高考数学(理)一轮复习第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示学案

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入本章主要包括两个内容：平面向量、复数的概念与运算．1．平面向量的复习，主要掌握以下几点：(1)平面向量的相关概念：主要有相等向量、相反向量、零向量、共线向量、向量的模、两个向量的夹角等，这些概念是向量的基础．(2)平面向量的线性运算：向量的加法运算、减法运算、数乘运算，要注意向量共线的充要条件的应用．(3)平面向量的基本定理：这个定理是平面向量的核心，有了这个定理，实现了平面向量的坐标化运算．(4)平面向量的数量积是平面向量的主要公式，利用这个公式，可以求出两个向量的夹角，判断两个向量的垂直与平行．2．复数的复习，主要掌握以下几点：(1)复数的概念：复数的定义，复数的实部、虚部，复数的相等，共轭复数，复数的模．(2)复数的运算：复数的四则运算中，除法运算是将分母实数化．(3)复数加减运算的几何意义．预测高考对平面向量的考查仍以小题考查重要知识点，以中、低难度为主；在解答题中，会与三角函数、解三角形、解析几何等结合综合考查向量的应用．对复数的考查，仍会以小题考查复数的概念与四则运算，以容易题为主．1．复习平面向量内容时要注意：(1)向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量．(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础．(3)向量的加、减、数乘是向量的线性运算，其结果仍是向量．向量的数量积结果是一个实数．向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直．(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律．(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用．(6)平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.2．对于复数，《课标》及《考纲》的要求有以下三点：理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，会进行复数代数形式的四则运算．所以在复习中应掌握好以下几个方面：(1)掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．(2)熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则．在运算过程中要注意复数运算法则与实数运算法则的区别．复习中应掌握好复数问题实数化的化归思想．第一节 向量与向量的线性运算基础回顾Ｋ 一、向量的有关概念 1．平面向量．平面内既有大小又有方向的量叫做向量．向量一般用a ，b ，c ，……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB →.向量AB →的大小即向量的模(长度)，记作|AB →|，向量a 的大小，记作|a|.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 2．零向量．长度为零的向量叫做零向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行．零向量a ＝0⇔|a|＝0.由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件(注意“0”与“0”的区别)．3．单位向量．模为1个单位长度的向量叫做单位向量．向量a 0为单位向量⇔|a 0|＝1. 4．平行向量(共线向量)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a∥b .由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，这里必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．5．相等向量．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a ＝b.二、向量的运算 1．向量的加法．求两个向量和的运算叫做向量的加法． 设AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 规定：(1)0＋a ＝a ＋0＝a ；基础自测Ｋ1．已知非零向量a ，b ，则“a∥b”是“a＋b ＝0”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：“a∥b”只要求两向量共线，而“a＋b ＝0”要求反向共线且模相等．故选B. 2．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为(C )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：如图所示，a －b ＝AB →＝e 1－3e 2.故选C.3．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，向量a ＝2e 1－e 2，b ＝me 1＋3e 2，若a∥b，则实数 m ＝－6．4．(2013·江苏南通高三期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则abc ＝201512．解析：由3aBC →＋4bCA →－5c(BC →＋CA →)＝0. 得3aBC →＋4bCA →－5cBC →－5cCA →＝0. 即(3a －5c)BC →＋(4b －5c)CA →＝0.因为BC →与CA →不共线，所以3a －5c ＝0，且4b －5c ＝0. 所以abc ＝201512.(2)向量加法满足交换律与结合律．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB →＋BC →＋CD →＋…＋PQ →＋QR →＝AR →，但这时必须“首尾相连”．2．向量的减法．(1)相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a.零向量的相反向量仍是零向量．关于相反向量有：①－(－a)＝a ；②a＋(－a)＝(－a)＋a ＝0；③若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.(2)向量的减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作a －b ＝a ＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(3)作图法：a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a ，b 有共同起点)． 3．向量加、减法的“三角形法则”与“平行四边形法则”．(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量．(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则． 4．实数与向量的积．(1)实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①||λa ＝||λ||a ；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0，方向是任意的．(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律． 三、两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b ＝λa.,高考方向1.平面向量的线性运算、共线向量定理将会成为近几年高考命题的热点.2.虽然全国高考在本节命题很少，但有可能与三角、解析几何交汇考查，有时也会命制新定义问题.3.题型主要以选择题、填空题为主，属中低档题.品味高考1．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD →＝(C )A.23AB →－13AC →B.13AB →＋23AC →C.23AB →＋13AC →D.13AB →－23AC → 解析：因为AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23(AB →－AC →)＝23AB →＋13AC →，故选C.2．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为12．解析：易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.高考测验1．定义平面向量的正弦积为a ∘b ＝|a||b|sin 2θ(其中θ为a ，b 的夹角)．已知△ABC 中，AB →∘BC →＝BC →∘CA →，则此三角形一定是(A )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：因为AB →∘BC →＝|AB →||BC →|sin 2(π－B)＝－|AB →||BC →|·sin 2B ，BC →∘CA →＝|BC →||CA →|sin 2(π－C)＝－|BC →||CA →|·sin 2C ，所以|AB →||BC →|sin 2B ＝|BC →||CA →|sin 2C ，即|AB →|·sin 2B ＝|CA →|sin 2C ，即c·2sin Bcos B ＝b·2sin Ccos C ，由正弦定理可得c·2b·cos B ＝b·2c·cos C ，故cos B ＝cos C ，因为A ，B ，C 为三角形的内角，故△ABC 一定是等腰三角形，故选A.2．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，点M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则2λ－3μ＝12．解析：依题意可解得BH ＝1，HC ＝2，AH ＝3，AM ＝32.过点M 作边AB 的平行线交边BC 于点L ，过点A 作边BC 的平行线与直线LM 交于点K ，取边AB 的中点N ，连接MN.∵点M 为AH 的中点，易得MN∥AK，且AK ＝BL ＝16BC ，∴AM →＝12AB →＋16BC →.∴λ＝12，μ＝16.∴2λ－3μ＝12.课时作业1．(2013·吉林段考)在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是(C ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0 解析：AB →－AD →＝DB →＝－BD →，故C 错．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝(B )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：利用平面几何知识得出DF∶FC＝1∶2，然后利用向量的加减法则，可得答案B. 3．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a∥b 时，实数λ等于(D ) A ．－1 B ．0 C ．－12D ．－2解析：设b ＝ma ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m ，－1＝m ，由此解得λ＝－2，故选D.4．非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R)，则点Q(x ，y)的轨迹方程是(A )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴x ＝2＋2λ，且y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.故选A.5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|＝(A )A.12B.13C.14D.16解析：由已知等式得2OC →－2OB →＝OB →－OA →，即2BO →＋2OC →＝AO →＋OB →， ∴2BC →＝AB →，于是2|BC →|＝|AB →|，即|BC →||AB →|＝12.故选A.6．(2015·全国卷Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12． 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k(a ＋2b)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.7．(2013·四川卷)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝2．解析：由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ， ∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →， ∴λ＝2.8．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△A OB 与△AOC 的面积之比为12． 9．(2013·苏州调研)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于0．解析：∵a＋b 与c 共线， ∴a ＋b ＝λ1c.① 又∵b＋c 与a 共线， ∴b ＋c ＝λ2a.② 由①得：b ＝λ1c －a.∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.10．设e 1，e 2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解析：BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2， ∵A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ使AB →＝λBD →. ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)， 得λ＝2，k ＝－4λ⇒k ＝－8.。

第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a ⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． 3．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．4．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i. ( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)×(4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0A [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，解得m ＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－iA [1＋2i 2－i＝1＋＋－＋＝5i5＝i.] 5．(教材改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.则复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12C ．1 D. 2 C [z ＝1－i1＋i＋2i ＝－2＋－＋2i ＝i ，所以|z |＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iB [21－i＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i ，故选B.]3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________． －2 [∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －－＋－＝2a －1－a ＋5＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]复数的分类、所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ，的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组即可求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数，然后利用复数模的定义.►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2C ．2D ．3(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. (3)因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， 所以4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]►考法2 复数的除法运算【例2】 (1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________. (2)(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．(1)4－i (2)2 [(1)6＋7i1＋2i ＝＋－＋－＝6＋14＋7i －12i 5＝4－i.(2)z ＝1＋2i i＝＋－－＝2－i故z 的实部为2.] ►考法3 复数的综合运算【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足 2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(1)A (2)D (3)B [(1)由1－z1＋z＝i 得1－z ＝i ＋z i. 即(1＋i)z ＝1－i ，则z ＝1－i1＋i ＝－i ，因此z ＝i ，故选A.(2)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i ，故选B.]复数的乘法类同类项，不含复数的除法幂写成最简形式复数的运算与复数概念的综合题a ，的形式，再结合相关定义解答(1)(2019·合肥模拟)已知i 为虚数单位，则2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．i －1C ．－i －1D ．－i(3)(2019·南昌模拟)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝2，z 2＝－2i ，则z ＝( ) A.12－12i B.12＋12i C ．1＋iD ．1－i(1)A (2)C (3)D [(1)法一：＋－2－i＝10－5i 2－i ＝5，故选A. 法二：＋－2－i＝＋2－＋－＝＋－5＝5，故选A.(2)由已知可得z ＝2i1－i＝＋－＋＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z ＝1－i 时，符合题意，故选D.]【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数1－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(1)D (2)B [(1)11－i＝1＋i －＋＝1＋i 2＝12＋12i ，所以11－i 的共轭复数为12－12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1，故选B.]a ，b 一一对应(1)(2019·广州模拟)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z＋z 2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．1＋2i B．1－2iC．－2＋i D．2＋i(1)A(2)C[(1)因为z＝1＋i，所以2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝－＋－＋1＋2i＋i2＝－2＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z＝－＋－＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝( )A．1 B. 2 C. 3 D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋iC [∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

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Hale Waihona Puke 返回导航数学a＋3i a－6＋（2a＋3）i 解析：选 D. ＝ ，∴当 a＝6 时，复数 5 1－2i a＋3i 为纯虚数． 1－2i
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(1)复数的实部、虚部和复数的分类都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，解题时一定要先看复数是否为 a＋ bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．若不是，则先把复数化 为代数形式 z＝a＋bi，其中 a 为实部，b 为虚部，由此可以写出 复数的实部或虚部，切记虚部包含它前面的负号． (2)根据复数是实数、纯虚数，求参数值时，只需将复数化为 标准形式，再列出实部、虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可．
ac＋bd bc－ad ＋ i c2＋d2 c2＋d2 (c＋di≠0)．
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数学
2．复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C， 有 z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)． i4n＝ 1 ，i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝－i ．
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4i 4i 解析：选 C. ＝ ＝i. zz－1 （1＋2i）（1－2i）－1
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数学
4．(2015· 高考湖北卷)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为( A．i C．1 B．－i D．－1
)
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数学
解析： 选 A.因为 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i， 所以其共轭复数为 i， 故选 A.
数学
把脉高考 理清考情
考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优

T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3