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高考数学复习 第四节 数列求和
[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
(1)等差数列的前n 项和公式：
S n ＝n a 1＋a n 2
＝na 1＋n n －12
d ；
(2)等比数列的前n 项和公式：
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n
f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论]
1．一些常见的数列前n 项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
n n ＋1
2
；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2
； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2
＋n . 2．常用的裂项公式 (1)
1n
n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋k ； (2)1
4n 2－1＝1
2n －1
2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1；
(3)
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ；
(4)log a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n .
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1
1－q
.( ) (2)当n ≥2时，
1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1－1n ＋1.( )
(3)求S n ＝a ＋2a 2
＋3a 3
＋…＋na n
之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
3°＋…＋sin 2
88°＋sin 2
89°＝44.5.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1
n
n ＋1
，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D.
1
30
B [∵a n ＝
1n
n ＋1＝1n －1
n ＋1
， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5
6.]
3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)
n －1
·n ，则S 50＝________.
－25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.]
4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2
n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
n 2＋1
－12
n [S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝
⎛⎭
⎪⎫12＋14＋18＋…＋1
2
n ＝n 2
＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝n 2＋1－12n .]
5．3·2－1
＋4·2－2
＋5·2－3
＋…＋(n ＋2)·2－n
＝__________. 4－
n ＋4
2n
[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×1
24＋…＋(n ＋2)×12
n ＋1
.
两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1
23＋…＋12n －n ＋22n ＋1.
∴S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
22＋…＋12n －1－n ＋22n
＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋2
2n
＝4－
n ＋4
2
n
.]
分组转化求和
【例1】 (2019·黄山模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2
，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n
a n ，求数列{
b n }的前2n 项和． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n
2
－
n －1
2
＋
n －1
2
＝n .
a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n
n .
记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21
＋22
＋ (22)
)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21
＋22
＋ (22)
，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝
2
1－22n
1－2
＝2
2n ＋1
－2，
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .
