2017-2018学年高中数学 第三章 三角恒等变形章末小结与测评教学案 北师大版必修4
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第三章 三角恒等变形
一、三角恒等变形公式
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α.
(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin2α＋cos2α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．
2．和(差)角公式
(1)公式Cα－β，Cα＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式Sα－β，Sα＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；Tα±β的符号规律为“分子同，分母反”．
(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．
3．二倍角公式
(1)分别令公式Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β中的α＝β，即得公式C2α，S2α，T2α.
(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．
(3)公式变形
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.
4．半角公式
半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α2所在的象限确定相应三角函数值的符号．
二、公式的应用途径
- 2 - (1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．
(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．
(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如
①1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α；
②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan（α＋β）；
③sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α；
④sin2α＝1－cos 2α2，cos2α＝1＋cos 2α2；
⑤2tan α＝tan 2α(1－tan2α)等．
三、常见的三角恒等变形
(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型．
(2)应用公式进行三角函数式的化简．
(3)应用公式进行三角函数式的证明．
注意的问题
(1)“1”的代换
在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin2α＋cos2α，1＝tanπ4，1＝cos 2α＋2sin2α，1＝2cos2α－cos 2α等．
(2)辅助角公式
辅助角公式几乎高考必考，即asin α＋bcos α＝
a2＋b2sin(α＋φ)(tan φ＝ba)．常见的有以下几个：
sin α±cos α＝2sin(α±π4)，3sin α±cos α＝2sin(α±π6)，sin α±3cos α＝2sin(α±π3)．
四、三角恒等变形技巧
常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化． - 3 -
[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．
[解析] 因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，
所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，
cos2(α＋π6)＝725，
所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4
＝22×1725＝17250.
[答案] 17250
[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．
2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．
[对点训练]
1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0
解：∵sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α，
∴26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α)
＝12sin(π2＋2α)
＝12cos 2α，
∴cos 2α＝23.∵0
- 4 - [典例2] 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°
[解] ∵0°
sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝17，sin α＝437.
∵cos(α＋β)＝－1114，0°
∴sin(α＋β)＝ 1－（－1114）2＝5314.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝(－1114)×17＋5314×437＝12.
又∵0°
[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．
2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．
[对点训练]
2．在△ABC中，如果4sin A＋2cos B＝1，2sin B＋4cos A＝33，则角C的大小为________．
解析：由4sin A＋2cos B＝1，
2sin B＋4cos A＝33，
两边平方相加得sin(A＋B)＝12.
如果A＋B＝π6，则B
∴cos B>12与条件4sin A＋2cos B＝1矛盾．
∴A＋B＝5π6，C＝π6.
答案：π6 - 5 -
[典例3] 化简：2cos2α－12tan（π4－α）sin2（π4＋α）.
[解] 法一：原式＝2cos2α－12sin（π4－α）cos（π4－α）·sin2（π4＋α）
＝2cos2α－12sin（π4－α）cos（π4－α）·cos2（π4－α）
＝2cos2α－1sin（π2－2α）＝cos 2αcos 2α＝1.
法二：原式＝cos 2α2×1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2
＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2
＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）
＝cos 2αcos2α－sin2α＝cos 2αcos 2α＝1.
[借题发挥]
1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．
2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．
[对点训练]
3．求证：tan（α＋β）－tan α1＋tan βtan（α＋β）＝sin 2β2cos2α.
- 6 - 证明：tan(α＋β)－tan α＝sin（α＋β）cos（α＋β）－sin αcos α
＝sin（α＋β）cos α－sin αcos（α＋β）cos（α＋β）cos α
＝sin βcos（α＋β）cos α.
1＋tan βtan(α＋β)＝1＋sin βcos β·sin（α＋β）cos（α＋β）
＝cos βcos（α＋β）＋sin βsin（α＋β）cos βcos（α＋β）
＝cos（α＋β－β）cos βcos（α＋β）＝cos αcos βcos（α＋β）.
∴左边＝sin βcos βcos（α＋β）cos2αcos（α＋β）＝sin 2β2cos2α＝右边．
[典例4] (山东高考)已知向量m＝(sin x，1)，n＝(3Acos x，A2cos 2x)(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在0，5π24上的值域．
[解] (1)f(x)＝m·n＝3Asin xcos x＋A2cos 2x
＝A(32sin 2x＋12cos 2x)
＝Asin(2x＋π6)．
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin(2x＋π6)．
将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位后得到
y＝6sin2x＋π12＋π6＝6sin2x＋π3的图像；
再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋π3)的图像．
因此g(x)＝6sin(4x＋π3)．
