高考数学-抛物线及其标准方程

抛物线复习【高考会这样考】1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．考点梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口 方向向右 向左 向上 向下【助学·微博】一个重要转化 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”． 六个常见结论直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图． ①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 考点自测1．(陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )． A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x2．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.743．(四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )．A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 54．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．5．(新乡模拟)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为________．考向一抛物线的定义及其应用【例1】►已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【训练1】设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【训练2】(郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x考向三抛物线的焦点弦问题【例3】►已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【训练3】 若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．方法优化——有关抛物线焦点弦的解题技巧【真题探究】► (安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )．A.22B. 2C.322 D ．2 2【试一试】 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与该抛物线相交于A (x 1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是()．A．4 B．8 C．12 D．16A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )． A.34 B ．1C.54D.742．(东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为 ( )．A ．2B ．18C ．2或18D ．4或163．(全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝ ( )．A.45B.35C ．－35D ．－454．(山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )． A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y二、填空题(每小题5分，共10分)5．(郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．6．(陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．三、解答题(共25分)7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．8．(13分)(温州十校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( )．A ．9B ．6C ．4D ．32．(洛阳统考)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )．A. 3B. 5 C ．2 D.5－1二、填空题(每小题5分，共10分)3．(北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．4．(重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.三、解答题(共25分)5．(12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP→＝λAQ →. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．6．(13分)(新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C 上一点，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．。

高中抛物线数学公式有哪些高中抛物线数学公式有哪些高中抛物线数学公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。

a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。

2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。

3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。

4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。

高考数学冲刺策略1、拓实基础，强化通性通法。

高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

2、抓住重点内容，注重能力培养。

高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。

象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

3、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误。

计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。

可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。

并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。

所以我们在数学复习时，除抓好知识、题型、方法等方面的教学外，还应通过各种方式、机会提高和规范学生的运算能力和逻辑推理能力。

4、定期重复巩固。

即使是复习过的数学内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。

《抛物线及其标准方程》教学设计一、设置情景，导入新课可由教师用预先制作的教具向学生演示这种画法（具体操作见课本第115页），给一定的时间让学生以四人小组为单位，合作完成曲线的作图，并请同学们解释这个画法的原理。

得到如下图形：这条曲线是什么？我们以前见过吗？【设计意图】引导学生求该曲线的方程，复习求曲线方程的步骤，强化解析几何“用方程研究曲线”的思想。

【学生活动设计】①请同学们增大点F 到直尺L 的距离，重复刚才的实验，比较一下，曲线有什么变化？再缩小这个距离试一试。

②这说明了什么？【设计意图】学生实验有了初步结论后，可利用几何画板演示随着距离逐渐增大，曲线的开口由小变大的过程，设KF P =，体会参数P 的重要性。

二、以下由学生自主建系，求出该曲线的方程。

【学生活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建系方案，一段时间后，各组交流，对可行的方案进行验证。

大致有如下几种建系方案，本着自愿的原则，由各小组选择一种进行方程的推导。

请三位同学上来板演。

①以K 为原点，定直线所在的直线为 Y 轴建立平面直角坐标系，此时可得 曲线方程为：222y pxp =- (p ＞0)②以F 为原点，过F 且垂直于定直线L 的直线为x 轴，此时可得方程：222y px p =+ (p ＞0)③以垂线段KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴，此时可得方程：22y px = (p ＞0)【探究结论】方案3所得出的方程比较简洁，把它叫做该曲线的标准方程。

再次明确参数P 的几何意义。

与椭圆、双曲线的标准方程对比，这种曲线并非椭圆、双曲线的一部份。

如果仍以KF 的中点为原点，KF 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出该曲线的方程。

此时可得方程22xpy =【探究结论】此方程即为初中学过的二次函数2212y x ax p==，由此得出该曲线是抛物线。

三、【定义】平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。

9.4 抛物线及其性质考点一 抛物线的定义及标准方程1.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF|−1|AF|−1B.|BF|2−1|AF|2−1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案 A 过A,B 点分别作y 轴的垂线,垂足分别为M,N, 则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知S △BCFS △ACF= 12·|CB|·|CF|·sin ∠BCF 12·|CA|·|CF|·sin ∠BCF=|CB||CA|=|BN||AM| =|BF|−1|AF|−1,故选A.2.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.3C.52D.2答案 B ∵FP⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗ ,∴点Q 在线段PF 上,且在两端点之间,过Q 作QM ⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l 与x 轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM ∽△PFN,则|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=34.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.3.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案 A 由y 2=x 得2p=1,即p=12,因此焦点F (14,0),准线方程为l:x=-14,设A 点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x 0+14=54x 0,解得x 0=1,故选A.评析 本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A 到准线的距离是解题的关键.4.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x答案 C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5−p 2,√2p (5−p2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5−p2)), ∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5−p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.5.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)答案 C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1,BB 1垂直于准线于A 1,B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC||AB|=|BC|4t =12, ∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线l 的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.6.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5 答案 B 由题意可设抛物线方程为y 2=2px(p>0).由|MF|=p 2+2=3得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.∴点M 的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3, 故选B.7.(2011课标文,9,5分)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C 设抛物线方程为y 2=2px(p>0).∵当x=p 2时,|y|=p, ∴p=|AB|2=122=6. 又P 到AB 的距离始终为p, ∴S △ABP =12×12×6=36.评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l 的距离为p.8.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .答案 y=±√22x解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×p 2=y 1+p 2+y 2+p 2,即y 1+y 2=p ①.由{x 2=2py,x 2a 2−y 2b 2=1消去x,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0,所以y 1+y 2=2pb 2a 2②.由①②可得b a =√22,故双曲线的渐近线方程为y=±√22x.思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y 1+y 2的值(用p 表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去x 得关于y 的一元二次方程,由根与系数的关系得y 1+y 2.从而得b a的值,近而得渐近线方程.解题关键 求渐近线方程的关键是求ba的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A 、B 为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y 1+y 2这个整体来建立等量关系便可求解.9.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽 米.答案 2√6解析 建立坐标系如图所示.则抛物线方程为x 2=-2py.∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x 2=-2y.当y=-3时,x=±√6.∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.10.(2016浙江,9,4分)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是 . 答案 9解析 设M(x 0,y 0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x 0+1=10,∴x 0=9,即点M 到y 轴的距离为9.考点二 抛物线的几何性质1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12 B.1 C.32D.2答案 D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=k x(k>0)得k=1×2=2,故选D. 评析 利用垂直得到点P 的坐标是求解的关键.2.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C:y 2=8x 的焦点重合,A,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12答案 B 抛物线C:y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E 的半焦距c=2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),因为离心率e=c a =12,所以a=4,所以b 2=a 2-c 2=12.由题意知|AB|=2b 2a =2×124=6.故选B.评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.3.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案 B 抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,由题设知-p 2=-1,即p 2=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.4.(2014安徽文,3,5分)抛物线y=14x 2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案 A 由y=14x 2得x 2=4y,焦点在y 轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-p 2=-1.故选A.5.(2013四川文,5,5分)抛物线y 2=8x 的焦点到直线x-√3y=0的距离是( )A.2√3B.2C.√3D.1答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F 到直线x-√3y=0的距离d=√3×0|√1+3=1.故选D.评析 考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.6.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B 两点,|AB|=4√3,则C 的实轴长为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.8 答案 C 如图,AB 为抛物线y 2=16x 的准线,由题意可得A(-4,2√3).设双曲线C 的方程为x 2-y 2=a 2(a>0),则有16-12=a 2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a. 7.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 不妨设C:y 2=2px(p>0),A(x 1,2√2),则x 1=(2√2)22p =4p ,由题意可知|OA|=|OD|,得(4p )2+8=(p 2)2+5,解得p=4.故选B.思路分析 设出抛物线C 的方程,根据已知条件得出点A 的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p 的方程,解方程得出结论.8.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10答案 A 如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A,B 分别作准线的垂线,垂足为A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|,过点F 向AA 1引垂线FG,得|AG||AF|=|AF|−p|AF|=cos θ, 则|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,则|AB|=|AF|+|BF|=2p sin 2θ,即|AB|=4sin 2θ, 因l 1与l 2垂直,故直线DE 的倾斜角为θ+π2或θ-π2, 则|DE|=4cos 2θ,则|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=4(12sin2θ)2=16sin 22θ, 则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A. 方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y 2=2px(p>0)中,AB 为焦点弦,若AF 与抛物线对称轴的夹角为θ,则在△FEA 中,cos θ=cos ∠EAF=|AE||AF|=|AF|−p|AF|, 则可得到焦半径|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:1|AF|+1|BF|=2p等的帮助很大.9.(2015四川理,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 当直线AB 的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB 的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l. 设圆的圆心为C(5,0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, ∴k AB =y 2−y 1x 2−x 1=y 2−y 1y 224−y 124=2y 0. ∵k CM =y 0x 0−5,且k AB k CM =-1,∴x 0=3.∴r 2=(3-5)2+y 02>4(∵y 0≠0),即r>2. 另一方面,由AB 的中点为M 知B(6-x 1,2y 0-y 1), ∵点B,A 在抛物线上,∴(2y 0-y 1)2=4(6-x 1),①y 12=4x 1,② 由①,②得y 12-2y 0y 1+2y 02-12=0, ∵Δ=4y 02-4(2y 02-12)>0,∴y 02<12. ∴r 2=(3-5)2+y 02=4+y 02<16,∴r<4. 综上,r ∈(2,4),故选D.10.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|=( ) A.√303B.6C.12D.7√3答案 C 焦点F 的坐标为(34,0),直线AB 的斜率为√33,所以直线AB 的方程为y=√33(x −34),即y=√33x-√34,代入y 2=3x,得13x 2-72x+316=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=212, 所以|AB|=x 1+x 2+32=212+32=12,故选C. 11.(2018课标Ⅲ理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB=90°,则k= .答案 2解析 本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为x=yk+1,设A (y 1k+1,y 1),B (y 2k +1,y 2),将直线方程与抛物线方程联立得{x =yk +1,y 2=4x,整理得y 2-4k y-4=0,从而得y 1+y 2=4k,y 1·y 2=-4.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴MA⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(y 1k +2)·(y 2k+2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,即k 2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②②-①得y 22-y 12=4(x 2-x 1),从而k=y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2. 设AB 的中点为M',连接MM'.∵直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点,∴以线段AB 为直径的☉M'与准线l:x=-1相切. ∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴点M 在准线l:x=-1上,同时在☉M'上, ∴准线l 是☉M'的切线,切点为M,且M'M ⊥l, 即MM'与x 轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即y 1+y 22=1⇒y 1+y 2=2, 故k=4y 1+y 2=42=2.疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.12.(2013浙江理,15,4分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过点P(-1,0)的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,点Q 为线段AB 的中点.若|FQ|=2,则直线l 的斜率等于 . 答案 ±1解析设直线AB方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:√(2m)2+(2m2−1−1)2=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).13.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2√a),B(1,-2√a),故|AB|=4√a=4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).14.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-√3)2=1解析本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程.由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,所以OA=√3,即t=√3,故圆C的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.方法总结求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.15.(2014陕西文,11,5分)抛物线y 2=4x 的准线方程为 .答案 x=-1解析 由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=-p 2=-1.故填x=-1.16.(2018课标Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由{y =k(x −2),y 2=2x得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4. 直线BM,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).① 将x 1=y 1k+2,x 2=y2k +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k =−8+8k =0. 所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示 (1)由于忽略点M,N 位置的转换性,使直线BM 方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“∠ABM=∠ABN ”正确转化为“k BM +k BN =0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.17.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x 2,设M(x 3,y 3),由题设知x 32=1,解得x 3=2,于是M(2,1).设直线AB 的方程为y=x+m,故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1.从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB 的方程为y=x+7.方法总结 (1)直线与抛物线的位置关系点差法:在已知“x 1+x 2”或“y 1+y 2”的值,求直线l 的斜率时,利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,一般联立直线与圆锥曲线的方程,消元后利用韦达定理,结合已知列方程求解参数.求弦长时,可通过弦长公式|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2(k ≠0)求解.18.(2016课标Ⅰ文,20,12分)在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t ≠0)交y 轴于点M,交抛物线C:y 2=2px(p>0)于点P,M 关于点P 的对称点为N,连接ON 并延长交C 于点H.(1)求|OH||ON|; (2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.解析 (1)由已知得M(0,t),P (t 22p,t ).(1分) 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t ),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p. 因此H (2t 2p,2t ).(4分) 所以N 为OH 的中点,即|OH||ON|=2.(6分) (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH 的方程为y-t=p 2t x,即x=2t p(y-t).(9分)代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.(12分)方法总结 将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题. 评析 本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.19.(2012课标理,20,12分)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值.解析 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p.由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p ·√2p=4√2,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8. (2)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33. 当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0, 解得b=-p 6.因为m 的截距b 1=p 2,|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3. 当m 的斜率为-√33时,由图形的对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值也为3.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.。

高考数学专题复习：抛物线及其方程一、单选题 1．抛物线212y x =的焦点坐标是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(1,0)- C ．1(0,)16-D ．1(0,)163．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()2,04．已知抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于点,A B .若8AB =，则AB 中点的横坐标的值为（ ） A ．1B ．52C ．3D ．55．已知动点M 34125x y +-=，则动点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6．在抛物线22(0)y px p =>上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．47．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ）．A B ．C ．D ．8．已知抛物线22y x =的焦点为F ，点()001,02M y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，以M 为圆心，||MF 为半径的圆交y 轴于G ，H 两点，则||GH 的长为（ ）A ．12B C ．1D9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且2AF FB =，则l 的斜率为（ ）A ．±1B ．C ．D ．±10．抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．411．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2102y x n n=＞上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A B C 2D ．112．已知P 为曲线:C x =90,4T ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,3A ，则PT PA +的最小值为（ ）A ．6B ．234C ．5D ．214二、填空题13．已知抛物线方程为214y x =-，则其焦点坐标为________．14．二次函数()20y axa =>图象上的A 、B 两点均在第一象限．设点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，当4AF =，2BF =，3AB =时，直线AB 的斜率为________．15．准线方程为1x =的抛物线标准方程为________.16．已知抛物线28y x =的焦点与2221x y a+=()0a >的右焦点重合，则a =________.三、解答题17．已知拋物线C ：28x y =，点F 是拋物线的焦点，直线l 与拋物线C 交于AB 两点．点M 的坐标为()2,2-．（1）若直线l 过抛物线的焦点F ，且1MA MB ⋅=，求直线l 的斜率；（2）分别过A ，B 两点作拋物线C 的切线，两切线的交点为M ，求直线l 的斜率．18．已知抛物线1C ：22y px =(0p >)的焦点与双曲线2C ：221412x y-=右顶点重合.（1）求抛物线1C 的标准方程；（2）设过点()0,1的直线l 与抛物线1C 交于不同的两点A ，B ，F 是抛物线1C 的焦点，且1FA FB ⋅=，求直线l 的方程.19．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．20．已知三点(0,0)(1,2)(1,2)O A B -，，，(,)M x y 为曲线C 上任意一点，满足MA MB +()2OM OA OB =⋅++．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，,R S 为曲线C 上的不同两点，且PR PS ⊥，PD RS ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使||DQ 为定值．21．如图所示，已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，A 在y 轴左侧且AB 的斜率大于0.（1）当直线AB 的斜率为1时，求弦长AB 的长度；（2）点()0,0P x 在x 轴正半轴上，连接PA ，PB 分别交抛物线于C ，D ，若//AB CD 且3AB CD =，求0x .22．已知点(1,0)F ，直线:2l x =-，P 为y 轴右侧或y 轴上动点，且点P 到l 的距离比线段PF 的长度大1，记点P 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知直线1:1l x =交曲线E 于A ，B 两点（点A 在点B 的上方），C ，D 为曲线E 上两个动点，且CAB DAB ∠=∠，求证：直线CD 的斜率为定值.参考答案1．A 【分析】抛物线化为标准方程，即可求解 【详解】 将抛物线212y x =化为标准方程得： 22x y =，故1p =，焦点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：A 2．D 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标 【详解】解：由24y x =，得214x y =， 所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =， 所以18p =，1216p =， 所以焦点坐标为1(0,)16， 故选：D 3．D 【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果. 【详解】由抛物线28y x =的方程知其焦点在x 在正半轴上， 且22p=，∴其焦点坐标为()2,0. 故选：D. 4．B 【分析】先求出抛物线3p =，再逆用焦点弦长公式即可得出答案. 【详解】由于抛物线26y x =，所以3p =，则过点3(,0)2F 作直线交抛物线于点,A B ，设点,A B 横坐标分别为12,x x ，则AB 中点的横坐标12015()222x x x AB p +==-=. 故选:B 5．C 【分析】(),x y 到坐标原点的距离，34125x y +-表示动点(),x y 到34120x y +-=的距离，再根据抛物线的定义判断即可； 【详解】解 |3412|5x y +-，此式表示的是动点(,)M x y 到定点(0,0)与定直线34120x y +-=的距离相等且定点不在定直线上，根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点()0,0为焦点，定直线34120x y +-=为准线的一条抛物线． 故选：C ． 6．D 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离. 【详解】由题知，抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则由抛物线的定义知，352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得4p =. 故选：D. 7．C 【分析】由题意可知焦准距为2，由直线的斜率为MAF △是以4为边长的正三角形，从而求出三角形的面积.设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF的斜率为60AFN ∠=︒，所以4AF =，由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=︒，所以MAF △是以424= 故选C ． 8．D 【分析】先求出圆心坐标和半径，再利用勾股定理求解即可 【详解】易知抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，由点()001,02M y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，可知1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，||1MF =以M 为圆心，||MF 为半径的圆交y 轴于G ，H两点，则||GH =故选：D 9．D 【分析】由条件得到1p =，设l 的直线方程为12x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，然后结合2AF FB =解出12,y y 的值即可. 【详解】由题知1p =，抛物线方程为22y x =，设l 的直线方程为12x my =+，代入抛物线方程，得2210y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y m +=，121y y =-.因为2AF FB =所以12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故m =，即l的斜率为±. 故选：D【分析】首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可； 【详解】解：抛物线()20y ax a =>即()201y ax a =>，可得准线方程14y a =-，抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，可得：11124a+=，解得12a =. 故选：B . 11．D 【分析】利用坐标表示直线OM 的斜率00012112882y k x ny nny ==++，再利用基本不等式求最大值. 【详解】设()00,P x y ，,180F n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 是线段PF 的中点，所以00,2218M n x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.直线OM 的斜率为：020000001211228821188y y y k x x ny ny nny nn====++++. 显然00y >时的斜率较大，此时0011128k ny ny =≤=+，当且仅当00128ny ny =，014y n=时，斜率最大为1. 故选：D. 12．D 【分析】利用抛物线的定义知||PT 等于P 到准线94y =-的距离，则PT PA +最小值为A 到准线94y =-的距离，即可求PT PA +的最小值.【详解】由题意知：曲线C 是抛物线29x y =的右半部分且90,4T ⎛⎫⎪⎝⎭是焦点，∵P 为曲线C 上一点，若P 到准线94y =-的距离为d ，则||d PT =，∴PT PA d PA +=+，要使其值最小，则d PA +即为A 到准线94y =-的距离，∴PT PA +的最小值为921344+=. 故选：D 13．()0,1- 【分析】先将抛物线的方程转化为标准方程的形式24x y =-，即可判断抛物线的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而解得答案. 【详解】解：因为抛物线方程为214y x =-，即24x y =-，所以24p =-，12p=-， 所以抛物线的焦点坐标为()0,1-， 故答案为：()0,1-.14 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据抛物线的定义结合作差法可得出12y y -的值，再利用两点间的距离公式求出12x x -的值，再利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a =，该抛物线的焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y a =-， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得1144AF y a =+=，2124BF y a=+=， 所以，122y y -=，因为A 、B均在第一象限，且12x x =>， 因为3AB ==，所以，12x x -因此，直线AB的斜率为1212y y k x x -==-. . 15．24y x =- 【分析】 由准线方程可得12p=，抛物线的焦点在x 的负半轴上，从而可求得抛物线的标准方程 【详解】解：因为抛物线的准线方程为1x =， 所以12p=，且抛物线的焦点在x 的负半轴上， 得2p =，所以抛物线标准方程为24y x =-， 故答案为：24y x =- 16【分析】求出抛物线的焦点坐标即为2221x y a+=()0a >的右焦点可得答案.【详解】由题意可知：抛物线的焦点坐标为()2,0， 由题意知2221x y a+=表示焦点在x 轴的椭圆，在椭圆中：2221,14b c a ==-=，所以25a =， 因为0a >，所以a =17．（1）14k =或34；（2）12k =．【分析】（1）设直线l 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，由韦达定理求出12x x +、12x x ⋅、12y y ⋅、12y y +，再根据()()1212121224241MA MB x x x x y y y y ⋅=-++++++=即可求解．（2）由导数的几何意义求出过点A ，B 的切线方程，将()2,2M -代入两切线方程，即可得直线AB 的方程，进而可得直线l 的斜率. 【详解】解：（1）由题知，焦点()0,2F ，设过点F 的直线l 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，1212816x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩，所以()21212484y y k x x k +=++=+，()2121212244y y k x x k x x ⋅=⋅+++=，所以()()11222,22,2MA MB x y x y ⋅=-+⋅-+()()121212122424x x x x y y y y =-++++++216164k k =-+1=，解得14k =或34． （2）由抛物线方程得28x y =，24x y '=，所以过点A ，B 的切线方程分别为()1114x y y x x -=-和()2224x y y x x -=-，因为()2,2M -为两切线的交点，所以()111224x y x --=-，()222224xy x --=- 所以过A ，B 的直线方程为()22224242x x x xy x y --=-=-=-，即240x y -+=，所以12k =． 18．（1）28y x =；（2）1y x =+或51y x =-+. 【分析】（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y 及直线l 的方程，与抛物线C 的方程联立，由判别式､韦达定理得出12x x +，12x x ，结合已知条件求出k 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】（1）由题设知，双曲线222:1412x y C -=的右顶点为()2,0， ∴22p=，解得4p =， ∴抛物线1C 的标准方程为28y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为1y kx =+，联立218y kx y x =+⎧⎨=⎩，消去y 得()222810k x k x +-+=，由0∆>得()222840k k -->，即2k <， ∴12228k x x k -+=-，1221x x k =. 又∵1FA FB ⋅=，()2,0F ，∴()()1212221FA FB x x y y ⋅=--+=，∴()()()()()()2121212121224111251x x x x kx kx k x x k x x -+++++=++-++=，即2450k k +-=， 解得1k =或5k =-，∴直线l 的方程为1y x =+或51y x =-+.19．（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=； （2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =， 若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ， 则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意； 若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -=-，又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切； 若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++， 所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+， 整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=， 直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：2123|2|y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示. 20．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，算出MA ，MB 的坐标，进而求出+MA MB ，再利用平面向量数量积的坐标表示求出()2OM OA OB ⋅++，根据已知即可求解.（2）若直线RS y ⊥轴，则直线RS 与曲线C 只有一个交点，不合题意； 设直线RS 的方程为x my n =+，1122(,)(,)R x y S x y ，，联立24x my ny x=+⎧⎨=⎩，由韦达定理，根据0PR PS ⋅=，可得=25n m +，从而得直线过定点(5,2)M -， 进而在PDM △中，当(3,0)Q 为PM 中点时，DQ 为定值.【详解】解：（1）由(1,2)MA x y =--- ，(1,2)MB x y =-- 可得+(22,2)MA MB x y =--， +=2(1MA MB ∴，()2(,)(2,0)222OM OA OB x y x ⋅++=⋅+=+所以，由已知得2x +，化简得24y x =， 所以，曲线C 方程为24y x =.（2）证明：若直线RS y ⊥轴，则直线RS 与曲线C 只有一个交点，不合题意；设直线RS 的方程为x my n =+，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，则2=16160m n ∆+>，可得20m n +>，设1122(,)(,)R x y S x y ，，则12124,4y y m y y n +==-，21111111(2)(2)(1,2)1,2,244y y y PR x y y y ⎛⎫-+⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理222(2)(2),24y y PS y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为PR PS ⊥，所以121212(2)(2)(2)(2)+(2)(2)=016y y y y PR PS y y --++⋅=--，所以[]1212(2)(2)(2)(2)+16=0y y y y --++，点(1,2)P 在曲线C 上，显然12y ≠且22y ≠， 所以121212(2)(2)+16=2()2048+20=0y y y y y y n m +++++=-+， 所以=25n m +，所以直线RS 的方程为(2)5x m y =++，因此直线过定点(5,2)M -，所以PM =PDM △是以PM 为斜边的直角三角形， 所以PM 中点(3,0)Q满足1=2DQ PM 所以存在(3,0)Q 使DQ 为定值. 【点睛】关键点点睛：设直线RS 的方程为x my n =+，1122(,)(,)R x y S x y ，，联立24x my ny x =+⎧⎨=⎩，由韦达定理，根据0PR PS ⋅=，得=25n m +，从而得直线过定点(5,2)M -是解决本题的关键. 21．（1）8；（2【分析】(1)写出直线AB 方程，把它与抛物线方程联立消元，用弦长公式即可得解；(2)利用给定条件建立起关于A 、B 的横坐标与0x 的关系式，再利用直线AB 与抛物线相交时A 、B 的横坐标的关系即可得解. 【详解】（1）依题意得焦点(0,1)F ，所以直线AB 方程为1y x =+，把1y x =+与24x y =联立得2440x x --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，于是124x x +=，124x x ⋅=-，所以12||AB x =-=8=； （2）设()22,A t t，(,)CC C xy ，()0,0P x ，由 ||3||AB CD =，//AB CD ，可得||3||AP CP =，即200323()C C t y x t x x ⎧=⎨-=-⎩2013223C C y t t x x ⎧=⎪⎪⇔⎨+⎪=⎪⎩，而点C 在抛物线24x y =上， 则有22022433t x t +⎛⎫= ⎪⎝⎭2200220t x t x ⇔--=，令()22,B s s ，同理2200 220s x s x --=， 即t ，s 关于x 的方程2200220x x x x --=的两根，于是0s t x +=，202x st =-， 直线AB 斜率k (k>0)，联立直线AB 方程：y =kx +1与抛物线方程24x y =得2440x kx --=，则2t ，2s 是此方程的两个根，即224t s ⋅=-，即1ts =-，2012x -=-，解得0x所以0x 【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB x x =-； 直线l ：x =my +t 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB y y -. 22．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】(1)由题设条件分析讨论，再用抛物线定义即可得解；(2)求出点A 坐标，利用抛物线方程设出点C ，D 坐标，由条件探求出这两点纵坐标关系即可得解. 【详解】（1）依题意，线段PF 的长度等于P 到0:1l x =-的距离，由抛物线定义知， 点P 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，0:1l x =-为准线的抛物线， 所以E 的方程为24y x =；（2）将1x =代入24y x =得2y =±，则(1,2)A ，(1,2)B -，如图：设抛物线E 上动点221212(,),(,)44y y C y D y ，显然直线AC ，AD 斜率存在，121124214AC y k y y -==+-，同理242ADk y =+，因为CAB DAB ∠=∠，则0AC AD k k +=，121212440220422y y y y y y +=⇒+++=⇒+=-++， 直线CD 的斜率122212124144y y k y y y y -===-+-， 即直线CD 的斜率为定值-1.。

抛物线与抛物线标准方程一、抛物线的定义与方程1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上。

2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数p 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中()00,y x P 为抛物线上任一点。

例1.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 。

例2.若抛物线px y 22=的焦点坐标为（1,0），则p = ；准线方程为： 。

例3.已知抛物线()022>=p px y ，的准线与圆()16322=+-y x 相切，则p 的值为 。

例4.抛物线241x y =的准线方程是 。

例5.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x 相交的公共弦长等于32，求此抛物线的方程。

二、高考常见题型与解题方法题型一、抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为mx y =2或()0,2≠=m my x 。

例6.根据下列条件求抛物线的标准方程。

（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点； （2）经过点A （2，－3）；（3）焦点在直线x-2y-4=0上；（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.题型二、抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处理，例如：若P （x 0，y 0）为抛物线()0,22>=p px y 上一点，则20p x PF +=。

2、若过焦点的弦AB ，()()2211,,,y x B y x A ，则弦长p x x AB ++=21，21x x +可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第68讲 抛物线考向预测核心素养抛物线的方程、几何性质及抛物线的综合问题是高考热点，综合问题难度较大.直观想象、数学抽象、数学运算一、知识梳理 1．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴 x 轴y 轴顶点 (0，0)离心率e ＝1常用结论1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4.(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)．通径(过焦点垂直于对称轴的弦)长：2p.(3)焦半径：|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，1|AF|＋1|BF|＝2p.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P133练习T3(2)改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．答案：(3，±6)2．(人A选择性必修第一册P136练习T4改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解析：设点A的横坐标是x1，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1.因为AF所在直线过点F，所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．() (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．() (3)若一抛物线过点P (－4，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．() (4)抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 二、易错纠偏1．(多选)(忽视焦点的位置致误)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－92xB.y 2＝92xC ．x 2＝43yD.x 2＝－43y解析：选AC.设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 2．(忽视抛物线的开口方向致误)若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．解析：把抛物线方程y ＝ax 2化为标准形式得x 2＝1a y ，所以－14a ＝2，解得a ＝－18.答案：－183．(忽视方程多解致误)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________．解析：设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.答案：2考点一 抛物线的定义和标准方程(自主练透)复习指导：1.了解抛物线的定义、标准方程、掌握各种形式下抛物线的图形． 2．理解参数p 的几何意义．1．(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝() A ．1 B.2 C.2 2D.4解析：选B.抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．故选B.2．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x3．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2，1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：线段OA 的垂直平分线方程是y ＝－2x ＋52，且交x 轴于点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，该点为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，故该抛物线的准线方程为x ＝－54.答案：x ＝－54抛物线的定义及标准方程应用关键点(1)由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二 抛物线的几何性质(多维探究)复习指导：理解应用抛物线的简单几何性质． 角度1 焦半径和焦点弦(1)(2022·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且||＋||＋||＝10，则x 1＋x 2＝()A ．6 B.5 C.4D.3(2)(链接常用结论1(2))设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为()A.334B.938C.6332D.94【解析】 (1)根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.(2)由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0， 则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.方法二：联立直线方程与抛物线方程得x2－212x＋916＝0，故x A＋x B＝212.根据抛物线的定义有|AB|＝x A＋x B＋p＝212＋32＝12，同时原点到直线AB的距离为d＝|－3|42＋（－43）2＝38，因此S△OAB＝12|AB|·d＝94.【答案】(1)A(2)D角度2 与抛物线有关的最值设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】 41．若本例条件不变，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为焦点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案：22．若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部，F(1，0)．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝（3－1）2＋（4－0）2＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.抛物线的性质及应用要点(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．|跟踪训练|1．已知点Q(22，0)及抛物线y＝x24上的动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是()A．2 B.3 C.4 D.2 2 解析：选A.因为抛物线的方程为x 2＝4y ， 所以焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1， 所以抛物线上的动点P (x ，y )到准线的距离为y －(－1)＝y ＋1，由抛物线的定义可得|PF |＝y ＋1，又因为Q (22，0)，所以y ＋|PQ |＝y ＋1＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝（22－0）2＋（0－1）2－1＝3－1＝2， 当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号．2．(2022·沈阳质量检测)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，因为点A 在抛物线y 2＝3x 上，所以14a 2＝3×32a ，所以a ＝6 3.答案：6 3考点三 直线与抛物线(综合研析)复习指导：了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．(2021·高考全国卷乙)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2.(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足＝9，求直线OQ 斜率的最大值． 【解】 (1)由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p ，故p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知F (1，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，＝(1－x 2，－y 2)， 因为＝9，所以⎩⎨⎧x 2－x 1＝9（1－x 2），y 2－y 1＝－9y 2，可得⎩⎨⎧x 1＝10x 2－9，y 1＝10y 2，又点P 在抛物线C 上，所以y 21＝4x 1，即(10y 2)2＝4(10x 2－9)，化简得y 22＝25x 2－925，则点Q 的轨迹方程为y 2＝25x －925.设直线OQ 的方程为y ＝kx ，易知当直线OQ 与曲线y 2＝25x －925相切时，斜率可以取最大，联立y ＝kx 与y 2＝25x －925并化简，得k 2x 2－25x ＋925＝0，令Δ＝(－25)2－4k 2·925＝0，解得k ＝±13，所以直线OQ 斜率的最大值为13.解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．|跟踪训练|1．直线y＝x＋b交抛物线y＝12x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()A．－1 B.0C.1D.2解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝12x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.2．(多选)(2022·广东省广雅中学月考)已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有() A．△PMF周长的最小值为2 5B．若＝λ，则||PQ最小值为4C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π4解析：选BD.因为F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F(1，0)，|MF|＝（2－1）2＋（2－0）2＝5，准线l：x＝－1，对于A，过P作PN⊥l，垂足为N，则|PF|＋|PM|＝|PN|＋|PM|≥|MN|＝2＋1＝3，所以△PMF周长的最小值为3＋5，故A不正确；对于B ，若＝λ，则弦PQ 过F ，过P 作l 的垂线，垂足为P ′，过Q 作l 的垂线，垂足为Q ′，设PQ 的中点为G ，过G 作GG ′⊥l ，垂足为G ′，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝|PP ′|＋|QQ ′|＝2|GG ′|≥2×2＝4，即||PQ 最小值为4，故B 正确；对于C ，若直线PQ 过点F ，设直线PQ ：x ＝my ＋1， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，所以k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝4y 1·4y 2＝16－4＝－4，故C 不正确；对于D ，因为OF 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为12，因为△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆的半径为1＋12＝32，所以该圆面积为π(32)2＝94π，故D 正确．3．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：不妨设点A 在第一象限．由题意得图，其中AB 垂直于抛物线的准线l .则|FC |＝3p ，所以|AF|＝|AB|＝|CF| 2＝32p，则A(p，2p)．易证△EFC∽△EAB，所以|EF||EA|＝|CF||AB|＝|CF||AF|＝2，所以|EA||AF|＝13，所以S△ACE＝13S△AFC＝13×12×3p×2p＝22p2＝32，所以p＝ 6.答案： 6[A 基础达标]1．(2022·荆州市检测)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A．圆 B.椭圆C.直线D.抛物线解析：选D.如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．2．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为()A．2 B.3C. 3D. 2解析：选B.因为抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3．(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝()A ．5 B.6 C.8D.10解析：选C.抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线l 与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.4．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2 B.4 C.6 D.8解析：选B.如图，不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1，22)，则x 1＝（22）22p ＝4p，由题意知|OA |＝|OD |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.5．(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1，0)D.(2，0)解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得·＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.6．已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________．解析：因为半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， 所以圆心到准线的距离等于3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x7．(2021·新高考卷Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．解析：通解(解直角三角形法)：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32. 光速解(应用射影定理法)：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32. 答案：x ＝－328．(2022·山东模拟)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝________，1|AF |＋1|BF |＝________．解析：由题意知p2＝1，从而p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .当直线AB 的斜率不存在时，将x ＝1代入抛物线方程， 解得|AF |＝|BF |＝2，从而1|AF |＋1|BF |＝1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)， 联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，从而1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.综上，1|AF |＋1|BF |＝1.答案：219．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x . 10.如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．[B 综合应用]11．(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是()A.72B.3C.52D.2解析：选C.如图，抛物线的准线方程为x ＝－12，过点Q 作QQ ′垂直准线于点Q ′，|MQ |－|QF |＝|MQ |－|QQ ′|，显然当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|MQ |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52.12．(多选)(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线的准线上，线段PF 与抛物线交于点M ，则下列判断正确的是()A ．△OMF 不可能是等边三角形B ．△OMF 可能是等腰直角三角形 C.|PF ||PM |＝1＋2|PF |D.|PF ||MF |－|PF |＝1 解析：选AC.若△OMF 是等边三角形，则边长为1，且点M 的横坐标为12，纵坐标为±2，此时|OM |＝14＋2＝32≠1，所以△OMF 不可能是等边三角形，故A 正确；若△OMF 是等腰直角三角形，则只可能是∠OMF ＝90°，|OM |＝|FM |＝32，所以|OM |2＋|FM |2≠|OF |2，故B 不正确；过点M 作准线的垂线交准线于点N ，则|MF |＝|MN |，|PF ||PM |＝|PM |＋|MF ||PM |＝1＋|MF ||PM |＝1＋|MN ||PM |＝1＋2|PF |，故C 正确，D 不正确． 13．(多选)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直于l 且交l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF ＝60°，则()A ．∠FQP ＝60° B.|QM |＝1 C ．|FP |＝4 D.|FR |＝2解析：选ACD.如图，连接FQ ，FM ，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥FQ ，又PQ ∥x 轴，∠NRF ＝60°，所以∠FQP ＝60°，由抛物线的定义知，|PQ |＝|PF |，所以△FQP 为等边三角形，则FM ⊥PQ ，|QM |＝2，等边三角形FQP 的边长为4，|FP |＝|PQ |＝4，|FN |＝12|PF |＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR |＝2.故选ACD.14．(2022·江苏省如皋市高三调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，以AF 为直径的圆过点()0，2，则直线AB 的斜率为________．解析：由抛物线C ：y 2＝4x 可得焦点为F ()1，0，设A ()x 1，y 1， 由抛物线的定义可得||AF ＝x 1＋p2＝x 1＋1，AF 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12，y 12， 所以AF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122， 因为以AF 为直径的圆过点()0，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫0－x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122，可得y 1＝4，所以x 1＝4， 所以点A ()4，4，所以直线AB 的斜率为4－04－1＝43.答案：43[C 素养提升]15．(2022·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．解析：由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由＝λ＋μ得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74. 答案：7416．(2021·高考全国卷甲)抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ .已知点M (2，0)，且⊙M 与l 相切．(1)求C ，⊙M 的方程；(2)设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．解：(1)由题意，直线x ＝1与C 交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，设C 的焦点为F ，P 在第一象限，则根据抛物线的对称性，∠POF ＝∠QOF ＝45°， 所以P (1，1)，Q (1，－1)．设C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则1＝2p ，p ＝12，所以C 的方程为y 2＝x .由题意，圆心M (2，0)到l 的距离即⊙M 的半径，且距离为1，所以⊙M 的方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)，当A 1，A 2，A 3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切，此时直线A 2A 3与⊙M 相切．当x 1≠x 2≠x 3时，直线A 1A 2：x －(y 1＋y 2)y ＋y 1y 2＝0， 则|2＋y 1y 2|（y 1＋y 2）2＋1＝1，即(y 21－1)y 22＋2y 1y 2＋3－y 21＝0， 同理可得(y 21－1)y 23＋2y 1y 3＋3－y 21＝0，所以y 2，y 3是方程(y 21－1)y 2＋2y 1y ＋3－y 21＝0的两个根，则y 2＋y 3＝－2y 1y 21－1，y 2y 3＝3－y 21y 21－1.直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，设M到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝（2＋y2y3）2＝＝1，1＋（y2＋y3）2即d＝1，所以直线A2A3与⊙M相切．综上可得，直线A2A3与⊙M相切．21 / 21。

抛物线的标准方程及抛物线与直线的位置关系知识点概括：抛物线的概念抛物线的概念1、平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。

2、抛物线的性质、抛物线的性质::抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y pxp =>22(0)y pxp =->22(0)x pyp =>22(0)x pyp =->图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2py =范围 0x ³ 0x £0y ³ 0y £对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =焦半径 02x p PF +=02x p PF -=02y p PF +=02y p PF -=焦点弦)(21x x p AB ++=)(21x x p AB +-=)(21y y p AB ++= )(21y y p AB +-=o Fxy l oxy F l xyo F l+2p ， (2)12x x 2x 或x 2＝43y B．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－42x ；当焦点在y 轴上时，抛物线方程为x 2＝42＝3，∴p ＝6. ∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x . 公式3.3.通径：过通径：过通径：过抛物线抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：称为通径；通径：|H |H 1H 2|=2P 4、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)||AF =x 0=42p ，12y y =－p 2．例1、当a 为任何值时，为任何值时，直线直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的物线的标准方程标准方程为( ) A ．y 2＝－93y解析：由直线过定点P ，所以îíìx ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得定点P (－2,3)．因为抛物线过定点P ，所以，当焦点在x 轴上时，方程为y 2＝－93y .选A. 例2、动圆M 经过点A (3,0)且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆求动圆圆心圆心M 的轨迹方程．解：设圆M 与直线l 相切于点N . ∵|MA |＝|MN |，∴圆心M 到定点A (3,0)和定直线x ＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上． ∵p例3、已知抛物线C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A (2，32＋2＝4，p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 巩固练习：1、（2013年山东数学（理））已知抛物线1C ．316 B ．38 C ．233 D ．433【答案】【答案】D D 2、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 2)在抛物线内．若抛物线上一动点P 到A 、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程．的方程．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其准线为x ＝－p 2，过P 点作抛物线准线的垂线，垂足为H (图略)，由定义知，|PH |＝|PF |.∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PH |，故当H 、P 、A 三点共线时，|P A |＋|PF |最小． ∴|P A |＋|PF |的最小值为p:212y x p =(0)p >的焦点与的焦点与双曲线双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一于第一象限象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条的一条渐近线渐近线,则p = （ ）A 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】【答案】C C3、（2013年上海市春季年上海市春季高考数学高考数学试卷）试卷）已知已知 A B 、为平面内两定点为平面内两定点,,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线的垂线,,垂足为N .若2MN AN NB l=×,其中l 为常数,则动点M 的轨迹不可能是的轨迹不可能是 （ ） A ．圆．圆 B ．椭圆 C ．抛物线．抛物线 D ．双曲线．双曲线 【答案】【答案】C C+2p ， (2)12x x =42p ，12y y =－p 2．(3) (3) 弦长弦长)(21x x p AB ++=，则AB =q 2sin 2p（5）AF 1+BF 1=P24、（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,F,其其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF D 为等边三角形,则P =_____________【答案】【答案】6 65、（2013年安徽数学（理）试题）已知年安徽数学（理）试题）已知直线直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点两点..若该抛物线上存在点C ,使得ABC Ð为直角为直角,,则a 的取值范围为的取值范围为___ _____. ___ _____. 【答案】),1[+¥6、（ 2013年江苏卷（数学））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两处的切线与两坐标轴坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与包含三角形内部与边界边界).).若点若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是的取值范围是__________.__________. 【答案】úûùêëé-21,21、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ， 则(1)||AF =x 0,p x x x x =³+21212,即当x 1=x 2时,通径最短为2p (4) (4) 若若AB 的倾斜角为θ2. 221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p pp-＜ 由22x py =得22x y p=，则,xy p ¢= 所以12,.MAMBx x kkpp==因此直线MA :102(),xy p x x p+=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p +=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时，时， 将其代入①、②并整理得：将其代入①、②并整理得：弦长公式2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-3.3.点点P(x 0,y 0)和抛物线22y px =(0)p >的位置关系的位置关系(1) (1)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内Ûy 20<2px 0 (2) (2)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >上Ûy 20=2px 0 (3) (3)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >外Ûy 2>2px 0例1、如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，引抛物线的切线，切点切点分别为A ，B . (1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成三点的横坐标成等差数列等差数列；(2)已知当M 点的坐标为点的坐标为（（2，p 2-）时，时， 410AB =，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p -+===-所以2.AB k p =由弦长公式2221212241()411616.AB k x x x x p p=++-=++的方程为011(),xy y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，上，代入得033.xy x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，）在抛物线上， 则2330322,x py x x ==因此x 3=0或x 3=2x 0. 即D (0，0)或202(2,).x D x p(1(1’ ’ 当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意. (2(2’ ’ 当00x ¹，对于D (0，0)又0,AB x k p=AB ⊥CD ，所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾. 对于202(2,),x D x p 又410AB =，所以p =1或p =2，因此所求，因此所求抛物线抛物线方程为22x y =或24.x y =(3)解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x2, y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB ，此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x p C x kpx px +++==因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴，轴，解:（1）证明：设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E EF F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-, 即：121()y x x x x x =+- 因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ① 又直线AP 方程：2101x yy x y x -=+由210012x y y x y x x yì-=+ïíï=î得：2210010x yx x y x ---= 所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=Þ=-= 同理，同理，200222,F F y y x y x x =-= 所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=-- 令令0x x =-得: 0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上.即证即证. .yxPNOMAEBF又00,ABx kp=¹所以所以直线直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，，与题设矛盾， 所以00x ¹时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意. 例2、已知已知抛物线抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ¹>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交的延长线分别交曲线曲线C 于E F 、．（1）证明E F N 、、三点三点共线共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以，使以线段线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．由．（2）解：由已知A B M N 、、、.共线，所以()0000,,(,)A y y B y y - 以AB 为直径的为直径的圆的方程圆的方程：()2200x y y y +-=由()22002x y y y x y ì+-=ïí=ïî得()22000210y y y y y --+-=所以0y y =（舍去），01y y =-要使圆与要使圆与抛物线抛物线有异于,A B 的交点，则010y -³所以存在01y ³，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--= 例3、已知已知直线直线:1L x my =+（0m ¹）过）过椭圆椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F ，且交椭圆C 与A ，B 两点.（1）若抛物线243x y =的焦点为椭圆C 的上的上顶点顶点，求椭圆C 的方程；的方程； （2）对于（）对于（11）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF l l ==，当m 变化时，求12l l +的值，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所于是0254 3.1k y kk ++=+注意:本题中条件” 12,MA AF MB BF l l ==”的处理很好! 巩固练习：1、在直角在直角坐标系坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的上点的距离的最小值最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ¹±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值的纵坐标之积为定值. .解:（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y 以22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，由题设知，曲线曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，的距离，因此，曲线曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，上运动时，P P 的坐标为0(4,)y -，又03y ¹±，则过P 且与圆且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个，每条切线都与抛物线有两个交点交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.01218.724y yk k +=-=- ②② 由101240,20,k x y y k y x -++=ìí=î得21012020(4)0.k y y y k -++= ③③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则0112120(4).y k y yk +×= ④④同理可得0234220(4)y k y y k +×=⑤⑤ 于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得: :010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++由023222c --=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) ) 抛物线抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x ¢= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),),则切线则切线,PA PB 的斜率分别为整理得2200721890.k y k y ++-= ①① 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故=2012012124004()16y k k y k k k k éù+++ëû==6400 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.2、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点为原点,,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点上的点,,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) ) 求抛物线求抛物线C 的方程的方程; ;(Ⅱ) ) 当点当点()00,P x y 为直线l 上的定点时上的定点时,,求直线AB 的方程的方程; ; (Ⅲ) ) 当点当点P 在直线l 上移动时上移动时,,求AF BF ×的最小值. 【答案】【答案】((Ⅰ) ) 依题意依题意依题意,,设抛物线C 的方程为24x cy =,112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112xy y x x -=-,,21BF y =+, 所以()221212121AF BF y y yy y x y×=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y æö+-+=++=++ç÷èø所以当012y =-时．1617 B ．1615 C 即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --= 因为切线,PA PB均过点()00,P x y ,所以1220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解的两组解. . 所以所以直线直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) ) 由由抛物线定义可知11AF y =+所以()()()121212111AF BF y y y y y y ×=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=ìí=î,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = , AF BF ×取得取得最小值最小值,且最小值为92.课后作业：1．抛物线28y x =的准线方程是（方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 2.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（ ）A ．87D ．0 3.在抛物线y px 22=上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（的值为（ ）则=×OB OA （ ）（A ）43 （B ）－43（C ）3 （D ）－3 6．已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（的坐标为（ ）A. （41，－1）B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）7．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l,垂足为K ，则△AKF 的面积是（的面积是（ ））（A ）4 （B ）33 (C) ．．10．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = 一、选择题：12345678ABCDBACB题 号答 案二.填空题:9．x A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 4．与．与直线直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（是（） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 5、设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，43 (D)8 8．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ×+× ＝0，则动点P （x ，y ）的）的轨迹方程轨迹方程为（为（ ） （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 二.填空题:9．在．在平面直角坐标系平面直角坐标系xOy xOy中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于x x 轴对称，顶点在原点，顶点在原点O O ，且过点P(2,4)P(2,4)，则该抛物线的方程是，则该抛物线的方程是 ．11．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 12．已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则y 2221y +的最小值是的最小值是y 82= ； 10． -1. ． 11．4)1(22=+-y x ；12． 32 。