四年级数学之周期问题
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第十一讲周期问题
知识要点与学法指导：在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序重复出现的；每周有七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现的。
我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。
确定周期后，用总量除以周期，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多 n 个，那么为下个周期里的第 n 个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。
例 1 有一列数， 5、6、2、4、5、6、 2、4,, ①第 129 个数
是多少 ?②这 129 个数相加的和是多少 ? 【分析与解】
①从排列可以看出，这组数是按 5、6、2、4 一个循环依次不断重复出现排列，那么一个循环就是 4 个数，由 129÷ 4＝32,, 1 可知有 32 个（5、6、2、4）还剩一个数。
所以第 129 个数是 5。
②每个循环各数之和是 5＋6＋2＋4＝17。
所以，这 129 个数相加应是 17× 32＋ 5＝549。
（ 1）129÷4＝32,, 1，第 129 个数是 5。
（ 2）（5＋ 6＋ 4＋ 2）× 32＋ 5＝ 549，这 129 个数之和是 549。
试一试1
有一列数是 1，4，2，5，8， 7，1，4，2，5，8，7,, 这样的规律排列的。
（1）求出第 78 个数是多少？（ 2）前 61 个数相加的和是多少？
例 2 2003 年 1月 1 日是星期三，（1）该月的 22 号是星期几？
（2）2003年4月 5日是星期几？（ 3）2008年1月 1日是星期几？【分析与解】
（1）一星期 7 天，为一个周期。
这类题在计算天数时，可采用“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法。
（22－1）÷7＝3 没有余数，该月 22 号仍为星期三。
（ 2）首先要能正确算出天数，要考虑平年或闰年的二月份天数。
31－1＋28＋31＋5＝94（天）
94÷ 7＝ 13（周） ,, 3（天）
从周三往后数 3天，4月 5日是星期六。
（ 3）2003年、 2005年、 2006年、 2007年是平年，2004年是闰年，从 2003 年 1 月 1 日到 2008 年 1 月 1 日共 1826 天， 1826÷ 7＝ 260（周） ,, 6（天）
从周三开始往后数 6 天， 2008年 1 月 1日是星期二。
再介绍另一种思考方法： 365÷ 7＝52（周） ,, 1（天）366÷ 7＝ 52（周） ,, 2（天）。
从2003年1月1日到2008年1 月 1 日要经过 4 个 365 天，1 个 366 天就会余下
4 个 1 天、1 个 2 天，合起来共 6 天。
所以从周三往后数 6 天，也是星期二。
想一想为什么？
答：该月 22号是星期三， 4月 5日是星期六， 2008年 1月 1日是星期二。
试一试2
2008年的 1月1日是星期二， 2008年的 6月1日是星期几？ 2008 年的 8 月 8 日是星期几？
例 3 假设所有的自然数排列起来，如下所示， 39 应该排在哪个字母下面？ 88 应该排在哪个字母下面？
【分析与解】从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4 个数一个循环，我们可以根据这些数除以4 所得的余数来分析、判断。
39 ÷ 4＝ 9,, 3 88÷ 4＝ 22
所以， 39 应排在第 10 个循环的第 3 个字母 C 下面，
88 应排在第 22 个循环的第 4个字母 D 下面。
试一试3 把自然数按如下的方式排列。
1 2 5 10 17
4 3 6 11 18
9 8 7 12 19
16 15 14 13 20
25 24 23 22 21
问第 10 行第 10 列的那个数是多少？
[提示] 根据观察，可以得到这样的规律，第 10行第 1 列的数是10×10＝100，且第10行前10个数逐次减少1，即100，99，98,, 。
用 100－ 9＝ 91，所以第 10 行第 10 列的那个数是 91。
例 4 用 1、2、3、4 这四张卡片可以组成不同的四位数，如把它们从小到大依次排列出来，第 1 个是 1234 ，第二个是1243，第 15 个是多少？
【分析与解】
一共可以组成 24个不同四位数，每个数字在千位上都出
现 6次，以 6 次为一周期。
15÷ 6＝2,, 3
应是第 3 个周期中的第三个数，千位上是 3 的数有 3124 3142 3214 等数，所以第 15 个数是 3214。
试一试4
用 5，6， 7，0 这四张卡片可以组成多少个不同的四位
数？如果把它们从小到大依次排列出来，第 12 个是多少？
[提示] 0 不能出现在千位上。
练习十一
1.有一列数， 1、4、 2、8、5、7、1、4、2、8、5、7,,
①第 58 个数是多少？②这 58 个数相加的和是多少？
2.小青把积存下来的硬币按先四个 1 分，再三个 2分，最后两个 5 分这样的顺序一直往下排。
①他排到第 111 个是几分硬币？
②这 111 个硬币和起来是多少元钱。
3.河岸上种了 100 棵桃树，第一棵是蟠桃、再后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。
接下去总是一棵是蟠桃、2 棵是水蜜桃，
3 棵大青桃这样种下去。
问第 100 棵是什么桃树？三种树各有多少棵？
4．有一排彩灯，从第一盏开始，按照2 盏红灯， 1 盏绿灯， 1
盏黄灯这样的规律串起来，第 59盏灯是什么颜色？第 2009 盏呢？
5.2003 年 3 月 19 日是星期三， 8 月 1 日是星期几？
6.1996 年 8 月 1 日是星期四， 1997 年的元旦是星期几？
7.1989年 12月5日是期二，那么再过 10年的 12月 5日是星期几？
8．鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这几种动物依次代表各年的年号，公元 2009 年是牛年，公元2058 年是什么年？
9. 假设所有自然数排列起来，如下图所示，36、43、78、2000
应分别排在哪个字母下面？
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
16 15 14 13
17 18
10．把 1 到 500 的自然数分成A、B、 C 三组
A B C
1 2 3
4 5 6
7 8 9
根据分组的规律回答：
（ 1）A 组中一共有多少个自然数？
（2）B 组中第 15个数是多少？（3）100 排在哪一组的下面？
11．200 个同学按下列方法编号排成五列：
一二三四五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
最后一个同学应该在第
几例？
12. 用 2、3、4、5 四个数字组成不同的四位数，把它们从小到大排列，第 16 个是多少？
13．用 1、2、4、7 四个数字组成不同的四位数，把它们从大到小排列，第 20 个数是多少？
14．用 1—5 这个五个不同数字可以组成 120个不同的五位数，把它们从小到大排列，第 25 个数是多少？。
