高考数学分项解析19抛物线理含解析77

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。

第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。