高等数学第一章函数与极限单元测试题

高等数学第一章函数与极限一、选择题（共 191 小题）1、A下列函数中为奇函数的是；　；； 答（ ）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π2、A[][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是； ；； 答（ ）x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π223、D关于函数的单调性的正确判断是当时，单调增；当时，单调减；当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。

答（ ）y xA x y xB x y xC x y x x y xD x y x x y x=-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1010101010101()()()()4、C答（ ） ；；； 的是下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 1212)(2222+--++=+=++=+-=x x x x y D xxx y C x x y B y A x x5、A函数　是奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ）f x a xa xa A B C D a ()ln()()()()()=-+>06、Bf x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。

答（ ）　7、D设，，，则此函数是周期函数； Ｂ单调减函数；奇函数 偶函数。

答（ ）　f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪330ππ8、C设，，，则此函数是奇函数； 偶函数；有界函数；　周期函数。

答（ ）f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤⎧⎨⎪⎩⎪3330029、Bf x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333232在其定义域，上是最小正周期为的周期函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；　非周期函数。

一、选择题1.下列函数中，无界函数为( ).(A) sin y x =； (B) tan y x =； (C) arcsin y x =； (D) arctan y x =. 2. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时，()f x =( ).(A) 4,0,0x x x x ->⎧⎨<⎩ ； (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩ ； (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ ； (D) 4,24,2x x x x -≥⎧⎨+<⎩.3.函数31()31x x f x -=+为( ).(A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 既是奇又是偶函数. 4.若()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则[()]f g x 为( ).(A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 不确定.5.设221,0()1,0x x x f x x x ⎧++≥⎪=⎨+<⎪⎩ ，则当0x <时，[()]f f x =( ).(A) 222(1)(1)1x x ++++； (B) 22(1)1x x +++；(C) 222(1)(1)1x x x +++++； (D) 222(1)(1)1x x x +++++.6. 32lim 1knn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k =( ).(A)32； (B) 23； (C) 32-； (D) 23-. 7.若0x →时，()f x 为无穷小，且()f x 是比2x 高阶的无穷小，则20()limsin x f x x→=( ).(A) 0； (B) 1； (C) ∞； (D)12.8.函数()f x =( ).(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 0.9.当0x →时，( ).(A) 2x 与1cos x -是等价的无穷小； (B) 2x 与1cos x -是同阶的无穷小； (C) 2x 是比1cos x -高阶的无穷小； (D) 2x 是比1cos x -低阶的无穷小. 10.当0x →时，与x 等价的无穷小函数是( ).(A) 2x ； (B) 2x ； (C) 3sin x x +； (D) 22x x +.二、填空题 1.设1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则[()]f f x = .2.设(),[()]x f x e f g x x ==,则()g x = .3.若0()limx f x a x→=，(a 为常数)，则0lim ()x f x →=______________.4.曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .5. 极限22lim 1x x x x →∞+⎛⎫=⎪+⎝⎭． 6. 极限0(1)limcos 1x x x e x →-=- ． 7.当1x →-时，2ax x b -+与1x +为等价无穷小，则a = ，b = . 8.若()f x 处处连续，且(1)2f =，则01lim [ln(1)]x f x x→+= . 9.设2sin ,0(),0xx f x x x a x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若()f x 在0x =处连，则a = .10.要使1cos ()xf x x-=在0x =处连续，应补充定义(0)f = .三、综合题 1.求极限111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭ . 2.求极限222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭. 3.求极限n 4.设11,,1,2,n a a n +=== ，证明数列极限存在并求此极限.5.已知函数142sin ()||1xx e x f x x e ⎛⎫+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，问0lim ()x f x →是否存在？6.用夹逼准则求01lim x x x +→⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7.求极限332lim 34sin x x x x →∞++. 8.求极限limx . 9.求极限lim )x x →+∞.10.求极限21lim (1cos)x x x →∞-. 11.求极限20(1cos )lim (1)sin x x x x e x→--. 12.求极限3230ln(1)tan lim1x x x x e -→+- . 13.求极限sin lim2x x xx→∞+. 14.求极限0x →求极限lim x x →∞.16.求极限0lim x +→. 17.求极限123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭.18.求极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫⎪-+⎝⎭. 19.求极限21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 20. 已知21lim ()01x x x ax b x →∞++--=-，求a 与b 的值 .21. 已知20()1sin lim()2x f x xx x→--=，求0lim ()x f x →.22.讨论函数2()lim 1nxnxn x x e f x e →∞+=+ 的连续性.23.已知,0()1,02x x f x ae x <=⎨⎪≥⎪⎩ ，求a 为何值时，()f x 在0x =处连续.24.设(4),0()sin 10,0x x ae be x f x xx -⎧++≠⎪=⎨⎪=⎩，确定,a b 使()f x 在0x =处连续. 25.指出函数()f x =的所有间断点，并判别其类型.26.设函数()f x 在[,]a b 连续，且()a f x b ≤≤，[,]x a b ∈.证明：存在[,]a b ξ∈，使()f ξξ=成立.27.函数()f x 对一切12,x x 满足1212()()()f x x f x f x +=+，且()f x 在0x =处连续. (1)求(0)f ；(2)证明：函数()f x 在(,)-∞+∞连续.28.函数()f x 在[0,1]连续、非负且满足(0)(1)0f f ==,证明：对任意数(0,1)α∈，存 在0[0,1]x ∈使00()()f x f x α=+成立.29.设函数()f x 在[0,2]a 连续，且满足(0)(2)f f a =，证明：至少存在一点[0,]a ξ∈使()()f f a ξξ=+成立.30.设函数()f x 在[,]a b 连续，12a x x b <<<，证明：存在点(,)c a b ∈，使112212()()()()t f x t f x t t f c +=+成立.其中12,0t t >.一、选择题1. B ；2. B ；3. B ；4. A ；5. A ；6. C ；7. A ；8. C ；9. B ； 10. C. 二、填空题1. 1；2. ln x ；3. 0；4. 2y x =；5. 12e ； 6. 2-； 7. 1,0a b =-=； 8. 2； 9. 1a =； 10. 0. 三、综合题 1.解：11111111(1)()()1223(1)2231n n n n +++=-+-++-⋅⋅++ 111n =-+ ∴111lim 11223(1)n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⋅⋅+⎝⎭ . 2.解：由于2222211111(2)(1)(2)n n n n n n n ++≤+++≤+ ，又2211lim lim 0(2)4n n n n n n →∞→∞++==，根据夹逼准则 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. 3.3≤=lim 33n n →∞==，根据夹逼准则3n =.4.解：102a <=，假设对n k = 成立，即02k a <<成立，则当1n k =+ 时，102k a +<=<=，由数学归纳法知02,1,2,n a n <<= ，即数列{}n a 有界；又1n n n a a a +-=2=0=>，即数列{}n a 单调，所以收敛. 设极限为a ，则由1n a +=n →∞得a =2a =.5.解：14002sin lim ()lim 1x x x x e x f x x e ++→→⎛⎫+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，01lim x x+→=+∞ ，1400lim ,lim xx x x e e ++→→∴=+∞=+∞，而1144434000442212lim lim lim 011111x xxxxxx x x xx x eee e e e e e e +++→→→+++===+++. 0lim ()1x f x +→∴=,14002sin lim ()lim 1xx x xe xf x x e --→→⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪+⎝⎭，01lim x x -→=-∞ ,1400lim lim 0x x x x e e --→→∴==， 0lim ()1x f x -→∴=. 进而知 0lim ()x f x →存在且为1. 6.解：当0x ≠时1111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦ ，所以当0x >时有111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦， 又00lim (1)lim 11x x x ++→→-==,故01lim 1x x x +→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.7.解：3333212lim lim 4sin 34sin 3x x x x x x x x →∞→∞++=++13=. 8.解：limlimx x =02t →=. 9.解：lim )lim x x x →+∞→+∞=lim x →+∞=1arcsin26π==. 10.解：由于x →∞时，221111cos ~22x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=,所以 222111lim (1cos)lim 22x x x x x x →∞→∞-=⋅=.11.解：由于0x →时，21cos ~2x x - ，22sin ~x x ，1~xe x -.所以 22200(1cos )12limlim (1)sin ()2x x x x x x x e x x x →→⋅-==---⋅.12.解：由于0x →时，tan ~x x ，22ln(1)~x x +，3331~(3)x e x ---， 所以 3223300ln(1)tan 1limlim 331x x x x x x x x e-→→+⋅==---. 13.解：sin 1sin 1limlim 2222x x x x x x x →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 14.解：3300011lim lim lim ln(12)ln(12)ln(12)x x x x x e e x x x →→→-=++++00132lim lim 2212x x x xx x →→-=+=.15.解：2lim lim x x x x →∞→∞⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2lim 1x x →∞⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭2lim 1x x →∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫=⎪⎝⎭221lim 3x x x →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭23=. 16.解：0lim lim x x ++→→=01lim 2x +→=201lim2x +→=0=. 17.解：212(1)1221232lim lim 12121x x x x x x x e x x +++⋅+→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.18.解：22ln lim 1()()()()2lim lim ()()x xx x x x x a x b x a x b x x x eex a x b →∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞⎛⎫⎪== ⎪-+⎝⎭2()2lim a b x abxa bx ax bx abx ee -+--+-→∞==.19.解：2211(cos 1)cos 111lim coslim 1cos 1x x x xx x x x ⋅-⋅-→∞→∞⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于222111lim(cos1)lim()22x x x x x x →∞→∞-⋅=-⋅=-，所以2121lim cos x x ex -→∞⎛⎫==⎪⎝⎭20. 解：2211()(1)11x x x x ax b x ax b x x ++++-+---=-- 2(1)(1)11a x a b x b x -++-++=-∴当且仅当 10a -= 且10a b +-=时，21lim ()01x x x ax b x →∞++--=-， 解得1a =，2b =. 21.解：00sin ()1sin lim[()1]lim x x xf x xx f x x xx→→----=⋅ 20()1sin lim[]x f x x x x x →-=-⋅200()1sin lim[]lim 0x x f x xx x x →→-=-⋅=,sin sin lim ()lim[(()1)1]x x x xf x f x x x→→∴=--++ 00sin sin lim[()1]lim(1)2x x x x f x x x →→=--++=. 22.解：先给出分段表达式2,0(),0x x f x xx ⎧≥=⎨<⎩. 当 (0,)x ∈+∞ 时，2()f x x = 连续，当 (,0)x ∈-∞时，()f x x =连续；又(0)0f =，2lim ()lim 0x x f x x ++→→==，00lim ()lim 0x x f x x --→→==,故在0x =处()f x 也连续，从而在(,)-∞+∞内()f x 连续.23.解：(1)()f x 定义域为(,)-∞+∞；(2)由于(0)2a f =，001lim ()lim 22xx x a f x a e ++→→=⋅=，lim ()lim x x f x --→→=02sin 2lim 1x xx-→-==-,∴2a =-时，()f x 在0x = 处连续.24.解：由于(0)10f =，004lim ()lim sin x x x x ae be f x x-→→++=，要使 ()f x 在0x =处连续，首先0lim ()x f x →存在，故有lim(4)40x xx ae bea b -→++=++=，从而 004lim ()lim sin x x x x ae be f x x -→→++=0lim sin x x x ae be a bx-→+--=0(1)(1)lim x x x a e b e x -→-+-=00(1)(1)lim lim x x x x a e b e a b x x-→→--=+=- 可见要使()f x 在0x =处连续，,a b 应满足410a b a b +=-⎧⎨-=⎩，解得3,7a b ==-.25.解：sin |1|()(1)(3)x x f x x x x ⋅-==--， 间断点有三个，分别为0x =，1,3x x ==，0000s i n |1|s i n |1|11l i m ()l i m l i m l i m l i m (1)(3)133x x xx x x x x x f x x x x x x x →→→→→⋅--==⋅⋅=---- , 11sin (1)sin1lim ()lim (1)(3)2x x x x f x x x x --→→-⋅-==--，11sin (1)sin1lim ()lim (1)(3)2x x x x f x x x x ++→→⋅-==---， 而33sin lim ()lim(3)x x xf x x x →→==∞-，所以0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点，而3x =为无穷间断点.26.证明：构造辅助函数()()g x f x x =-，则()g x 在[,]a b 连续，由已知条件知()()0g a f a a =-≥，()()0g b f b b =-≤. 若()0g a =，则取a ξ=；若()0g b =，则取b ξ=；若()0g a >而()0g b <，则在[,]a b 上函数()g x 满足零点定理条件， 从而存在(,)a b ξ∈，使()0g ξ=即()f ξξ=成立. 27.解：(1)在()()()f x x f x f x +=+中，取0x x ==，得(0)(0)(0f f f =+，故(0)0f =.(2)由()f x 在0x =处连续知:0lim ()(0)0x f x f ∆→∆==.任取0(,)x ∈-∞+∞，由条件知00()()()f x x f x f x +∆=+∆.从而0000lim ()()lim ()()x x f x x f x f x f x ∆→∆→+∆=+∆=，故在0x 处函数()f x 连续，由0x 的任意性知(2)成立. 28.证明：任取(0,1)α∈，若()0f α=，则由条件(0)0f =，可取00x = [0,1]∈，使得(0)(0)f f α=+； 若(1)0f α-=，则由(1)0f =，可取01x α=-[0,1]∈使得(1)(1)f f ααα-=-+；若()0f α≠且(1)0f α-≠，由非负性有()0f α>,(1)0f α->， 令()()()g x f x f x α=+-，则()g x 在[0,1]α-连续， 又(0)(0)g f α=+(0)f -()0f α=>，(1)(1)(1)(1)0g f f f ααααα-=-+--=--<，由零点定理，存在0(0,1)[0,1]x α∈-⊂使0()0g x =，即00()()f x f x α=+成立. 29.解：令()()()F x f x f x a =-+，则()F x 在[,]a b 连续，且(0)(0)()F f f a =-，()()(2)()(0)F a f a f a f a f =-=-.若(0)()f f a =，则取0ξ=或a ξ=均能使()()f f a ξξ=+成立；若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a ⋅<，由零点定理知，至少存在一点(0,)a ξ∈使()0F ξ=，即()()f f a ξξ=+.总之结论成立.30.解：函数()f x 在[,]a b 连续，故在12[,]x x 上连续. 于是在12[,]x x 上()f x 必有最小值m ，最大值M .第一章 函数与极限11 从而有1()m f x M ≤≤，1111()t m t f x t M ≤≤， 2()m f x M ≤≤，2222()t m t f x t M ≤≤， 112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+. 由介值定理知，至少存在一点12(,)c x x ∈⊂(,)a b 使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+， 即112212()()()()t f x t f x t t f c +=+.。

第一章 函数、极限与连续1.下列各极限正确的是( ) A.e xx x =+→)11(lim 0B.e xx x =-→)11(lim 0C.11sin lim =∞→x x x D.11sin lim 0=→xx x 2.下列极限中，正确的是（ ） A.cot 0lim(1tan )x x x e →+= B.01lim sin 1x x x→= C.sec 0lim(1cos )xx x e →+= D.1lim(1)nn n e →∞+=3.若1112()1xxe f x e-=+，则0x =是()f x 的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D. 连续点 4.下列极限中，正确的是( )A.22sin lim =∞→x x xB.1arctan lim =∞→xx x C.∞=--→24lim22x x x D.1lim 0=+→x x x 5.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则,a b 满足( )A.2,a b =为任何实数B.21=+b aC.32,2a b ==- D.1==b a6.当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的 （ ） A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小7.若21)2(lim 0=→x xf x ，则=→)3(lim0x f xx ( ) A.21B.2C.3D.318.若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim xxf x ( ) A.41 B.21C.2D.4 9.0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则（ ） A. 1,12a b == B. 1,1a b == C. 1,12a b =-= D. 1,1a b =-=10.设12a ≠，则21lim ln _______(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦11.若0sin lim(cos )5xx xx b e a→-=-，则_______,______.a b == 12.已知当0x →时，123(1)1ax +-与cos 1x -时等价无穷小，则常数___.a =13.已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等价无穷小，则=a .14.设3214lim1x x ax x b x →---+=+，则______,______.a b == 15.设2lim()3xx x c x c→∞+=-，则________c =. 16.求下列函数的极限（1）lim x →-∞（2）01cos3limtan x xx x→- （3）201lim 1cos x x →- （4）3lim()1x x x x +→∞+ 17.求极限20lim(13)x xx x -→-18.判断函数21arctan 0()0,00ln(1)x x f x x x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪>+⎪⎪⎩是否在0x =处连续?19.设函数10sin(),0x x x f x x x e αβ⎧>⎪=⎨≤⎪+⎩，根据α和β不同取值，讨论()f x 在0x =处的连续性？20.求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.21.求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型. 22.已知02x →=，求0lim ()x f x →. 23.设()f x 在[],a b 上连续，()()f a f b =，证明：至少存在[]0,x a b ∈，使00()()2b af x f x -=+. 24.证明：方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +.。

第一章 函数与极限 试题库一1.填空题(1) 复合函数)1sin(2e +=x y 的复合过程为 .(2) 复合函数1lnsine +=x y 的复合过程为 .(3) 函数)1lg(5-+-=x x y 的定义域为 .(4) 设211x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则=)(x f . (5) =-→xx x πsin lim π . (6) =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→1221lim x x x .(7) 当∞→x 时，函数)(x f 与x1是等价无穷小，则=∞→)(2lim x xf x . (8) 已知22e 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x k ，则=k . (9) 函数331--=x x x y 的间断点为 . (10) 设函数⎩⎨⎧>+≤=,0 ,,0 ,e )(x x a x x f x 在点0=x 处的连续，则=a . 2．选择题(1) 函数43123+-+=x x x y 的间断点为（ ）. A. 0，1；B.0，2；C.1，2；D.0，1，2.(2) 函数1cos 2++=x x y 的奇偶性为（ ）.A.奇函数；B. 偶函数；C. 非奇非偶函数；D.不确定.(3) 函数)2ln(92+-=x x y 的定义域为（ ）. A. )3,2(-； B.]3,1()1,2(--- ；C ]3,3[-.； D. ]3,1()1,2( -.(4)函数)3ln(1x xy +=的定义域为（ ）.A. ),0()0,(+∞-∞ ；B.),0(+∞；C.),0()0,3(+∞- ；D. ),3(+∞-.(5) 函数3sin x y =的图形（ ）.A.关于原点对称；B. 关于x 轴对称；C.关于y 轴对称；D.关于直线x y =对称.(6) 函数)(x f y =在点0x 处有定义，是极限)(lim 0x f x x →存在的（ ）. A.充分条件； B.必要条件；C.充分必要条件 ； D. 无关条件.(7) 极限xx x 1sin lim ∞→等于（ ）. A.0；B.1；C.∞；D.不确定.(8) 当∞→x 时，下列函数中为无穷小的是（ ）. A.x 1； B. 11-x；C.12+x ； D.x 2. (9) 下列等式成立的是（ ）. A. 1sin lim 20=→x x x ；B. 1sin lim 0=→x x x ；C. 1sin lim 20=→x x x ；D. 1sin lim =∞→xx x . (10) 极限xx x x sin lim 20-→等于（ ）. A.0； B.1；C.1-； D.∞.(11) 已知2e 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x a ，则常数a 等于（ ）. A.2-； B.2；C.21-； D. 21. (12) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,2,0,1sin )(x a x x x x f 在点0=x 处连续，则常数a 等于（ ）. A.2； B.1；C 1-； D. 2-.(13) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,,10 ,0,2)(2x bx x a x x x x f 在点),(+∞-∞内连续，则常数b a ,分别等于（ ）.A.0，0；B.1，1；C 2，3； D.3，2.(14) 设函数11)(+-=x x x f ，则点1=x 是函数)(x f 的（ ）. A.零点； B.连续点；C 可去间断点； D. 不可去间断点.(15) 设函数)0(sin )(≠=x x kx x f 在点0=x 处连续，且21)0(-=f ，则常数k 等于（ ）. A.21-； B. 21；C.2-； D.2. (16) 如果函数21u y -=与x u lg =构成复合函数，则x 的取值区间为（ ）.A. ),0(+∞；B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+101；C.)10,0(；D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10,101.(17) 设函数　，， ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+--=11132)(2x a x x x x x f 在1-=x 处连续，则=a （）. A. 0；B. 2-；C. 4-；D .2.(18) 函数)1ln()1(1)(2+-=x x x f 的不连续点（ ）.A. 仅有一点1=x ；B. 仅有一点0=x ；C. 仅有一点1-=x ；D. 有两点0=x 和1=x .(19) 函数)1ln(1)(-=x x f 的连续区间是（ ）.[][)[)∞+∞+∞+∞+， ，，，， ，，，1 .D );1( .C ; )2()21( .B ;221 .A .(20) 设 0,0,1arctan )(22⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x a x xx x f ，在0=x 处连续，则=a （ ）.A. 0；B. ∞；C. 1；D. 2π.3.解答题(1) 设1)1(42+=+x x f ，求)(x f .(2) 设53)1(2+++=+x x x f ，求)(x f .(3) 求函数x xy -=12的反函数.(4) 求函数x xy -+=11的反函数.(5) 求45143lim 223+++-→x x x x x .(6) 求x x xx x cos 2sin lim 22-+∞→.(7) 求1231lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x .(8) 求x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→23lim . (9) 求112lim 2423-+-+-∞→x x x x x x . (10) 求ααα--→x x x tan tan lim. (11) 求2411lim 0-+-+→x x x . (12) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=,0 ,2,0 ,tan )(x x x x kx x f 在点0=x 处连续，求k . (13) 证明方程033=++x x 在区间)2,2(-内至少有一个实根.(14) 证明方程033=-+x x 至少有一个正根.(15).证明方程12=⋅x x 在区间)1 ,0(内至少有一个根.。

第一章 函数与极限满分：100分 考试时间：150分钟一、选择题(每小题2分，共40分)1．设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比21x e -（）高阶的无穷小，则正整数n 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．设函数21()lim 1nn x f x x →∞+=+，则下列结论成立的是（ ） A ．()f x 无间断点 B ．()f x 有间断点1x =C ．()f x 有间断点0x =D ．()f x 有间断点1x =-3．1(23x n n ==，，）是函数1()f x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的（[]为取正整数）（ ） A ．无穷间断点 B ．跳跃间断点 C ．可去间断点 D ．连续点4．设()232x xf x =+-，则当0x →时（ ）A ．()f x 与x 是等价无穷小量B ．()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．()f x 与比x 较高阶的无穷小量 D．()f x 与比x 较低阶的无穷小量5．设数列的通项为2(/1/n n n n x n n ⎧+ ⎪=⎨ ⎪⎩为奇数为偶数， 则当n →∞时，n x 是（ ） A ．无穷大量 B ．无穷小量 C ．有界变量 D ．无界变量6．设220()0x x f x x x x ⎧ ≤⎪=⎨+ >⎪⎩， 则（ ） A ．220()()0x x f x x x x ⎧ - ≤⎪-=⎨-+ >⎪⎩ B ．22()0()0x x x f x x x ⎧-+ <⎪-=⎨ - ≥⎪⎩ C ．220()0x x f x x x x ⎧ ≤⎪-=⎨- >⎪⎩ D ．220()0x x x f x x x ⎧- <⎪-=⎨ ≥⎪⎩ 7．设sin 2340()=sin d ()xf x t tg x x x =+⎰，，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）A ．等价无穷小B ．同阶但非等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小8．当0x →时，变量211sin x x是（ ） A ．无穷小量 B ．无穷大量C ．有界的但不是无穷小D ．无界的但不是无穷大9．设220ln(1)()lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） A ．1a b ==-，5/2 B ．0a b ==-，2C ．0a b ==-，5/2D ．1a b ==-，210．cos ()sin ()x f x x x e x =-∞<<+∞是（ ）A ．有界函数B ．单调函数C ．周期函数D ．偶函数11．函数()sin f x x x =（ ）A ．当x →∞时为无穷大量B ．在()-∞+∞，内有界C ．在()-∞+∞，内无界D ．当x →∞时有有限极限12．对于函数sin(tan )tan(sin )(0)/2y x x x x ππ=- ≤≤=，是（ ）A ．连续点B ．第一类间断点C ．可去间断点D ．第二类间断点13．单调有界函数若有间断点，则其类型为（ ）A ．必有第一类间断点B ．必有第二类间断点C ．第一类或第二类间断点D ．不能确定14．已知()f x 和()g x 在0x =点的某领域内连续，且0x →时()f x 是()g x 的高阶无穷小，则当0x →时，0()sin d xf t t t ⎰是0()d xtg t t ⎰的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．同阶但不等价无穷小D ．等价无穷小15．下列极限存在的是（ ）A ．0sin 1lim arctan x x x x →B ．0sin 1lim arctan x x x x→ C ．0sin 1lim arctan x x x x → D ．0sin 1lim arctan x x x x→ 16．下列命题中正确的是（ ）A ．()f x 为有界函数，且lim ()()0x f x α=，则lim ()0x α=B ．()x α为无穷小量，且()lim 0()x a x αβ=≠，则lim ()x β=∞ C ．()x α为无穷大量，且lim ()()x x a αβ=，则lim ()0x β=D ．()x α为无界函数，且lim ()()0f x x α=，则lim ()0f x =17．设{}{}{}n n n a b c ，，均为非负数列，且lim 0lim 1lim n n n n n n a b c →∞→∞→∞===∞，，，则必有（ ） A ．n n a b <对任意n 成立 B ．n n b c <对任意n 成立C ．极限lim n n n a c →∞不存在D ．极限lim n n n b c →∞不存在 18．设()f x 在()-∞+∞，内有定义，且1()0lim ()()00x f x f x a g x x x →∞⎧ ≠⎪==≤⎨⎪ =⎩，，则（ ） A ．0x =必是()g x 的第一类间断点B ．0x =必是()g x 的第二类间断点C ．0x =必是()g x 的连续点D ．()g x 在0x =处的连续性与a 的取值有关19．函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间有界（ ） A ．(10)-， B ．(01)， C ．(12)， D ．(23)，20．设函数/(1)1()1x x f x e -=-，则（ ）A ．01x x ==，都是()f x 的第一类间断点B ．01x x ==，都是()f x 的第二类间断点C ．0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点D ．0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点二、填空题（每小题3分，共60分）1．已知函数f （x ）的定义域为[0，4]，则函数ψ（x ）＝f （x+1）+f （x -1）的定义域为__________。

高等数学〔上〕复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是〔 〕A.〔-∞，+∞〕B.〔0，1〕C.〔-1，0〕D.〔-1，1〕3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 〔 〕A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1C. (-3，1)D.{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1}5.函数y=2x xln -的定义域是〔 〕A. (-∞，0)B. (2，+∞)C. (0，2)D. (-∞，0) ∪ (2，+∞)6.以下函数中为奇函数的是〔 〕A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-7.函数f(x)=1+xsin2x 是〔 〕 A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数8.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是〔 〕Ａ.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值9.当x →0时，以下无穷小量与x 为等价无穷小的是〔 〕A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x 1D.x 1x 1--+10.当0x →时，2x+x 2sinx1是x 的〔 〕 A.等价无穷小 C.高阶无穷小11.设函数)(x f y =在0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有 A.dy 是h 的等价无穷小； B.dy 是h 的高阶无穷小；C.dy y -∆是比h 高阶的无穷小；D.)(x f dy y -∆是h 的同阶无穷小；12.设2)(,1)(2x x g ex f x =-=-，则当0→x 时〔 〕Ａ.)(x f 是)(x g 的高阶无穷小 Ｂ.)(x f 是)(x g 的低阶无穷小Ｃ.)(x f 是)(x g 的等价无穷小 Ｄ.)(x f 与)(x g 是同阶但非等价无穷小 13.以下极限正确的选项是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim =∞→x x x ；D.12sin lim 0=→xx x ； 14.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim 〔 〕 2B.21e -2 D.21e-15.nn 211(lim +∞→〕＝〔 〕 Ａ. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 16.=+∞→xx x)21(lim 〔 〕 A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 17.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 18.=→2xtan3xlim 0x 〔 〕A.∞B.23C.019.=-ππ→xxsin lim x ( ).B.∞C.-1D.-∞20.=-+-→xx x x x 32112lim 〔 〕 A.21B. 0C. 1D. ∞21.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 223.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 24. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。

第一章函数、极限、连续一、单项选择题1.区间[a,+∞)，表示不等式（）2.若3.函数是（）。

（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。

5.函数6.函数7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于a（B）数列{ x n }极限存在且一定等于a（C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ（B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε（D）ε与δ无关11.任意给定12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值13.如果14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量（B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量（D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当X→0+ 时，（）为无穷大量。

17.若18.设19.求20.求21.求22.求23.求24.无穷多个无穷小量之和（）（A）必是无穷小量（B）必是无穷大量（C）必是有界量（D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）。

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

函数与极限练习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章 函数与极限§1 函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。

[ ]2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有B x f A ≤≤)([ ]3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。

[ ]4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。

[ ]5、任一周期函数必有最小正周期。

[ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。

[ ]7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。

[ ]8、f(x)=1+x+2x 是初等函数。

[ ] 二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln xey = （B ）2x y = （C ）44x y =（D ）x x y sgn =2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。

（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ϕϕ则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2x4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。

(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C));()(x f x f + (D) )].([x f f -三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。

1、 y=)1arctan(+x e2、 y=x x x ++3、y=xln ln ln四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。

《高等数学》第一章-——函数与极限练习题（A）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）{}{}{}(,)0U a x x a x a x a x a x a δδδδ=<−<=−<<∪<<+（）（2）关系式221x y −=表示y 是x 的函数（）（3）关系式{}{}max ,1min ,1y x x =+−表示y 是x 的函数（）（4）关系式2arccos ,2y u u x ==+表示y 是x 的函数（）（5）若()sgn f x x =，则21,0,()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩（）（6）若2()ln ,()2ln ,f x x g x x ==则()()f x g x =.（）（7）2sin y x =是周期为π的函数.（）（8）()00000lim ()()lim ()()0x x f x x f x f x x f x Δ→Δ→+Δ=⇔+Δ−=.（）（9）0y =是曲线21y x =的水平渐近线.（）（10）()y f x =在0x 连续的充要条件是000()()()f x f x f x −+==.（）（11）收敛数列的极限不唯一.（）（12）lim ()().f x A f x A α=⇔=+（其中lim 0α=）.（）（13）212limn nn →+∞++⋅⋅⋅+=（）（14）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义.若()f x 连续且()0f x ≠，()g x 有间断点，则()()g x f x 必有间断点（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.2arctan limn nn →+∞=3.212lim 10n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.0lim x x →=5.()()220lim 11sin x x x x x →⎡⎤++−+=⎣⎦6.221lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.2lim 31nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()3sin 2limtan x x x→=9.若lim ,n n x a →∞=则lim n n x →∞=10.若lim ,n n x a →∞=则2lim n n x →∞=11.()22limh x h x h→+−=12.231lim 1x x x →∞−=+13.331lim 1x x x →∞+=−三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，则下列命题错误的是（）A ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上既有上界也有下界B ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上也有界C ：若()f x 在X 上有界，则1()f x 在X 上必无界D ：若()f x 在X 上无界，则()f x 在X 上也无界（2）下列结论错误的是（）A ：sin y x =在定义域上有界B ：tan y x =在定义域上有界C ：arctan y x =在定义域上有界D ：arccos y x =在定义域上有界（3）下列结论正确的是（）A ：arcsin y x =的定义域是(,)−∞+∞B ：arctan y x =的值域是(,)−∞+∞C ：cos y x =的定义域是(,)−∞+∞D ：cot y arc x =的值域是(,22ππ−（4）若lim n n x a →+∞=，则下列结论错误的是（）A ：{}n x 必有界B ：必有11limn nx a →∞=C ：必有221lim lim n n n n x x a−→∞→∞==D ：必有1000lim n n x a+→∞=（5）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在，则0lim ()x x f x →一定存在B ：若函数()f x 在点0x 处无定义，则0lim ()x x f x →一定不存在C ：若0lim ()x x f x →不存在，则必有0lim ()x x f x →=∞D ：0lim ()x x f x →存在的充要条件是函数()f x 在点0x 处的左右极限存在且相等E ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在但不相等，则01lim()x x f x →一定存在（6）若lim ()0,lim ()x x f x g x →∞→∞==∞，则下列结论错误的是（）A ：()lim ()()x f x g x →∞±不存在B ：()lim ()()x f x g x →∞不一定存在C ：lim[2()]x f x →∞一定存在D ：()lim()x f x g x →∞不存在（7）下列结论正确的是（）A：绝对值很小的数一定是无穷小B：至少有两个常数是无穷小C：常数不可能是无穷小D：在自变量的某一变化过程中，趋向0的函数是无穷小（8）下列结论正确的是（）A ：有界函数与无穷大的积不一定为无穷大B ：无限个无穷小的和仍为无穷小C ：两个无穷大的和（积及商）仍为无穷大D ：无界函数一定是无穷大（9）下列等式不成立的是（）A ：1lim2n n n →+∞=B ：1limln(1)n n →+∞=+C ：lim 2n n →+∞=+∞D：lim1n →+∞−=（10）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：单增有上界的数列必收敛C ：单调数列必收敛D ：单减有下界的数列必收敛（11）下列结论正确的是（）A ：当0x →时，1xe −是比2x 高阶的无穷小B ：当1x →时，1x −与21x −是同阶的无穷小C ：当n →+∞时，21n 是比1n低阶的无穷小D ：当0x →时，若sin tan ax x ∼，则2a =（12）下列结论不正确的是（）A ：0x =是()xf x x=的跳跃间断点B ：2x π=是()tan xf x x =的可去间断点C ：()cot f x x =只有一个间断点D ：0x =是1()sin f x x=的第二类间断点（13）下列结论不正确的是（）A ：若lim ,n n x a →+∞=则10lim n n x a+→+∞=B ：01lim 1tan x x e x →−=C ：若10n x n<≤，则lim 0n n x →+∞=D ：123lim 121x x x x +→∞+⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠（14）下列数列收敛的是（）A ：11,1,1,,(1),n +−− B ：2,4,8,,2,nC ：123,,,,,2341n n + D ：233333,,,,,2222n⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（15）下列数列发散的是（）A ：1sin2n n x n π=B ：1(1)nn x n=−C ：215n x n=+D ：(1)nn x n =−（16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（）A ：lg ,(0)x x +→B ：lg ,()x x →+∞C ：21,(0)x x +→D ：1,(0)xe x −−→（17）下列结论错误的是（）A ：0(,)x ∀∈−∞+∞，00lim sin sin x x x x →=B ：2lim ln sin 0x x π→=C ：0(1,1)x ∀∈−，0lim arccos arccos x x x x →=D ：0lim sgn sgn x x x x →=四、计算题1.)lim arcsinx x →+∞−.2.2121lim()11x x x→−−−.3.3tan sin lim1x x x x e →−−. 4.()22lim 13tan cot xx x →+.5.1lim 1x x →−.五、证明题1.证明函数,()1sin ,x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>≤x x 在点0=x 处连续．2.证明2sin ,0(),0xx xf x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在定义域内连续的充要条件是1a =.3.设()f x 在[0,1]上连续，且(0)0f =，(1)1f =，证明存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=−.4.证明222111lim 012n n n n n →∞⎛⎞++⋅⋅⋅+=⎜⎟+++⎝⎠.5.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=.6.证明方程531x x −=在1与2之间至少存在一个实根.《高等数学》第一章---函数与极限练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）2322(1,0)(3,4)x x x −−<⇔∈−∪（）（2）以1为中心，2为半径的去心邻域为{}{}(1,2)1113U x x x x =−<<∪<<（）（3）关系式2arcsin(3)y x =+表示y 是x 的函数（）（4）关系式{}max ,1min{,5}y x x =+表示y 是x 的函数（）（5）若函数()f x 的定义域为[1,4]，则函数2()f x 的定义域为[1,2]（）（6）若2(1)(1)f x x x −=−，则2()(1)f x x x =−（）（7）函数1,0()0,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩是偶函数（）（8）函数()cos 4f x x =的反函数1()arccos 4f x x−=（）（9）若()()sgn ,f x g x x ==则()()f x g x =.（）（10）sin 2tan 2xy x =+是周期为π的函数.（）（11）函数lg y u x ==能构成复合函数y =的充分必要条件是[1,10]x ∈（）（12）曲线211x y e−−=的水平渐近线是1y =（）（13）若0lim ()x x f x →不存在，则必有00()()f x f x −+≠（）（14））,0()0,0,0x a x f x x x a x +>⎧⎪==⎨⎪−<⎩在0x =连续的充要条件是0a =（）（15）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义，()f x 为连续，且()0f x ≠，若()g x 有间断点，则222()()g x f x 必有间断点（）（16）1x =是函数()2sgn(1)1y x =−+的可去间断点（）（17）4x π=是2tan 21y x =−的无穷间断点（）（18）lim ()1()1.f x f x α=⇔=+（其中lim 0α=）（）（19）2080100(1)(100)lim 1(1)n n n n →∞−+=+（）（20）222212lim 0n n n →+∞++⋅⋅⋅+=（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.24arctan(1)(sin 1)lim100n n n n →+∞−+=−3.417lim 100n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.()1lim 1sgn(1)x x x →−−=5.22301lim (3cos )2x x x x →⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦6.242lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.24lim 101nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()10050sin 4lim(tan 2)x x x →=9.若lim ,n n x a →+∞=则221lim n n n x x −→+∞⎡+⎤=⎣⎦10.225lim 2x x x →−=−11.()33limh x h x h→+−=12.20010001lim1x x x →∞−=+13.2lim ln sin x x π→=14.0x →=三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）下列结论错误的是（）A ：由于函数()sin f x x =在[,]22ππ−上单调递增，因此()f x 的反函数1()f x −必存在且1()fx −的定义域为[1,1]−，值域为[,]22ππ−B ：在同一平面坐标系中，函数()y f x =与其反函数1()y f x −=的图形关于直线y x =对称C ：由于函数()tan f x x =在,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠上单调递增且连续，因此()f x 的反函数1()f x −在(),−∞+∞上也是单调递增且连续.D ：函数()cot f x arc x =的定义域为(,)−∞+∞，值域为,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠（2）下列数列收敛的是（）A ：:1,1,1,1,1,1,n x −−−B ：:0,1,2,3,4,5,n xC ：:0,ln 2,ln 3,ln 4,ln 5,n xD ：111:0,,0,,0,,248n x（3）下列数列发散的是（）A ：(1)1n n ⎧⎫−+⎨⎬⎩⎭B ：3110n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭C ：{}(2)n−D ：1ln(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭（4）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：发散的数列必无界C ：数列收敛的充要条件是任意子列都收敛于同一个数D ：收敛的数列必有界（5）若lim ()f x 与lim ()g x 都不存在，则（）A ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 都不存在B ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 一定都存在C ：[]lim ()()f x g x −与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都不存在.D ：[]lim ()()f x g x ±、[]lim ()()f x g x 与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能存在，也可能不存在（6）下列结论正确的是（）A ：若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>，则必有()()f x g x >B ：若()()f x g x >，则必有0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>C ：若0lim (),x x f x A →=则()f x 必有界D ：0lim ()x x f x A →=的充要条件是对任意数列00,,n n x x y x →→有lim ()lim ()n n n n x x y x f x f y A→→==（7）下列结论正确的是（）A ：若数列n x 无界，则数列n x 一定发散B ：若lim 0,lim 1,n n n n a b →∞→∞==则lim n n nba →∞一定存在C ：若lim n n x a →+∞=，则必有lim n n x a→+∞=D ：若221lim lim n n n n x x a −→+∞→+∞==，则lim n n x →+∞一定不存在（8）当x →∞时，下列变量中不是无穷小量的是（）A ：3211x x x −++BC ：221(1)sin1x x x−−D ：2211sin1xx x −−（9）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是（）A ：41sin(0)x x x→B ：21sin (0)x x x →C ：cos ()x x x →∞D ：1cos (0)x x x→（10）当0x →时，下列变量中与2tan x 为等价无穷小量的是（）AB ：xC ：2xD ：3x（11）设当x →0时，tan sin x x −是比sin narc x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（）A ：1或2B ：4C ：5D ：3.（12）设()1,()ln(1),,mx n x ex x m n N αβ+=−=+∈，则当x →0时，下列结论正确的是（）A ：当m n >时，()x α必是()x β等价的无穷小B ：当m n =时，()x α必是()x β高阶的无穷小C ：当m n <时，()x α是()x β的低阶无穷小D ：当m n <时，()x α是()x β的同阶无穷小（13）设若,,ααββ′′∼∼则下列结论可能不正确的是（）A ：αβαβ′′∼B ：αβαβ′′±±∼C ：αβαβ′′∼D ：(0)C C C αα′≠∼（14）()xf x x=在0x =有（）A ：跳跃间断点B ：可去间断点C ：震荡间断点.D ：无穷间断点（15）函数1(3)ln y x x=−的间断点有（）A ：1个；B ：2个C ：3个D ：4个（16）当x →∞时，若2111ax bx c x ∼++−，则,,a b c 的值一定为（）A ：0,1,1a b c ===−B ：0,1,a b c ==为任意常数C ：0,,a b c =为任意常数D ：,,a b c 为任意常数（17）下列极限中结果等于e 的是（）A ：sin 0sin 2lim 1xxx x x →⎛⎞+⎜⎟⎝⎠B ：sin sin lim 1xxx x x →∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠C ：sin sin lim 1x xx x x −→∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠D ：()2cot 0lim 1tan xx x →+（18）函数111()01x e x f x x −−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在点1x =处（）A ：连续B ：不连续，但右连续或有右极限C ：不连续，但左连续或有左极限D ：左、右都不连续（19）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内一定有界B ：若函数()f x 在[,]a b 内有间断点，则()f x 在[,]a b 上一定没有最值C ：若函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，而函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处也是连续的D ：一切初等函数在其定义域内都是连续的四、计算题1.设()0.10x e x f x x ⎧≤=⎨>⎩求)(x f 在0x =的极限2.求lim x →+∞3.求3211lim()11x x x x →−−−4.求)21sin limtan x arc xx →− 5.求lim ln(1)ln(1)n n nn n →∞⎛⎞−⎜⎟−+⎝⎠五、讨论题1.讨论2sin ,0;()1,0.xx x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在定义域内的连续性2.讨论a 取何值可使1sin arccos ,0;()0,0;ln(1),0.x x x f x x x a x ⎧>⎪⎪==⎨⎪−+<⎪⎩在定义域内连续.六、证明题1.设()f x 在[0,1]上连续，且(1)0f >，证明存在(0,1)ξ∈，使()1f ξξξ=−2.证明lim 1n →∞⎛⎞+⋅⋅⋅+=3.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=4.证明曲线423710y x x x =−+−在1x =与2x =之间至少存在与x 轴有一个交点5.证明0p >时，函数1sin ,0()0,px x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0>≤x x 在点0=x 处连续．6.证明：0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=.《高等数学》第一章-——函数与极限自测题（A）题号一二三四五六总分得分一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。