概率论第三章补充练习答案

P(X=0,Y=3)=1/8 P(X=2,Y=1)=3/8
X Y 0 1 2 3
P(X=1,Y=1)=3/8 P(X=3,Y=3)=1/8
3 1/8 0 0 1/8 1 0 3/8 3/8 0
例
一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任 取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字， 求( X , Y ) 的联合分布列.
Probability
华南农业大学理学院应用数学系

第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第三章
二维随机变量及其分布
二维随机变量及其联合分布 边缘分布与独立性 两个随机变量的函数的分布
§3.1 二维随机变量及其联合分布
RY
0
X(e)
x
二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点
（x，y） A
随机事件
y


(a,b)
X X
a, Y b a, Y b
Y)D
( X , ( X ,
Y ) ( a, b )
X
x
a, Y b


二维随机变量的联合分布函数
定义 若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.
表格形式
X
Y
x1
x2
p11 p12 p21 p22
。。。...
... 。。。
y1
y2
。。。
。。。...
yj p1 j
... 。。。

第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k Nck f Λ==（2）,,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。

4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。

5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>-a P ξ。

7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。

8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。

证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。

但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。

习题三1. 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X ，Y 为⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,1,0;,1,0若第二次取得次品若第二次取得正品若第一次取得次品若第一次取得正品，Y ，X试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X 与Y 的联合分布律. 解：先考虑放回抽样的情况：.361122122}1,1{,3651210122}0,1{,3651221210}1,0{,362512101210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P则此种情况下，X 与Y 的联合分布律为再考虑不放回抽样的情况.661111122}1,1{,3351110122}0,1{,3351121210}1,0{,22151191210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P2. 将一硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y ）的联合分布律及边缘分布律.解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为21，可知83212121}1,2{,0}3,1{,83212121}1,1{,81212121}3,0{(0}0,0{2313=⨯⨯=======⨯⨯====⨯⨯======C Y X P Y X P C Y X P Y X P Y X P 此种情况不可能发生）.81212121}3,3{0}1,3{0}3,2{=⨯⨯=========Y X P Y X P Y X P3. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X 与Y 分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布. 解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为0，1，2，3；则271313131}0,0{=⨯⨯===Y X P ， 91313131}1,0{13=⨯⨯===C Y X P 91313131}2,0{23=⨯⨯===C Y X P ，271313131}3,0{=⨯⨯===Y X P 91313131}0,1{13=⨯⨯===C Y X P ，92313131}1,1{1213=⨯⨯===C C Y X P 91313131}2,1{13=⨯⨯===C Y X P 0}3,1{===Y X P ，91313131}0,2{23=⨯⨯===C Y X P91313131}1,2{23=⨯⨯===C Y X P0}3,2{}2,2{======Y X P Y X P271313131}0,3{33=⨯⨯===C Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P则二维随机变量（X,Y ）的概率分布及边缘分布为4. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(81),(其它y x y x y x f求：（1） P ﹛(x,y )∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y )|x<1,y<3﹜; （2） P ﹛(x,y )∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y )|x+y<3﹜. 解：（1） ∵D={(x,y)|x<1,y<3}∴83)6(81),(}),{(103213=--==∈⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x f D y x P （2） ∵D={(x,y)|x+y<3}∴245)6(81),(}),{(1032=--==∈⎰⎰⎰⎰-xDdxdy y x dxdy y x f D y x P 5. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=.,0,),(),(22222其它R y x y x R c y x f 求：（1） 系数c ；（2） (X,Y)落在圆()R r r y x <≤+222内的概率. 解：（1） 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得1)(22222=+-⎰⎰≤+dxdy y x R c R y x ，可求得33R c π=（2） 设222|),{(r y x y x D ≤+=，则)321(3)(3),(}),{(3223222R r R dxdy y x R R dxdy y x f D Y X P Dr y x -=+-==∈⎰⎰⎰⎰≤+ππ6. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f求X 和Y 的联合分布函数.解：∵随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f∴当x<0,或y<0时，F(x,y)=0;当10,10≤≤≤≤y x 时，2204=y} Y x , P{X =y)F(x ,y x XYdXdY x y⎰⎰=≤≤当1,10>≤≤y x 时，20104=y} Y x , P{X =y)F(x ,x XYdXdY x ⎰⎰=≤≤当10,1≤≤>y x 时，21004=y} Y x , P{X =y)F(x ,y XYdXdY y⎰⎰=≤≤当1,1>>y x 时，14=y} Y x , P{X =y)F(x ,1010⎰⎰=≤≤XYdXdY综上可得，X 和Y 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤<<1,1 110,1 1,10 10,100,00=y)F(x,2222y x y x y y x x y x y x y x 或7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ⎩⎨⎧<<<≤+=.,0,60,60),(),(其他y x y x k y x f（1） 求常数k ；（2） 求 P ﹛0<x<2,1<y ≤3﹜; （3） 求X,Y 的边缘概率密度； （4） 判断X 与Y 是否相互独立.解：（1） 由概率密度的性质有⎰⎰+∞∞-+∞∞=1),(dxdy y x f 即1)(6060⎰⎰=+dxdy y x k ，有2161=1216k k ∴= (2) ⎰⎰=+=≤<<<2031181)(2161}31,20{dxdy y x y x P(3) X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(∴当0≤x<6时，363)(2161)(6+=+=⎰x dy y x x f X 当x<0或x ≥6时，显然有0)(=x f X⎪⎩⎪⎨⎧<≤+=∴.,0,60,363)(其他x x x f XY 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()( ∴当0<y<6时，363)(2161)(6+=+=⎰y dy y x y f Y 当y ≤0或x ≥6时，显然有0)(=y f Y⎪⎩⎪⎨⎧<<+=∴.,0,60,363)(其他y y y f Y(4) 的表达式易知，及从)()(y f x f Y X ),()()(y x f y f x f Y X ≠ ∴X 与Y 不相互独立.8．已知随机变量X 1和X 2的概率分布为而且P{X 1X 2=0}=1.(1) 求X 1和X 2的联合分布； (2) 问X 1和X 2是否独立？为什么？ 解：由1}0{21==X X P ,可知021=X X 必然成立.0}0{21=≠∴X X P由}1,1{}1,0{}1,1{}1{2121212=======-===X X P X X P X X P X P 得21}1{}1,0{221=====X P X X P 同理可得：41}0,1{,41}0,1{2121=====-=X X P X X P ， 而}0,1{}1,0{}0,1{}0,0{}0{2121212121==+==+=-=+====X X P X X P X X P X X P X X P 04141211}0,1{}1,0{}0,1{}0{}0,0{2121212121=---===-==-=-=-====X X P X X P X X P X X P X X P 综上可得，1X 和2X 的联合分布为（2）}0{}0{}0,0{2121==≠==X P X P X X P可知1X 和2X 不独立.9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()b b ,- 上的均匀分布，求方程02=++Y tX t 有实根的概率.解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是042≥-Y X ，由于随机变量X 与Y 相互独立，所以随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=其他,0,,,41),(2b y b b x b by x f下面分两种情况讨论： （1）当40≤<b 时，如图24214),(}4{4222b dy dx b dxdy y x f y X P Dbbx b+===≥⎰⎰⎰⎰-- (2) 当4>b 时，如图bdy dx b dxdy b dxdy b dxdy y x f y X P Dbbbx D D32141414),(}4{224222221-=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X另解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是 042≥-Y X令),(,121x F X Z Z 其分布函数为=),(,422x F Y Z Z 其分布函数为-= 则当x<0时,0)(1=x F Z 则当0≤x ≤b 2时{}x X x P x X P X Z P x F Z ≤≤-=≤=≤=}{}{)(211由于X 与Y 都服从()b b ,-上的均匀分布，即其密度函数各为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他其他,0,21)(,0,21)(Y by b by f bx b bx f X 当0≤x ≤b 2时，bxdt b x F xx Z ==⎰-21)(1 当x >b 2时显然有.1)(1=x F Z∴Z 1的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.00,2)(21其他b x bxx F Z而当时，b x 4≥1)4(01}4{1}4{)(2=-≤--=-<-=≤-=b x xY P x Y P x F Z 当-4b<x<4b 时，bxb x b dt b x Y P x F xb Z 821)4(211}4{1)(42+=≤-≤--=-<-=⎰--当x ≤-4b 时，0)4(11}4{1)(2=≥--=-<-=b xx Y P x F Z∴Z 2的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.44,81)(2其他b x b b x F Z又由于随机变量X 与Y 相互独立，∴Z 1 和Z 2也相互独立. 又设Z= Z 1 +Z 2，，则，分布函数为其密度函数为dx x z f x f f x F x Z Z Z Z Z ⎰+∞∞--=)()()z ()()(f而⎰∞--=-=≥=≥-02)(1)0(1}0{}04{dz z f F Z P Y X P Z Z ∵b>0,而当z ≤-4b ，]4,4[b b x -∈时，04≤+b z 此时0)(=z f Zb dx bx b z f b b z b b z Z 818121)(44402=⋅=-≤<-⎰+时，当即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-≤<-+-≤=.4,81,44,84,4,0)(222b b z bb b z b b bz b z z f Z ），时，（即当04402≤-≤<b b b 242182112181841}04P{04442222bb b dz b dz b b z Y X b b bb b+=+--=-+-=≥-⎰⎰--- ），时，（即》当0442>-b b b bdz b b z Y X b321841}04P{0422-=+-=≥-⎰- 综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X10. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,0,0,),(其他y x e y x f y求边缘概率密度和{}.1≤+Y X P 解：X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(，当x ≤0时，0)(=x f X 当x>0时，⎰+∞--==x x y X e dy e x f )(Y 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(当x ≤0时，0)(=y f Y ，当y>0时，⎰--==yy y Y ye dx e y f 0)(⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=∴--000)(.000)(y yey y f x ex x f yY xX而⎰⎰⎰⎰⎰-------+=-==≤+==≤+2102111210121)(}1|),{((),(1}Y P{X ee dx e e dy e dx y x y x D dxdy y xf x x xxy D其中11. 设X,Y 相互独立，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤≤=-.0,0,0,)(.,0,10,1)(y y e y f x x f y Y X 其他 求Z=X+Y 的概率密度.解：由已知得 ⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()( 当z<0时，)0,10(0)(≤-≤≤=x z x z f Z 时当 当0≤z ≤1时，z z z x Z e dx e z f ---==⎰1)(0 当z >1时，z z x Z e e dx e z f ---==⎰)1()(1∴Z=X+Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=--1)1(10100)(z e e z e z z f z zZ12. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f求Z=X —Y 的概率密度. 解：∵Z=X —Y 的分布函数为 ⎰⎰⎰⎰≤-+∞∞-+∞-==≤-=≤=zY X zx Z dyy x f dx dxdy y x f z Y X P z Z P z F ),(),(}{}{)(∴Z=X —Y 的概率密度为⎰+∞∞--==dx z x x f z F z f Z Z ),()()('⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f0)(,0x 1=∴≤-≥z f z z Z 时，当， ,0)(,x 0=∴≥-≤z f x z z Z 时，当),1(23xdx 3)(1021z z f z Z Z -==<<⎰时，当 ∴Z=X —Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10),1(23)(2其他z z z f Z13. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为(),,21),(22222+∞<<∞-=+-y x ey x f y x σπσ求22Y X Z +=的概率密度.解：设22Y X Z +=的分布函数为)(z F Z当0≤Z 时，0}{}{)(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z 当0>Z 时，222222222222022222212121}{)(σπσσσπσθπσz zY X y x y x Z erdred dxdy ez Z P z F -≤++-+-===≤=⎰⎰⎰⎰∴22Y X Z +=的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-.0,21,0,0)(222z e z z F zZ σσ14. 设二维随机变量（X,Y ）在矩形(){}10,20|,≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度f(s). 解：由已知可得随机变量（X,Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,010,20,21),(其他，y x y x f设边长为X 和Y 的矩形面积S 的分布函数为F(s)，则 ⎰⎰≤=≤=≤=sxy )f(x,s}{}{)dxdy y XY P s S P s F （∴.0)0=≤s F S （时，当2)ln 2(ln 2222121)y ,()20220102ss s s dx x s dy dx dy dx dy x f dx s F S sx s s s x s+-=+=+==<<∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（时，当)1(121)22≥==≥⎰⎰xsdy dx s F S x s（时，当 ∴矩形面积S 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-=2,0,020),ln 2(ln 21)(s s s s s f 或15．设X 和Y 为两个随机变量，且{}{},740{}0,730,0=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 求{}.0),m ax (≥Y X P解：{}{}0,00,0}0{<≥+≥≥=≥Y X P Y X P X P {}{}173740,0}0{0,0=-=≥≥-≥=<≥∴Y X P X P Y X P 同理可求{}710,0=≥<Y X P{}{}{}{}10,00,00,00,0=<<+≥<+<≥+≥≥Y X P Y X P Y X P Y X P 又{}7271717310,0=---<<∴Y X P {}{}{}.757210,010),max (10),max (=-=<<-=<-=≥∴Y X P Y X P Y X P16. 设（X,Y ）的联合概率密度为 (),,10021),(1001002122+∞<<∞-•=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x ey x f y x π求：（1）{};Y X P < （2）边缘概率密度； (3) ).|(|x y f X Y 解：（1）由已知，得⎰⎰⎰⎰<∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-•=•=<yxy x y x dy edx dxdy e Y X P x 100100211001002122221002110021}{ππ同理可知⎰⎰∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-•=>yy x dx edy Y X P 100100212210021}{π}{}{Y X P Y X P >=<∴而0}{==Y X P又1}{}{}{==+>+<Y X P Y X P Y X P21}{}{=>=<∴Y X P Y X P （2）X 的边缘概率密度为)(210110021),()(20010010021222+∞<<-∞=•==-∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞+∞-⎰⎰x edy edy y x f x f x y x X ππ由于f(x,y)关于x,y 地位的对称性，得)(2101)(2002+∞<<-∞=-y ey f y Y π17. 设X,Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X 的分布律为),3,2,1(31}{===i i X P 又设},,min{},,max{Y X Y X ==ηξ试写出变量),(ηξ的分布律及边缘分布律并求}.{ηξ==P解：由已知得：,913131}1{}1{}1,1{}1,1{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ0}3,1{}2,1{======ηξηξP P,9231313131}2{}1{}1{}2{}2,1{}1,2{}1,2{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,913131}2{}2{}2,2{}2,2{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ,0}3,2{===ηξP,9231313131}3{}1{}1{}3{}3,1{}1,3{}1,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,9231313131}3{}2{}2{}3{}3,2{}2,3{}2,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ913131}3,3{}3,3{=⨯======Y X P P ηξ则变量),(ηξ的分布律及边缘分布律为：而.31919191}{=++===ηξP18. 设X 关于Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，,0,0,3)|(32|y x y x y x f Y X而Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,0,10,5)(4y y y f Y求.21⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P解：由已知得：⎩⎨⎧<<<<=•=其他,010,0,15)()|(),(2|y y x y x y f y x f y x f Y Y X ⎰⎰⎰⎰==+∞<<-∞>==>∴121212644715}),21x {D (),(}21{P Y Dydx x y dxdy y x f X 其中19. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他,0,10,10,),(y x y x y x f求：（1）},max{Y X Z =的概率密度； （2）},min{Y X Z =的概率密度.解：(1) 设},max{Y X Z =的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ，则当0≤Z 时，0),(}},{max{}{)(},max{==≤=≤=⎰⎰≤zY X Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F当10≤<Z 时，33302},max{22)2()(),(}{)(z zz dx xz z dyy x dx dxdy y x f z Z P z F zz zzY X Z =+=+=+==≤=⎰⎰⎰⎰⎰≤当z>1时, ⎰⎰≤≤≤≤=+=≤=10101)(}{)(y x Z dxdy y x z Z P z F},max{Y X Z =∴的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,3)(2其他z z z f Z(2) 设},min{Y X Z =的分布函数为的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ，则当1≥Z 时，101},{1}}{m in{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当0≤Z 时，11},{1}}{m in{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当10<<Z 时，⎰⎰-+=+-=>>-=≤=1132)(1},{1}{)(z zZ z z z dy y x dx Z Y Z X P z Z P z F},min{Y X Z =∴的概率密度为⎩⎨⎧≤≤-+=.,0,10,321)(f 2其他z z z z Z20. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T 的概率分布.解：用)3,2,1(=i X i 表示第i 个电气元件无故障工作的时间，则321,,X X X 相互独立且同分布，其分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ 设G(t)是T 的分布函数.当t ≤0时，G(t)=0;当t>0时，有te t F t X P t X P t X P t X t X t X P t T P t T P t G λ333213211)](1[1}{}{}{1},,{1}{1}{)(--=--=>>>-=>>>-=>-=≤=⎩⎨⎧≤>-=∴-.0,0,0,1)(3t t e t G t λ 电器正常工作的时间T 的概率分布服从参数为λ3的指数分布.。

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324C 35= 324C 35= 3224C 35= 113224C C 12C 35=1324C 2C 35= 213224C C 6C 35= 2324C 3C 35=3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin0sin sin0sin4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他yxA yxe求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由-(34)00(,)d d e d d112x yAf x y x y A x y+∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得A=12（2）由定义，有(,)(,)d dy xF x y f u v u v-∞-∞=⎰⎰(34)340012e d d(1e)(1e)0,0,0,0,y y u vx yu v y x-+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d(1e)(1e)0.9499.x yP X Yx y-+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,2),6(其他yxyxk（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-5500-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1） 试确定常数c ；（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0, .y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（2） X 与Y 是否相互独立？ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXYXY(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z zP z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2） 当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V的分布律为V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3) {}{min(,)}P U i P X Y i===351{,}{,}{,}{,}k i k iP X i Y i P X i Y iP X i Y k P X k Y i==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i=于是U=min(X,Y) 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17W=X+Y0 1 2 3 4 5 6 7 8P0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y Rf x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y XP Y Y XP Y X>>>>=>(,)d(,)dyy xy xf x yf x yσσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d dπ1d dπRRr rRr rRθθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j 1/61【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求： （1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.习题四1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为X 0 1 2 3 4 5P5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 4110905100C C 0C = 5105100C 0C =故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X -1 0 1Pp 1 p 2 p 3且已知E 123【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因1001(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他 求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)5()ed 5e d e d 51 6.z y y zz E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他 于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d e d 12k x c f x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e dk x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰222202e d 2k x kx x k+∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e .kxE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元 /41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ； （3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.验证X 和【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表X -1 0 1P382838Y -11P382838XY -11P28 48 28由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他. ()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y ==而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而112)()XY D Y ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故12122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式. 【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=- 2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.。