
函数1
sin,0;
()
0,0.x
fxx
x
的定义域为 ； 值域为 .
解答:1.
a 4 ;b -1
2. 周期为
；
3. 定义域为
,
; 值域为
1,1
;
二、 设
1,01,
()
2,12.x
fx
x
求函数)3(xf的定义域.
解 1, 01
(),
2, 12x
fx
x
1, 031
(3)
2, 132x
fx
x
1, 32
2, 21x
x
故函数)3(xf的定义域:].1,3[
三、已知函数322
3x
yfxm
xm
, 求它的反函数, 若函数
fx
的图形与它
的反函数的图形重合, 求m
.
解 由32x
y
xm
, 解得2
3my
x
y
. 故反函数为
12
3mx
fx
x
, 因
fx
的图形
与
1
fx
的图形重合, 则322
3xmx
xmx
, 解得3m
.
四、以下函数中哪些是初等函数, 说明理由:
1.yx
; 2.
0x
yxx
；
3. sin,0
sin,2xx
y
xx
； 4. 1,
0,x
y
x
为有理数
为无理数.
解. 1.是,
因2
yxx
可看作2
,yuux两个幂函数的复合函数;
2. 是, 因lnxxx
yxe可看作,,lnu
yeuxvvx的复合函数;
3. 是, 因sin,0
sin
sin,2xx
yx
xx
;
4. 不是, 因不能由基本初等函数经有限次四则运算或复合运算且能由一个数学式子表示
五、设
高等数学（本）
第一章 函数与极限
1. 设
3||,03|||,sin|
)(
xxx
x, 求
).2(
446
、、、
6sin)
6(
21
22
4sin)
4(
0222
)
4sin()
4(
2. 设
xf的定义域为
1,0，问：⑴
2
xf； ⑵
xfsin；
⑶
0aaxf； ⑷
axfaxf
0a的定义域是什么？
（1）
；，－的定义域为所以知－11)(,111022
xfxx
)12(,2)(sin),()12(21sin0)2(
kkxfZkkxkx
的定义域为所以知由
aaaxfaxaax
1,)(110)3(
－的定义域为所以知－由
时，定义域为当时，定义域为当从而得－
知由
211,
21
011
1010
)4(
aaaaaxaaxa
axax
班级 姓名 学号
2 3. 设
111011
xxx
xf，
x
exg，求
xgf和
xfg，并做出这两个
函数的图形。
1,1,11,
)]([.)20,10,00,1
)]([
1)(,11)(,01)(,1
)]([.)1
1)(
xexxe
exfgxxx
xgf
xgxgxg
xgf
xf从而得
4. 设数列
nx有界, 又,0lim
n
ny 证明: .0lim
nn
nyx
结论成立。从而时，有，当自然数即又有对有界，
..0)(,0,0lim,,0
MMyxyxMyNnNyMxnMx
nnnnnn
nnn
5. 根据函数的定义证明:
⑴
813lim
3
x
x
8)13(lim81330
第一章 函数与极限
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。
一、本章主要内容：
1、数列极限的 定义，函数极限的定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，
（1） 单调有限准则，重要极限
（2） 夹逼准则，重要极限
6．函数的连续性概念和间断点的类型
7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
二、内容提要框图
三 本章重点
1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．
2. 建立极限概念与理解ε －N方法, 函数极限的概念与ε －δ方法
3. 无穷小的概念与性质 4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用
5. 初等函数的连续性及其应用
四本章难点
1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的
复合函数的关系式．
2. ε －N, ε －δ极限定义证明法
3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别
4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．
5. 闭区间上连续函数的几条性质．
第一节 映射与函数
学习指导
1．教学目的
读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。
2．基本练习
会求函数的定义域，会求函数的反函数。会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。会把复合函数分解成基本初等函数的组合。
第一章总练习题
221.:5812.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3xxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxyxyxyxyxyx求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2),4.313.11.21. 212,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222nnyxyyyxyyxxxxxxxxxxxxnnnn求出满足不等式的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxnxxxnxxxxxxnxx即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)nnnnnnnxnxxxnxnxnxx等式成立设等式对于成立,则 122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxnxxnxxnxnxxxnxxnxnxxxxnxnxnxxxxnxnxnxxn即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()xxfxxfffffxxfxxffffxxfx由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim()2,lim()0lim().(4).lim()lim(4/)2,lim()lim22lim(),lim()2.6.()[14],()14(1)(0),xxxxxxxxxxxfxfxfxfxxfxfxfxfxxfxxf无因为有设即是不超过的最大整数.求00223,(2);2(2)()0?(3)()2?391(1)(0)[14]14,1467.(2)[12]12.244(2).lim()lim[14]14(0).(3).lim()12,lim()xyxxfffxxfxxffffxyffxfx的值在处是否连续在处是否连续连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).nnnnnnababnbabanbnababa设两常数满足对一切自然数证明 1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbababbaabbbbnbbababanabanabnnabababnnn类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nnnnnnnnnnnneeennnn最后不等式显然成立当时故
