数列极限的描述性定义 对于数列
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数列极限的描述性定义对于数列{𝑥𝑛}，如果当n无限增大时，𝑥𝑛无限接近于某一常数a，那么就称数列{𝑥𝑛}收敛于a,或称常数a为数列{𝑥𝑛}的极限，记作
lim𝑛→+∞𝑥𝑛=𝑎或𝑥𝑛→𝑎(𝑛→+∞)
数列极限的分析定义对于数列{𝑥𝑛}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式 𝑥𝑛−𝑎 <𝜀都成立，那么就称数列 𝑥𝑛 收敛于a，或称常数a为数列 𝑥𝑛 的极限，记作
lim𝑛→+∞𝑥𝑛=𝑎或𝑥𝑛→𝑎(𝑛→+∞)
注：①从几何意义上看，“当n>N时，有 𝑥𝑛−𝑎 <𝜀”表示：所有下标大于N的项𝑥𝑛都落在邻域U（a,ε）之外，至多只含有数列 𝑥𝑛 的有限项。
②在数列极限的定义中，若满足条件的常数a确实不存在，则称数列 𝑥𝑛 不收敛，或称数列 𝑥𝑛 为发散数列，也称数列极限lim𝑛→+∞𝑥𝑛不存在。
数列极限的唯一性若数列 𝑥𝑛 收敛，则其极限是唯一的。
收敛数列的有界性若数列 𝑥𝑛 收敛，则数列 𝑥𝑛 是有界的。
数列的有界性仅仅是数列收敛的必要条件，而非充分条件。
收敛数列的保号性设lim𝑛→+∞𝑥𝑛=𝑎，若a>0(或a<0),则存在正整数N，当n>N时，都有𝑥𝑛>0(或𝑥𝑛<0).
推论1 若lim𝑛→+∞𝑥𝑛=𝑎，且数列 𝑥𝑛 从某一项起有𝑥𝑛≥0（或𝑥𝑛≤0），则a≥0（或𝑎≤0）.
收敛数列与其子数列的关系数列 𝑥𝑛 收敛于a的充分条件是其任一子数列也收敛于a。
数列极限的四则运算法则对于数列 𝑥𝑛 和 𝑦𝑛 ，若lim𝑛→+∞𝑥𝑛=𝑎，lim𝑛→+∞𝑦𝑛=𝑏，,则数列{𝑥𝑛±𝑦𝑛}，{𝑥𝑛∙𝑦𝑛}和{𝑥𝑛𝑦𝑛}（𝑦𝑛≠0，b≠0）都收敛，且有
①
②
③
特殊地，对于常数k，有
设函数𝑓 𝑥 在[a,+∞）上有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数𝜀(无论多么小)，总存在正实数M（M≥a），使得当x>M时，有 𝑓 𝑥 −𝐴 <𝜀成立，则称常数A为函数𝑓 𝑥 当x趋于+∞时的极限，记作lim𝑛→+∞𝑓 𝑥 =𝐴或𝑓 𝑥 →𝐴(𝑥→+∞)
即lim𝑛→+∞𝑓 𝑥 =𝐴↔∀ε>0,∃𝑀>0,使得当x>𝑀时，有 𝑓 𝑥 −𝐴 <𝜀
设函数𝑓 𝑥 在点𝑥0的某个去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数𝜀(无论多么小)，总存在正数δ，使得当0< 𝑥−𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑥 −𝐴 <𝜀成立，则称常数A为函数
𝑓 𝑥 当即lim𝑛→+∞𝑓 𝑥 =𝐴↔∀ε>0,∃𝑀>0,使得当x>𝑀时，有 𝑓 𝑥 −𝐴 <𝜀x趋于𝑥0时的极限，记作
lim𝑛→𝑥0𝑓 𝑥 =𝐴或𝑓 𝑥 →𝐴(𝑥→𝑥0)
即lim𝑛→𝑥0𝑓 𝑥 =𝐴↔∀ε>0,∃𝛿>0,使得当0< 𝑥−𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑥 −𝐴 <𝜀
（只要求函数𝑓 𝑥 在𝑥0的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点𝑥0处是否有定义，或者取什么值）
如果当x从左侧（右侧）趋于𝑥0时，函数𝑓 𝑥 无限趋近于常数A，则称常数A为函数𝑓 𝑥 在x→𝑥0时的左极限（右极限），记为lim𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥)=𝐴(lim𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)=𝐴或f(𝑥0+)=A).
即
左极限和右极限统称为单侧极限。函数𝑓 𝑥 在x→𝑥0时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即
函数极限的唯一性若极限lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 存在，则该极限是唯一的。
函数极限的局部有界性若lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 存在，那么函数𝑓 𝑥 在局部范围内就是有界的，即存在常数M和δ>0，使得当0< 𝑥−𝑥0 <𝛿时，有 𝑓（x） ≤𝑀
函数极限的局部保号性若lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 =A，且A>0（或A<0）,那么就存在常数δ>0，使得当0< 𝑥−𝑥0 <𝛿时，有f(x)>0(或者f(x)<0).
推论如果𝑥0的某一去心邻域内有f x ≥0 或f x ≤0 ,且lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 =A,那么A≥0(或A≤0)。
海涅定理设函数𝑓 𝑥 在点𝑥0的某个去心邻域内有定义，则lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 存在的充要条件是对任何含于上述𝑥0的去心邻域内，且以𝑥0为极限的数列{𝑥𝑛},极限lim𝑛→+∞𝑓 𝑥 都存在且相等。
函数极限的四则运算法则
x趋于𝑥0时的极限，记作
lim𝑛→𝑥0𝑓 𝑥 =𝐴或𝑓 𝑥 →𝐴(𝑥→𝑥0)
即lim𝑛→𝑥0𝑓 𝑥 =𝐴↔∀ε>0,∃𝛿>0,使得当0< 𝑥−𝑥0 <𝛿时，有 𝑓 𝑥 −𝐴 <𝜀
（只要求函数𝑓 𝑥 在𝑥0的某一去心邻域内有定义，而一般不考虑它在点𝑥0处是否有定义，或者取什么值）
如果当x从左侧（右侧）趋于𝑥0时，函数𝑓 𝑥 无限趋近于常数A，则称常数A为函数𝑓 𝑥 在x→𝑥0时的左极限（右极限），记为lim𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥)=𝐴(lim𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)=𝐴或f(𝑥0+)=A).
即
左极限和右极限统称为单侧极限。函数𝑓 𝑥 在x→𝑥0时的极限存在的充要条件是其左右极限都存在而且相等，即
函数极限的唯一性若极限lim𝑛→𝑥0𝑓 𝑥 存在，则该极限是唯一的。
函数极限的局部有界性若lim𝑛→𝑥0𝑓 𝑥 存在，那么函数𝑓 𝑥 在局部范围内就是有界的，即存在常数M和δ>0，使得当0< 𝑥−𝑥0 <𝛿时，有 𝑓（x） ≤𝑀
函数极限的局部保号性若lim𝑛→𝑥0𝑓 𝑥 =A，且A>0（或A<0），那么就存在常数δ>0，使得当0< 𝑥−𝑥0 <𝛿时，有f(x)>0(或f(x)<0)
推论
