第二章数列习题课（2）课时目标1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式；2．掌握数列求和的几种基本方法．1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .2．等比数列前n 项和公式： (1)当q ＝1时，S n ＝na 1；(2)当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.3．数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1； (2)12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1C.12(n 2－n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n n ＋12＋121－12n 1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 4．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7)答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n n ＋52.5．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 B解析 S 17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9， S 33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17， S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25， 所以S 17＋S 33＋S 50＝1.6．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n－1 答案 A解析 由于a n －a n －1＝1×2n －1＝2n －1， 那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1. 二、填空题 7．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 答案 －68．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n2＋a n，对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______.答案 2n解析 ∵a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋12.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差d ＝12.∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n －12＝n 2， ∴a n ＝2n.9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________． 答案 1 473解析 100内所有能被3整除的数的和为：S 1＝3＋6＋…＋99＝33×3＋992＝1 683.100内所有能被21整除的数的和为：S 2＝21＋42＋63＋84＝210. ∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为 S 1－S 2＝1 683－210＝1 473.10．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1，∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2， n ≥2.三、解答题11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1nn ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4n ＋1， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n－1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1， ①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．能力提升13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .14．已知正项数列{a n }的前n 项和S n ＝14(a n ＋1)2，求{a n }的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝14(a 1＋1)2，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1－2＝0. ∴a n －a n －1＝2.∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．。
2.3 等差数列的前n 项和第2课时 等差数列的前n 项和(习题课)A 级 基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )A ．30B ．31C ．32D ．33 解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480.所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．等差数列{a n }的公差d ＝12且S 100＝145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) A ．52.5 B ．72.5 C ．60 D ．85解析：设a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝x ，a 2＋a 4＋…＋a 100＝y ，则x ＋y ＝S 100＝145，y －x ＝50d ＝25.解得x ＝60，y ＝85.答案：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为( ) A.310 B.13 C.18 D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，因为S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1≠d ，若前20项的和S 20＝10M ，则M 的值为( )A ．a 3＋a 5B ．a 2＋2a 10C ．a 20＋dD ．a 12＋a 9解析：因为S 20＝a 1＋a 202×20＝10(a 1＋a 20)．所以M ＝a 1＋a 20＝a 12＋a 9.答案：D5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n 表示第n 组中所有各数的和，那么S 21等于( )A ．1 113B ．4 641C ．5 082D ．53 361解析：因为第n 组有n 个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S 21＝21×211＋21×202×1＝4 641. 答案：B二、填空题6．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整数n 的值是________．解析：由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得，a 5＜0，a 9＞0且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7，且最小．答案：6或77．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42 d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1. 所以a 5＝a 1＋4d ＝0，所以S 4＝S 5同时最大．所以n ＝4或5.答案：4或58．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ ________. 解析：由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310.答案：310三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， 所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0. 所以a 6＞0，又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．已知等差数列{a n }中，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24. 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－ …－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n （n ≤5），n 2－10n ＋50 （n ≥6）. B 级 能力提升1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析： a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5.答案：C2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006.答案：4 0063．数列{a n }的各项都为正数，且满足S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)，求数列的通项公式a n . 解：法一(消S n )：由S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)， 得4a n ＋1＝4(S n ＋1－S n )＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2化简得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，因为a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，又4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2得a 1＝1，故{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝2n －1.法二(消a n )：由上可知2S n ＝a n ＋1，所以2S n ＝S n －S n －1＋1(n ≥2)，化简可得(S n －1)2＝S n －1， (S n ＋S n －1－1)(S n －S n －1－1)＝0，又S 1＝1，{a n }的各项都为正数， 所以S n －S n －1＝1. 所以S n ＝n ，从而S n ＝n 2，所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，a 1＝1也适合，故a n ＝2n －1.。
