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简单线性规划

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简单线性规划
【学习目标】
1.了解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；
2.会在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；
3.了解线性规划问题的图解法．
【学习重点】
线性规划问题
【学习难点】
线性规划在实际中的应用
【课前预习案】
1. 画出下面不等式表示的区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥->-<+113y y x y x
2.线性规划的有关概念
(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．
(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．
(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．
(4)可行解：满足________________的解(x ，y )．
(5)可行域：所有________组成的集合．
(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．
【课堂探究案】
探究一：求线性目标函数的最值问题
例1. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥->-<+113y y x y x
（1）求目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值和最小值
（2）求目标函数z ＝4x-2y 的最大值和最小值
总结：目标函数by ax z +=中，若0>b ，则向上平移时z 增大，向下平移z
减小；若0<b ，则向下平移时z 增大，向上平移z 减小。

探究二：求非线性目标函数的最优解
例2. 已知
满足不等式组 ,求 ①
的最大值与最小值; ②的最大值与最小值;
③ 的取值范围.
总结：两类非线性目标函数最值的求解，关键是弄清目标函数的几何意义，
然后用数形结合的方法求解。

【课后检测案】
1.已知x 、y 满足以下约束条件 ，则z=x 2+y 2的最
大值和最小值分别是( )
A.13，1
B.13，2
C.13，54
D.13，552 2. 设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )
A ．1，－1
B ．2，－2
C ．1，－2
D ．2，－1
3.已知x 、y 满足以下约束条件 ，使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 。

4.设为不等式组 ,表示的平面区域,区域上的点与点
(1,0)之间的距离的最小值为___________.
4.3 简单线性规划的应用
【学习目标】
1.了解线性规划的意义，能根据条件建立线性目标函数；能用图解法解决一些简单的线性规划问题.
2.能渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生的画图能力.
3.通过生活中的最优化问题培养学生热爱生活的品质.
【学习重点】
将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决.
【学习难点】
实际问题转化为线性规划问题.
【课前预习案】
1. 画出下面不等式表示的区域⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥+>+0
067146147577y x y x y x y x ，设y x z 2128+=
(1)式中变量y x 、满足的二元一次不等式组叫做关于y x 、的 ．
(2) y x z 2128+=叫做 ．
(3) 满足约束条件的解 都叫做可行解；其中可行解 使y x z 2128+=取最大值，且最大值为 ；可行解 使y x z 2128+=取最小值，且最小值为 ；这两个可行解都叫问题的 ．
【课堂探究案】
探究一：线性规划应用题的求解
例1. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5 单位蛋白质和10 单位铁质，售价3 元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4 单位铁质，售价2 元. 若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40 单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既清足营养，又使费用最省？
变式1. A 、B 两个产地生产同一规格的产品，产量分别是1. 2 万t ，0. 8
万t ，而D ，E ，F 三地分别需要该产品0.8 万t ，0. 6 万t ，0. 6 万t ，从产地A 运往D ，E ，F 三地每万吨的运价分别为40万元，；50万无，60万；从产地
B 运往D ，E ，F 三地每万吨的运价分别为50 万，20 万元.，40万无，怎样确定调运方案可使总的运费最少？
探究二：线性规划中的参数问题
例1. 已知变量y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤2
241y x y x ，若目标函数
)0(>+=a y ax z 其中仅在()1,3点处取得最大值，则a 的取值范围是 。

总结：线性规划问题中的参数问题主要有两种类型，一种是在线性约束条件中含有参数；另一种是在目标函数中含有参数。

求解参数问题是，要结合图像进行分析求解，必要时应对参数的取值进行分类讨论。

【课后检测案】
1．某家具厂有方木材90 3m ，五合板6003m ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木材0.l 3m 、五合板23m ，生产每个书橱需要方木材0.2 3m 、五合板13m ，出售一张书桌可获利80元，出售一张书橱可获利120元，如果只安排生产书桌可以获利多少？如果只安排生产书橱可获利多少？怎样安排生产可以获利最大？
2．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200 万t 和300 万t ，需经过东车站和西车站两个车站运往外地. 东车站每年最多能运280 万t 煤，西车站每年最多能运360 万t 煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t 和
1. 5 元/t ，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0，8 元/t 和1. 6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？。

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简单线性规划最终版课件

简单线性规划最终版课件

【解题回顾】要能从实际问题中, 建构有关线 性规划问题的数学模型.关键求出 约束条件和目标函数.
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
简单的线性规划问题

简单的线性规划问题

简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。

因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。

2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。

要会在可行域中确定最优解。

3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。

每1t乙种产品的利润是1000元。

工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。

（精确到1t)。

能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。

作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。

将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。

得x=360/29≈12。

y=1000/29≈34。

例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。

简单线性规划

简单线性规划

5
x 4 y 3
A(1,1)
0
x1
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例3 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25 x 1
7若 z=ax+y取得最小值的最优解有
无数个; 求实数a的值
y C(1, 22)
∴Z max =5; Z min = 4
线基本性概规念划：问题 线性约束条件
已知x;y满足下面不等式组;
y x
x
y
1
y 1
试求Z=3x+y的最大值和最小值
线性 目标函数
最优解
解得：在点1;1处; Z有最大值5 在点2;1处;Z有最小值4
任何一个满足线性约束条件的解x;y
所有的满足线性约束条件的解x;y的集合
如果C≠0;可取0;0; 如果C＝0;可取1;0或0;1
画出下面二元一次不等式组表示的平面区域
y
y x
x
y
1
1
y=x
y 1
1
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
yx 例1：已知x;y满足下面不等式组; x y 1
y 1
试求Z = 3x +y 的最大值和最小值
y x Z直的线x几的何y纵意截1义距？
x - 4y -3 其中x, y满足下列条件 : 3x 5y 25
z 2x y y 2x z
平行于l0 : y 2x
x 1
y C(1, 22)
5
x 4 y 3
平移l0
B(5,2)
经过A（1，1）时，zmin 3
A(1,1)
x
0
经过B（5，2）时，zmax 12
§4 4.2 简单线性规划

§4 4.2 简单线性规划


的交点， 顶点 B 为直线 x + 2y = 4 与直线 x+ 2 = 0的交点， 解方程组
x + 2y = 4, x + 2 = 0. 求出顶点 代入目标函数， 可求出顶点 B 的坐标为 ( −2,3) ,代入目标函数，即可得最小值
zmin = 3×( −2) −3 =−9.
B
y
l0
A
x − y =1
o
B
a
a +b = 4 a +b = 2
由
由
, a −b =−1 3 5 得 D( , ) ; 2 2 a +b = 4,
计算这些顶点的目标函数值： 计算这些顶点的目标函数值：
4a −2b = 0 a −b =−1
b
1 3 zA = 4× −2× =−1 ; 2 2 zB = 4×2−2×0 = 8; zC = 4×3−2×1=10; 3 5 zD = 4× −2× =1. 2 2
o
C
x =−2
x
x + 2y = 4
的交点， 顶点 A 为直线 x + 2y = 4 与直线 x − y =1的交点， 解方程组
x + 2y = 4, x − y =1.
y
B
l0
A
x − y =1
o
C
x =−2
x
x + 2y = 4
得到顶点 代入目标函数，即可得最大 得到顶点 A 的坐标为 ( 2,1) ,代入目标函数，即可得最大值
x ≥−3, y ≥−4, −4x +3y ≤12, 4x +3y ≤ 36.
的最小值与最大值； （1） 求目标函数 z = 2x +3y 的最小值与最大值； ） 的最小值与最大值 最大值； （2） 求目标函数 z =−4x +3y − 24 的最小值与最大值； ）