简单线性规划学案

例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？

解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

2.5m 3 2 1 0

1.3m 0 2

4

6

料头 0 0.4 0.3 0.2

设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：

例 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：

设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?

解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。

此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。

例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋），其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需要、又使总费用最省？

解：设Xj 表示Bj 种食物用量

简单的线性规划问题

［学习目标] 1。了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

知识点一 线性规划中的基本概念

名 称 意 义

约束条件 关于变量x，y的一次不等式（组）

线性约束条件 关于x，y的一次不等式(组)

目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式

线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式

可行解 满足线性约束条件的解（x，y）

可行域 由所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

知识点二 线性规划问题

1．目标函数的最值

线性目标函数z＝ax＋by (b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．

当b〉0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值;

当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即，

(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

（2）移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．

(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值．

(4)答:写出答案．

知识点三 简单线性规划问题的实际应用

1．线性规划的实际问题的类型

（1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；

(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

- 1 - 4.2

简单线性规划

必备知识·自主学习

导思

1.什么是二元线性规划问题?

2.如何确定二元线性规划问题的最值?

1.基本概念

名称 意义

约束条件 变量x,y满足的二元一次不等式组

目标函数 欲求关于x,y的一个线性函数的最大值或最小值的函数

可行解 满足约束条件的解(x,y)

可行域 所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

二元线性

规划问题 在约束条件下,求关于两个变量的目标函数的最大值或最小值问题

二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的几次不等式或方程的限制条件? - 2 - 提示:二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的一次不等式或方程的限制条件.

2.最值问题

(1)最值位置:目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点或顶点处取得.

(2)实际应用:求解实际应用问题时,只需要求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点处的函数值大小,根据问题需求选择所需结论.

目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是什么?

提示:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的几何意义是该直线在y轴上截距的相反数.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)线性目标函数z=ax+by表示经过可行域的一组平行线. ( )

(2)求线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解都是唯一的. (

)

(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上. (

)

提示:(1)√.因为线性目标函数z=ax+by即y=-x+,斜率k=-为常数,截距是变量,所以二元一次方程z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.

(2)×.如果线性目标函数z=ax+by表示的直线与可行域的某一条边界直线平行,则线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解不是唯一的. - 3 - (3)×.线性目标函数取得最值的点可能在可行域的边界上,不一定非在顶点上.

1 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考纲要求

1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．二元一次不等式(组)的解集

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的__________．

2．二元一次不等式表示平面区域

在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：

(1)满足Ax＋By＋C__________0的点；

(2)满足Ax＋By＋C__________0的点；

(3)满足Ax＋By＋C__________0的点．

3．坐标平面内的点与方程式Ax＋By＋C＝0的关系

(1)点在直线l上点的坐标使Ax＋By＋C＝0.

(2)直线l同一侧的点点的坐标使式子Ax＋By＋C值具有__________的符号．

(3)点M，N在直线l两侧M，N两点的坐标使式子Ax＋By＋C值的符号__________，即一侧都__________，另一侧都__________．

(4)二元一次不等式所表示区域的确定方法．在直线l的某一侧取一特殊点，检测其__________是否满足二元一次不等式，如果满足，则这点__________区域就是所求的区域；否则l的__________就是所求的区域．

4．线性规划中的基本概念

名称 定义

目标函数 欲求__________的函数，叫做目标函数

约束条件 目标函数中的__________要满足的不等式组

线性目标函数 若目标函数是关于变量的__________函数，则称为线性目标函数

线性约束条件 如果约束条件是关于变量的__________不等式(或等式)，则称为线性约束条件

可行解 满足线性约束条件的解__________称为可行解