高一数学必修4同步练习：1-5-1画函数y=Asin(ωx+φ)的图象

1-5-1画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象一、选择题1．下列命题正确的是( )A ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位得y ＝cos x 的图象B ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位得y ＝sin x 的图象C ．当φ>0时，y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位可得y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．当φ<0时，y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位可得y ＝sin(x －φ)的图象[答案] B2．将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin x ＋π3B ．y ＝sin x －π3C ．y ＝sin(x －π3)D ．y ＝sin(x ＋π3)[答案] C3．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度3[答案] A[解析] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，得函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．4．将函数y ＝sin x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位，得到的函数解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π3)C ．y ＝sin(x 2＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π12)[答案] B[解析] y ＝sin x y ＝sin2xy ＝sin[2(x ＋π6)]＝sin(2x ＋π3)．5．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度6[答案] C[解析] y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，则只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．6．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －π6的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.[点评] 牢记左右(上下)平移都只是对点的坐标x 、y 的变换． 7．(2011·大纲版全国高考)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9[答案] C8．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴各个交点中离原点最近的一点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 [答案] A[解析] 由4x ＋2π3＝k π得，x ＝k π4－π6，k ＝0时，得点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，k ＝1时得点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，故选A.9．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：A ．A ＝0，ω＝π12，φ＝0B ．A ＝2，ω＝3，φ＝π12C ．A ＝2，ω＝3，φ＝－π4D ．A ＝1，ω＝2，φ＝－π12[答案] C[解析] 由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω，∴ω＝3.∴ωx ＋φ＝3x ＋φ. 当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4.10．(2012全国高考浙江卷)把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )[答案] B[解析] 把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向右平移1个单位长度得：y 2＝cos(x －1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x －1)．令x ＝0，得：y 3>0；x ＝π2＋1，得：y 3＝0；观察即得答案．二、填空题11．用“五点法”画y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，4，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4，－4，________.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，0 [解析] 令23x ＋π3＝2π，则x ＝5π2，即最后一个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，0.12．把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是________．[答案] y ＝3sin2x －1[解析] 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得函数y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin2x ，再向下平移1个单位长度得y ＝3sin2x－1.13．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．[答案] ④②或②⑥[解析] y ＝sin x ――→④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――→②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3或y ＝sin x ――→②y ＝sin x 2――→⑥y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.14．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.[答案] 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 [解析] 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1. 三、解答题15．函数y ＝f (x )的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π2个单位长度，所得到的曲线是y ＝13sin x 的图象，求函数y ＝f (x )的解析式．[解析] y ＝13sin x ――→向右平移π2个单位长y ＝13sin(x －π2)――→横坐标变为原来的一半 y ＝13sin(2x －π2)＝－13cos2x . 即f (x )＝－13cos2x .16．已知函数y ＝sin(2x ＋π4)＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ [解析] (1)列表：将y ＝sin(2x ＋π4)＋1在[－78，7π8]上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin(2x ＋π4)＋1的图象．17．已知函数y ＝3sin2x 的图象C 1，问需要经过怎样的变换得到函数y ＝3cos(2x －7π4)的图象C 2，并且平移路程最短？[解析] 方法一：∵y ＝3cos(2x －7π4)＝3sin[π2＋(2x －7π4)]＝3sin(2x －5π4)＝3sin[2(x －5π8)]，∴可将y ＝3sin2x 的图象C 1向右平移5π8个单位长度可得C 2.方法二：∵y ＝3cos(2x －7π4)＝3sin(2x －5π4)＝3sin(2x －5π4＋2π)＝3sin[2(x ＋3π9)]，∴可将y ＝3sin2x 的图象C 1向左平移3π8个单位长度可得C 2.综上可知，平移路程最短是向左平移3π8个单位长度．18．将函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象．(1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象． (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．[解析] 函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos(2x －π6)的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos[2(x ＋π12)－π6]＝cos2x 的图象，即图象C 2.(1)画出图象C 1和C 2的图象如图(2)由图象可知：两个图象共有7个交点． 即方程f (x )＝g (x )解的个数为7.。