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高中数学第一章计数原理12排列与组合123组合1课堂导学案新人教A版选修23

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1 1.2.3 组合（1）

课堂导学

三点剖析

一、有限制条件的组合问题——“在”与“不在”问题

【例1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.

（1）从口袋内取出3个球，共有多少不同的取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，共有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，共有多少取法？

解析：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是

!367838C=56

答：从口袋内取出3个球，共有56种取法.

（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是!26727C=21.

答：取出含有1个黑球的3个球，共有21种取法.

（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是

!356737C=35

答：取出不含黑球的3个球，共有35种取法.

温馨提示

(1)从n个不同的元素中，每次取出m个不同元素的组合，其中一个必须在内.这类问题的思考方法是先将这个特定元素置于其内，则只需由余下的n-1个元素中每次取出m-1个元素，再汇总原置于内的特定元素，所以符合条件的种数为11mnC.

(2)从n个不同的元素中，每次取出m个不同元素的组合，其中某一元素不能在内.这类问题有两种思考方法：

①将这个特定元素选出，而从其余的n-1个元素中每次取m个不同元素的组合，这些组合显然必符合条件，为mnC1种；

②以间接法解之，即从不带附加条件的总数中，减去不合本题条件的数，为mnC-11mnC种.

二、有限制条件的组合问题——“至多”“至少”问题

【例2】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )

A.140种 B.84种 C.70种 D.35种

思路分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各一台，它包括两种可能：2甲1乙或1甲2乙，所以可用分类计数原理和分步计数原理解决，另外也可以采用间接法.

解法一 从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有1524CC种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有1425CC种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有1524CC+2514CC =70(种). 2 解法二 从所有的9台电视机中取3台有39C种取法，其中全为甲型的有34C种取法，全为乙型的有35C种取法，则至少有甲型与乙型各一台的取法有39C-34C-35C=70(种).

答案：C

温馨提示

本题解法一用了直接法，解法二用的是间接法；本题最易出现如下取法错误171514CCC=140（种）.这样计算就出现了重复.

三、求组合题的原则——“正难则反”

【例3】 空间中有8个点，有且只有4个点共面，共可确定多少个平面？

解析：利用间接法：不考虑限制条件，从8个点中任取3个点共有38C种取法，由于其中4个点共面，从这4个点中任取3个的组合数为34C，故一共确定的平面数为：

38C-34C+1=53.

（这里加1是因为多减了一个平面）.

温馨提示

有些计数问题正面情况太繁杂或直接法难以入手时，往往从问题的反面考虑更易解决.

各个击破

【类题演练1】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数.

(1)A，B必须当选；

(2)A，B必不当选；

(3)A，B不全当选；

(4)至少有两名女同学当选；

(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任.

解析：（1）只要从其余的10人中再选3人即可，有310C=120（种）.

（2）5个都选自另外10人，即有510C=252（种）.

（3）法一：分类如下：

A，B中有一人当选：有41012CC种.

A，B都不入选：有510C种.

所以共有41012CC+510C=672（种）.

法二：512C-310C=672（种）

(4)间接法：471557512CCCC =596（种）

（5）法一：分三步： 3 第一步：选一男一女分别担任体育委员、文娱委员的方法有1517CC种；

第二步：选出两男一女，补足5人的方法有1426CC种；

第三步：为这三人分配职务，有35A种；

由分步计数原理，共有安排方法1517CC·1426CC·35A=12 600（种）

法二：分两步：

第一步：选出3名男同学，2名女同学，有2537CC种方法；

第二步：分配职务有13C·12C·33A种.

根据分步计数原理，共有安排方法

37C·25C·13C·12C·33A=12 600(种)

【变式提升1】某学习小组8名同学，从男生中选出2人，从女生中选出1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？

解析：设有男同学x人，则女同学有8-x人，第一步，先从x名男同学中任选2名，有2xC种选法；第二步从8-x名女同学中任选1名，有18xC种选法，两次共选出3名同学，这三名同学的组合为2xC·18xC；第三步，将这3名同学全排列，有33A种排法.因为每个排列都对应一种参赛方式，所以，共有2xC·18xC33A=180种选法，其中x的取值范围是2≤x≤7，x∈N*.解方程，得x=5或6，8-x=3或2，即男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人.

【类题演练2】从全班48人中选出5人参加东湖水污染情况调查小分队，假若班长和副班长至少有一人在内，有多少种选法？

解析：这是一个有限制条件的组合问题，要抓住题中的关键字眼“至少”进行正确的分类.

班长、副班长中只有一人在内，有41612CC种；班长、副班长两人都在内，有346C种，所以根据分类计数原理和分步计数原理，符合条件的选法共有(44612CC+346C)(种).

【变式提升2】从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有一位女同志，分别到四个工厂去调查，不同的分配方法有( )

A.100种 B.400种 C.480种 D.2 400种

解析：可分两类：2男2女、3男一女

第一类有25C·24C种取法；第二类有35C·14C种取法，故共有（25C·24C+35C·14C）种，即100种取法.

每一种取法都有14A种分配方法.共有100×14A=2 400(种).选D. 4 【类题演练3】 由正方体的8个顶点和中心，可组成多少个四面体？

解析：在正方体的顶点和中心共9个点中，其中四点共面的情况有6种，5点共面情况有456C种，所以组成四面体的个数为454966CC=90(种).

【变式提升3】 从三棱柱6个顶点所连的直线中，能组成多少对异面直线？

解析：众所周知，四面体的六条棱可以组成3对异面直线.由三棱柱的6个顶点可组成46C

-3=12个四面体.故三棱柱6个顶点所连的直线一共能组成3(46C-3)=36(对)异面直线.

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高中数学高二理科选修2-3排列组合导学案

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路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

百度文库

11 《 排列（1）》导学案

【学习目标 】

1. 理解排列、排列数的概念；

2. 了解排列数公式的推导.

【重点难点 】

1. 理解排列、排列数的概念；

2. 了解排列数公式的推导.

【学法指导 】

（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）

复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？

【教学过程】

（一）导入

探究任务一：排列

问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？

新知1：排列的定义

一般地，从n个 元素中取出m（ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.

试试： 写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.

反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？

探究任务二：排列数及其排列数公式

新知2 排列数的定义

从 个 元素中取出 （nm）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.

试试： 从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

问题：

⑴ 从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？

⑵ 从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？

⑶ 从n个不同元素中取出m（nm）个元素的排列数是多少？

新知3 排列数公式

从n个不同元素中取出m（nm）个元素的排列数mnA

【优选整合】高中数学人教A版 选修2-3 1.2.3 排列与组合习题课 学案

【优选整合】高中数学人教A版 选修2-3 1.2.3 排列与组合习题课 学案

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 1.2.3排列与组合--习题课

------学案

一、学习目标

1．能应用排列与组合公式解决简单的实际应用问题．

2．提升综合解题能力．

二、自主学习

1．排列组合综合题的一般解法

一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．

2．解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略

(1)特殊元素优先安排的策略；

(2)正难则反，等价转化的策略；

(3)相邻问题捆绑处理的策略；

(4)不相邻问题插空处理的策略；

(5)定序问题除法处理的策略；

(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

(7)平均分组问题，除法处理的策略；

(8)构造模型的策略.

三、合作交流,揭示规律

题型一 排队问题

【例1】 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．

(1)选5名同学排成一行；

(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；

(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；

(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；

(5)全体站成一排，男、女各站在一起；

(6)全体站成一排，男生必须排在一起；

(7)全体站成一排，男生不能排在一起；

(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；

(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；

(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；

(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；

(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．

[思路探索] 优先考虑特殊元素、特殊位置，关于某些元素“相邻”“不相邻”或“定序”问题，应遵循“先整小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语

小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语 体，后局部”的原则，元素相邻问题，一般用“捆绑法”，不相邻问题，一般用“插空法”，“定序”问题一般用除法：N＝AnnAmm.

高二数学 1.2.5排列组合习题课学案 新人教A版选修2-3

高二数学 1.2.5排列组合习题课学案 新人教A版选修2-3

高中数学 1.2.5排列组合习题课学案

基础梳理

1．排列应用题的最基本的解法有：

(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(又称位置分析法)．

(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出全部元素的排列顺序，再减去不符合要求的元素的排列顺序．

2．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为排列组合的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性．

自测自评

1．(C2100＋C97100)÷A3101的值为(C)

A．6 B．101 C.16 D.1101

解析：(C2100＋C97100)÷A3101＝(C2100＋C3100)÷A3101＝C3101÷A3101＝A3101A33÷A3101＝1A33＝16.故选C.

2．4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有(D)

A．36种 B．72种 C．81种 D．144种

解析：由题意可知4人选择了4条线路中的3条，不同的游览情况共有C24C34A33＝144(种)．故选D.

3．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)

A．243个 B．252个 C．261个 D．279个

解析：三位数个数为9×10×10＝900(个)．没有重复数字的三位数有C19A29＝648(个)，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252(个)．故选B.

审题不仔细致错

【典例】 从1～9的9个数字中取出5个数字作排列，并把五个位置自右向左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？

高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式学案新人教版

高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式学案新人教版

1.2.2组合与组合数公式

一、课前准备

1．课时目标

(1) 理解组合的定义，能区分一个问题是组合还是排列；

(2) 熟记组合数公式，能利用组合数进行熟练的计算；

2．基础预探

1．一般地，从n个不同的元素中，任意取出m()mn个元素

，叫做从n个不同元素中取出m()mn个元素的一个组合.

2．从n个不同的元素中，任意取出m()mn个元素 的个数，叫做从n个不同的元素中取出m()mn个元素的组合数，用符号 表示.

3．组合数的计算公式：()mmnnAC＝　　 = ，由于0! ，所以0nC__________（*,nmN,并且ｍ≤ｎ）。

4．组合数的性质：①____mnC；②1______.mnC

二、学习引领

1. 处理组合问题应注意什么？

①组合要求ｎ个元素是不同的，被取的ｍ个元素也是不同的，即从ｎ个不同元素中进行ｍ次不放回的取出.

②组合定义中包含了两点：一是“取出元素”，二是“并成一组”即与元素的顺序无关，无序性是组合的本质.如从某班中找出10名同学为组合，若找出10名同学后再排成一队则为排列问题。

③如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同，即使只有一个元素不相同，就不是相同的组合.

2. 组合与排列有何异同？

组合与排列的共同点是都要“从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”.不同点是前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”. 区分某一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.

3.组合数的计算有什么技巧？

①“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组合的个数，它是一个数. ②利用组合数公式进行计算、证明时，要注意隐含条件ｍ≤ｎ且n为整数. ③计算mnC时还要灵活运用组合数的性质，若ｍ比较大，可利用性质mnmnnCC；不计算mnC而改为计算nmnC；在计算多个组合数和时，注意性质11mmmnnnCCC.