2.3.1直线与平面垂直的判定PPT教学课件

平面所成的角
BA
O
两条直线和一个平面所成的角相等， 这两条直线一定平行吗？
说明:
1.假设直线垂直平面,那么直线和平 面所成的角为90°
2.假设直线和平面平行,或直线在平 面内,那么直线和平面所成的角为0 °直线和平面所成角的取值范围为
[0°,90°]
例3在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求: (1)直线A’B和平面ABCD所成的角 (2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角
提示：
P
欲证BQ⊥l ⇔l⊥平面BPQ
⇔ l⊥PQ ⇔l⊥平面PAQ
A
lQ
B
3.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线
2.斜足 斜线和平面相交的交点
3.斜线在平面内过的斜射线影上斜足以外的一点向平面引垂 线,过垂足和斜足的直线
平面的斜线和它在平面内的
P
射影所成的锐角,叫做直线和
A
B
D
C
问题:折痕AD 与桌面垂直吗？如何翻折
才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？
问题:由折痕AD⊥BC ，翻折之后垂直关系， 即AD⊥CD ，AD⊥BD 发生变化吗？由此你
能得到什么结论？
直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么该直线与此平面垂直。
m ,
l m,l
2.3.1 直线与平面垂直的判 定
1.线面垂直定义 〔1〕创设情境—感知概念
〔2〕观察归纳—形成概念
A
B α
直线与平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的任任意意一条直线都垂直，
我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：a⊥α.直
线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．

求证：〔1〕PA BC
A
O
B
〔2〕BC 平面PAC
解 ： （ 1）
C
AB ,AC , 且 AB AC A PA AC ,PA AB \ PA 又 BC
(2)QC为圆O上一点，AB为直径
\BC AC
由1得BCPA,又QPAAC A
\BC面PAC
\ PA BC
四.知识小结：
空间问题 平面问题
线面平行的判定： 线线平行 线面平行
能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题 ？
先试一条
l
lHale Waihona Puke a a图1图2
再试两条平行直线
l l
a
a
b
b
图1
图2
那么两条相交直线呢？
探究
直线与平面垂直
A A
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
A
l
CA
D
B
D C P
C
B
D
B
D
C
B
折线后与的过桌当纸面且片A所仅B竖C在当起的平折放顶面痕置点A在AD垂翻桌是直折面．纸B上C片〔边，B上D得的，到高D折C时痕与，A桌AD面D，所接将在触翻直〕
E B
A
证明：取BD的中点E,连接AE,CE ,
Q AB AD,\ AE BD,
D
Q BC DC,\CE BD,
又Q AE CE E,
\ BD 平面ACE,
C
Q AC 平面ACE,\ BD AC
P
3.如图，圆O所在一平面为 ，
AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA AC, PA AB,
A
m n
又 m ,n ,m ,n是两条相交直线，

1.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且
PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交
点O的连线PO垂直于AB、AD.
P
A
D
O
B
C
巩固练习
2.过ABC所在平面外一点P,作PO ,垂足
为O,连接PA, PB, PC.
1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的__点.
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o D1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D
A
C1 B1
C B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
C1
A1
B1
E
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
线段C1D C1
A1
B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
问:折痕AD与桌面垂直吗？

1．直线与平面垂直的概念 2．直线直
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .