带电粒子在磁场场中的运动教学案正式版

带电粒子在磁场场中的运动

【2011考纲解读】从2011高考考纲来看，带电粒子在磁场中的运动依然为高考命题的热点之一。本专题主要包括洛仑兹力和带电粒子在磁场中的运动的知识，试题侧重于带电粒子在磁场中的运动的应用．带电粒子在磁场中的运动的考查在考卷中主要以选择题和计算题的形式出现，对学生的能力要求较高。

【专题解读】

一．磁场对运动电荷的作用力—洛伦兹力

1．洛伦兹力的大小

当电荷在垂直于磁感线的平面内的运动时，

f=qvB

若电荷运动方向与磁感线不垂直而成α角，则

f=qvB sin α

2．洛伦兹力的方向判断——左手定则：

伸出左手，拇指和四指垂直且在同一平面内，让磁感线垂直穿过手心，四指指示正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)则大拇指指示的方向就是运动电荷受力的方向．

3．洛伦兹力的特点：f的方向与粒子速度方向垂直，对运动电荷不做功，f只改变电荷的运动方向，不改变电荷运动速度的大小．

二．电场力和洛仑兹力的比较

电场力 洛仑兹力

存在

条件 作用于电场中所有电荷 仅对运动着的且速度不跟磁场平行的电荷有洛仑兹力作用

大小 F=qE与电荷运动速度无关 F=Bqv与电荷的运动速度有关

方向 力的方向与电场方向相同或相反，但总在同一直线上 力的方向始终和磁场方向垂直

对速度的改变 可改变电荷运动速度大小和方向 只改变电荷速度的方向，不改变速度的大小

做功 可以对电荷做功，改变电荷的动能 不对电荷做功、不改变电荷的动能 偏转

轨迹 在匀强电场中偏转，轨迹为抛物线 在匀强磁场中偏转、轨迹为圆弧

三．带电粒子在匀强磁场中的运动

1．带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；

即：①00v0洛f 为静止状态．

②Bv//0洛f 则粒子做匀速直线运动．

2．若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用．

根据向心力公式：RvmqvB2，

得运动轨道半径公式：qBmvR．

可见，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与带电粒子的动量及磁场和带电粒子的带电量有关．

又根据：vRT2，

得运动周期公式：qBmT2．

动能公式：mBqRmvEk2)(2122．

可见，带电粒子在匀强磁场中的转动周期T与带电粒子的质量和电量有关，与磁场的磁感应强度有关，而与带电粒子的速度大小无关．

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其转过圆弧对应的圆心角越大，运动时间就越长，时间与圆心角成正比．

T或f、的两个特点：

T、f和的大小与轨道半径（R）和运行速率（v）无关，只与磁场的磁感应强度（B）和粒子的荷质比（mq）有关．荷质比（mq）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T、f和相同．

3．若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动．

v与B成（)9000角，Bqvf洛，则粒子做等距螺旋运动．

4．解题思路及方法

（1）圆心的确定：因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画出延长线，两延长线的交点即为圆心．或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置．

（2）半径的确定和计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）．并注意以下两个重要的几何特点（如图所示）：

①粒子速度的偏向角等于回旋角，并等于AB线与切线的夹角（弦切角φ）的2倍，即：t2；

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角'互补，即：180'．

（3）粒子在磁场中运动时间的确定：利用回旋角（即圆心角α）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式Tt360可求出粒子在磁场中的运动时间．

四．回旋加速器

回旋加速器

（1）回旋加速器是由两个半圆形真空盒状的金属电极构成，放在真空室的两个圆柱形磁极之间．如图所示．A0处带正电的粒子源发出带正电的粒子以速度v0垂直进入匀强磁场，在磁场中匀速转动半个周期，到达A1时，在A1 A1/处造成向上的电场，粒子被加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以v1在磁场中匀速转动半个周期，到达A2/时，在A2/ A2处造成向下的电场，粒子又一次被加速，速率由v1增加到v2，如此继续下去，每当粒子经过A A/的交界面时都是它被加速，从而速度不断地增加．带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期为qBTｍ2，为达到不断加速的目的，只要在A A/上加上周期也为T的交变电压就可以了．即T电=qBTｍ2． 实际应用中，回旋加速是用两个D形金属盒做外壳，两个D形金属盒分别充当交流电源的两极，同时金属盒对带电粒子可起到静电屏蔽作用，金属盒可以屏蔽外界电场，盒内电场很弱，这样才能保证粒子在盒内只受磁场力作用而做匀速圆周运动．

设粒子的质量为m，电荷量为q，两D形金属盒间的加速电压为U，匀强磁场的磁感应强度为B，粒子第一次进入D形金属盒Ⅱ，被电场加速1次，以后每次进入D形金属盒Ⅱ都要被电场加速2次．粒子第n次进入D形金属盒Ⅱ时，已经被加速（2n-1）次．

由动能定理得（2n－1）qU=２１Mvn2． ……①

第n次进入D形金属盒Ⅱ后，由牛顿第二定律得qvnB=mnnrv2……②

由①②两式得ｒn=qBqUnm)12(2……③

同理可得第n+1次进入D形金属盒Ⅱ时的轨道半径rn+1=qBqUnm)12(2……④

所以带电粒子在D形金属盒内任意两个相邻的圆形轨道半径之比为12121nnrrnn，可见带电粒子在D形金属盒内运动时，轨道是不等距分布的，越靠近D形金属盒的边缘，相邻两轨道的间距越小．

（2）带电粒子在回旋加速器内运动，决定其最终能量的因素

由于D形金属盒的大小一定，所以不管粒子的大小及带电量如何，粒子最终从加速器内设出时应具有相同的旋转半径．由牛顿第二定律得qvnB=mnnrv2……①

和动量大小存在定量关系 m vn=knmE2……②

由①②两式得Ek n=mrBqn2222……③

可见，粒子获得的能量与回旋加速器的直径有关，直径越大，粒子获得的能量就越大．

【专题探究】

一、运动电荷在磁场中的运动规律

只有磁场时，若带电粒子进入磁场的初速度与磁场平行，则不受洛伦兹力作用，带电粒子仍做匀速直线运动；只有当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，粒子在洛伦兹力作用下才做匀速圆周运动。

安培力是洛伦兹力的宏观表现，因而洛伦兹力的方向仍由左手定则判定，只是注意：四指的指向为正电荷运动方向或负电荷运动的反方向。由于洛伦兹力与带电粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力不做功。当带电粒子的运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力为带电粒子做匀速圆周运动提供向心力，即rvmqvBf2。由此得出粒子的回旋半径：qBmvr；回旋周期：qBmT2。

注意：从半径公式可以看出，同一带电粒子在同一磁场中运动，速度越大，轨道半径越大；从周期公式可知，同一带电粒子在同一磁场中运动，不论速度多大，周期都一样。

二、确定带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径和运动时间的方法

解决在洛伦兹力作用下带电粒子在磁场中的匀速圆周运动问题时，要注意以下三点：

①圆心的确定。因为vf，只要画出轨迹中的任意两点（一般是射入与射出有界磁场的两点）的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心；

②半径的计算。一般是利用几何知识解直角三角形求出；

③带电粒子在磁场中运动时间的确定。利用圆心角与弦切角的关系或四边形内角和等于360°计算圆心角θ，再由公式Tt360求运动时间。

【例1】磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？

解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：U=Bdv。当外电路断开时，这也就是电动势E。当外电路接通时，极板上的电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是E=Bdv，但路端电压将小于Bdv。

在定性分析时特别需要注意的是：

⑴正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。

⑵外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于Bdv，但电动势不变（和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。）

⑶注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。

【例2】 半导体靠自由电子（带负电）和空穴（相当于带正电）导电，分为p型和n型两种。p型中空穴为多数载流子；n型中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材料是p型还是n型：将材料放在匀强B R ＋ ＋ ＋ ＋

＋

－ － － － ―

I 磁场中，通以图示方向的电流I，用电压表判定上下两个表面的电势高低，若上极板电势高，就是p型半导体；若下极板电势高，就是n型半导体。试分析原因。

解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p型半导体中空穴多，上极板的电势高；n型半导体中自由电子多，上极板电势低。

注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同，所以偏转方向相同。

【例3】 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还可看出，经历时间相差2T/3。

答案为射出点相距Bemvs2，时间差为Bqmt34。关键是找圆心、找半径和用对称。

【例4】 一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

解：由射入、射出点的半径可找到圆心O/，并得出半径为aqmvBBqmvar23,32得；射出点坐标为（0，a3）。

1、带电粒子在半无界磁场中的运动

【例5】一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里.

（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.

（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是tmqB2。

解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：

rvmBqv2，解得Bqmvr